07数学真题答案

2007 年硕士研究生入学考试（数学三）试及解析 一、选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当 0x  时，与 x 等价的无穷小量是（B） A .1 xe . l n ( 1 )B x . 1 1C x  . 1 c o sD x （2） 设函数 ( )f x 在 0x  处连续，下列命题错误的是： (D) A .若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 (0) 0f  .B 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x x   存在，则 (0) 0f  .C .若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 '(0)f 存在 .D 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x x   存在，则 '(0)f 存在 （3） 如图.连续函数 ( )y f x 在区间   3, 2 , 2,3  上的图形分别是直径为 1 的上、下 半圆周，在区间   2,0 , 0,2 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 0 ( ) ( ) , x F x f t dt  则下列结论正确的是：（C ） .A . (3)F 3 ( 2) 4 F   .B (3)F 5 (2) 4 F .C ( 3 )F  3 (2) 4 F  .D ( 3 )F  5 ( 2 ) 4 F   （4） 设函数 ( , )f x y 连续，则二次积分 1 sin 2 ( , ) x dx f x y dy    等于（B） .A 1 0 arcsin ( , ) x dy f x y dx     .B 1 0 a r c s i n ( , ) y d y f x y d x     .C 1 a r c s i n 0 2 ( , ) y d y f x y d x      .D 1 arcsin 0 2 ( , ) y dy f x y dx      （5） 设某商品的需求函数为 160 2Q   ，其中Q，  分别表示需要量和价格，如果 该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（D） .A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6） 曲线 1 ln(1 ),xy e x    渐近线的条数为（D） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 （7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A） 1 2  2 1 3 1, ,     (B) 2 1  2 3 3 1, ,     (C) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2        (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2        （8）设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A              ， 1 0 0 0 1 0 0 0 0 B            则 A 与 B （B） （A），且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (C) 2( )3 (1 )A p p 2( )6 (1 )B p p 2 2( )3 (1 )C p p 2 2( )6 (1 )D p p (10) 设随机变量 ( , )X Y 服从二维正态分布，且 X 与Y 不相关， ( ), ( )x yf x f y 分别表示 X, Y 的概率密度，则在Y y 条件下， X 的条件概率密度 ( )X Y x y f 为 (A) （A） ( )Xf x (B) ( )yf y (C) ( ) ( )x yf x f y (D) ( ) ( ) x y f x f y 二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） 3 2 3 1 lim (sin cos ) ___ 0 _________ 2xx x x x x x      . （12）设函数 1 2 3 y x   ，则 ( ) 1 ( 1) 2 ! (0) __ _________ 3 n n n n n y    . （ 13 ） 设 ( , )f u v是 二 元 可 微 函 数 ， ( , ), y x z f x y  则 ' ' 1 22 ( , ) 2 ( , ) z z y y x x y x y f f x y x x y y x y         . （14）微分方程 3 1 ( ) 2 dy y y dx x x   满足 1 1xy   的特解为 2 2 1 ln x y x   . （15）设距阵 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 0 0 0 A             则 3A 的秩为＿＿1＿＿＿. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 1 2 的概率为＿ 3 4 ＿. 三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分 10 分） 设函数 ( )y y x 由方程 ln 0y y x y   确定，试判断曲线 ( )y y x 在点（1，1）附 近的凹凸性. 【详解】： ' ' ' ' 1 ' 2 '' ' ' '' ' 2 1'' 1 1 ln 2 1 0 2 ln 1 1 2 ln1 2 1 ( ) (2 ln ) 0 (2 ln ) ( ) 1 0 1(2 ln1) 8 ( ) (1,1) x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x                           对方程两边求导得 从而有 再对两边求导得 求在(1,1)的值： 所以 在点 处是凸的 （18）（本题满分 11 分） 设二元函数 2 2 2 . 1. ( , ) 1 , 1 2. x x y f x y x y x y           计算二重积分 ( , ) . D f x y d 其中  ( , ) 2D x y x y   【详解】：积分区域 D 如图，不难发现 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，设 1D 是 D 在第一象限 中的部分，即  1 ( , ) 0, 0D D x y x y   利用被积函数 ( , )f x y 无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可 得 1 ( , ) 4 ( , ) D D f x y d f x y d   设 1 11 12D D D  ， 其 中    1 1 1 2( , ) 1 , 0 , 0 , ( , ) 1 2 , 0 , 0D x y x y x y D x y x y x y           于是 1 11 12 11 12 2 ( , ) 4 ( , ) 4 ( , ) 4 ( , ) 4 4 ( , ) D D D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d                  由于  11 ( , ) 0 1,0 1D x y x y x      ，故 11 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 (1 ) 3 4 12 x D x d x dx dy x x dx           为计算 12D 上的二重积分，可引入极坐标 ( , )r  满足 cos , sinx r y r   .在极坐标系 ( , )r  中 1x y  的方程是 1 , 2 cos sin r x y       的方程是， 2 cos sin r     ，因 而 12 1 2 0 , 2 cos sin cos sin D r                  ，故 12 2 2 cos sin 2 1 2 2 0 0 cos sin 1 cos sin D d r d dr d rx y                     令 tan 2 t   作换元，则 2arctan t  ，于是 : 0 : 0 1 2 t      且 2 2 2 2 2 1 2 ,cos ,sin 1 1 1 dt t t d t t t           ，代入即得 12 1 1 2 2 22 2 0 0 0 0 1 1 2 21 0 0 1 0 1 2 2 (1 ) cos sin 1 2 2(1 ) 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = ln ln 2 ln( 2 1) 2 2 2 2 1 D d dt dt d t u t t tx y du du du u u u u u u                                     综合以上计算结果可知 1 1 ( , ) 4 4ln( 2 1) 4ln( 2 1) 12 3 D f x y d        （19）（本题满分 11 分） 设函数 ( )f x ， ( )g x 在  ,a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ( )f a ＝ ( )g a ， ( )f b ＝ ( )g b ，证明： （Ⅰ）存在 ( , ),a b 使得 ( ) ( )f g  ； （Ⅱ）存在 ( , ),a b  使得 ''( ) ''( ).f g  【详解】：证明：(1)设 ( ), ( )f x g x 在 ( , )a b 内某点 ( , )c a b 同时取得最大值，则 ( ) ( )f c g c ， 此时的 c 就是所求点 ( ) ( )f g  使得 .若两个函数取得最大值的点不同则有设 ( ) max ( ), ( ) max ( )f c f x g d g x  故有 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0f c g c g d f d    ，由介值定 理，在 ( , )c d 内肯定存在 ( ) ( )f g  使得 (2)由(1)和罗尔定理在区间 ( , ), ( , )a b  内分别存在一点 ' '1 2 1 2, , ( ) ( )f f   使得 ＝ ＝0 在区 间 1 2( , )  内再用罗尔定理，即 '' ''( , ) ( ) ( )a b f g   存在 ，使得 . （20）（本题满分 10 分） 将函数 2 1 ( ) 3 4 f x x x    展开成 1x 的幂级数，并指出其收敛区间. 【详解】： 1 0 2 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( 4)( 1) 5 1 3 1 2 1 1 1 1 5 1 3 5 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 15 4 15 15 3 1 ( ) 3 1 1 2 4 3 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) 15 1 10 10 2 1 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 15 3 n n n n n n n f x x x x x x x x f x xx x x x f x xx x x x f x                                                        记 其中 其中 则 0 1 ( ) ( 1) 10 2 1 2 n n n x x         故收敛域为： 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 (21)( 11 ) 0 2 0 (1) 4 0 2 1 (2) x x x x x ax x x a x x x x a a                 本题满分 分 设线性方程组 与方程 有公共解，求 的值及所有公共解 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 0 2 0 (3) 4 0 2 1 x x x x x ax x x a x x x x a                 的解. 即距阵 2 1 1 1 0 0 2 0 1 4 0 1 2 1 1 a a a             2 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 4 0 a a a              方程组 (3) 有解的充要条件为 1, 2a a  . 当 1a  时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基 础解系为 (1,0, 1)T   此时的公共解为： , 1,2,x k k  当 2a  时，方程组(3)的系数距阵为 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 2 0 0 1 1 0 1 4 4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0                         此时方程组(3) 的解为 1 2 30, 1, 1x x x    ，即公共解为： (0,1, 1) Tk  （22）（本题满分 11 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 2 3 11, 2, 2, (1, 1,1) T         是 A 的属于 1 的一 个特征向量.记 5 34B A A E   ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （Ⅰ）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵 B. 【详解】： （Ⅰ）可以很容易验证 1 1 1( 1,2,3...) n nA n    ，于是 5 3 5 3 1 1 1 1 1 1( 4 ) ( 4 1 ) 2B A A E             于是 1 是矩阵 B 的特征向量. B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到，即 5 3( ) ( ) 4 ( ) 1B A A     ， 所以 B 的全部特征值为－2，1，1. 前面已经求得 1 为 B 的属于－2 的特征值，而 A 为实对称矩阵， 于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征 向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 1 2 3( , , ) Tx x x ，所以有方程如下： 1 2 3 0x x x   于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 2 3( 1,0,1) , (1,1,0) T T    因而，矩阵 B 属于 2   的特征向量是是 1(1, 1,1) Tk  ，其中 1k 是不为零的任意常数. 矩阵 B 属于 1  的特征向量是是 2 3(1,1,0) ( 1,0,1) T Tk k  ，其中 2 3,k k 是不为零的任意常 数. （Ⅱ）由 1 1 2 2 3 32 , , ,B B B         有 令矩阵 1 2 3 1 2 3( , , ) ( 2 , , )B        ， 则 1 ( 2,1,1)P BP diag   ，所以 那么 1 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 1 1 0 3 3 ( 2 , , ) ( , , ) 2 1 0 1 0 1 3 0 3 2 0 1 1 1 0 3 3 0 B                                              （23）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , )X Y 的概率密度为 2 ,0 1,0 1. ( , ) 0, x y x y f x y          其他 （Ⅰ）求  2P X Y ； （Ⅱ）求Z X Y  的概率密度 ( )Zf z . 【详解】： （Ⅰ）  2 (2 ) D P X Y x y dxdy    ，其中 D 为0 1,0 1x y    中 2x y 的那部分 区域； 求此二重积分可得   1 1 2 0 0 2 (2 ) x P X Y dx x y dy     1 2 0 5 ( ) 8 x x dx  7 24  （Ⅱ）    ( )ZF z P Z z P X Y z     当 0z  时， ( ) 0ZF z  ； 当 2z  时， ( ) 1ZF z  ； 当0 1z  时， 3 2 0 0 1 ( ) (2 ) 3 z z x ZF z dx x y dy z z         当1 2z  时， 1 1 3 2 1 1 5 ( ) 1 (2 ) 2 4 3 3 Z z z x F z dx x y dy z z z            于是 2 2 2 ,0 1 ( ) 4 4,1 2 0, Z z z z f z z z z             其他 （24）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 1 ,0 , 2 1 ( ; ) , 1, 2(1 ) 0, x f x x                  其他 . 其中参数 (0 1)   未知， 1 2, ,... nX X X 是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值. （Ⅰ）求参数 的矩估计量 ； （Ⅱ）判断 2 4X 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由. 【详解】： （Ⅰ）记EX  ，则 1 0 2 2(1 ) x x EX dx dx           1 1 4 2   ， 解出 1 2 2    ，因此参数 的矩估计量为 1 2 2 X   ； （Ⅱ）只须验证 2 (4 )E X 是否为 2 即可，而 2 2 2 21(4 ) 4 ( ) 4( ( ) ) 4( ( ) )E X E X DX EX DX EX n      ，而 1 1 4 2 EX   ， 2 2 1 (1 2 ) 6 EX     ， 2 2 25 1( ) 48 12 12 DX EX EX       ， 于是 2 2 25 3 3 1 3 1(4 ) 12 3 3 n n n E X n n n           因此 2 4X 不是为 2 的无偏估计量.