以几何证明三角公式

以幾何證明三角公式 台北市成功高中游經祥老師 壹、 前言： 筆者受聘為台北市數學科輔導團教師，輔導團訪視各高中是團務的工作之一。在九十四 學年度輔導團訪視台北市陽明高中時，該校數學科提出一個問題，希望輔導團教師給予一些 參考意見。其中一個問題如下： 三角函數中的「和差化積」、「積化和差」，除了將乘法與加法、減法互化和解題之外，應 如何教？有無較生活化的例子？ 我們給的參考意見是先熟練和角公式，再由和角公式直接推導“積化和差＂的公式。“積 化和差＂的公式熟練後，再由角度變數變換可推導出“和差化積＂的公式。這是一般典型互 化公式的推導方式。 在訪視當天，筆者利用幾何的方法證明和角公式 ( )βα +sin ， ( )βα +cos 以及積化和差 1sin cos [sin( ) sin( )] 2 α β α β α β⋅ = + + − （以α 、 β 是銳角為例），提供給陽明高中數學科教師 參考。事後又請劉國莉老師以幾何方法證明其他的三角公式，並請陳正源老師幫忙提供互換 公式在物理學上的一些重要生活化應用。於是我們便將正弦與餘弦相關的和角公式及互化公 式，以幾何的方法重證一次；試圖以幾何的證明方法來進行直觀的圖像操作，並結合各三角 函數的基本定義來證明三角公式。本文將以銳角為例，用幾何的方法重證和角公式及和差與 積互化的公式，而在本文中所使用的圖形皆以單位圓，或以單位圓的一部分來表現證明所需 圖象。 貳、和角公式： 一般證明和角公式乃以餘弦定理與距離公式配合代數方法證明之，以下我們將以幾何方 法及三角函數的基本定義直接證明和角公式。 性質 1： sin( ) sin cos cos sinα β α β α β+ = ⋅ + 證明：如圖（一），設 ,DOA CODα β∠ = ∠ = ，則 sin , cosCF OFβ β= = ， αsin=DE ，且 α=∠BCD 。 得 sin( ) AC AB BCα β+ = = + 。 由 sin sincos cos CF BC BC BC β βα α= = ⇒ = 圖(一) 2 sin ( ) sin (cos sin ) sin sin(cos sin ) sin cos sin sinsin cos cos AB OB OF BF BC α α β α α ββ α αα α βα β α = × = − × = − × × = − × × ⋅= − 得 2sin sin sinsin( ) sin cos cos cos AB BC α β βα β α β α α ⋅+ = + = − + 2sin (1 sin )sin cos cos sin cos cos sin β αα β α α β α β −= ⋅ + = ⋅ + 性質 2： cos( ) cos cos sin sinα β α β α β+ = − 證明（1）：如圖（一）， cos( ) OAα β+ = ，因 ~OAB CFBΔ Δ OA CF CBOB ⇒ = cos( ) sin OB CB α β β+⇒ = ( )cos sinOB CB α β β⇒ + = ( )cos sin sinOF BF OF BF CB CB CB α β β β⎛ ⎞−⇒ + = = −⎜ ⎟⎝ ⎠ sin sinOF CB α β⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ ，因 cos sinCB α β= ， 1 cos sinCB α β∴ = ，可得 ( )cos sin sin OF CB α β α β⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ cos sin sin sin OF α α ββ ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠ coscos sin sin sin αβ α ββ ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠ cos cos sin sinα β α β= − 。 證明（2）：如圖（二），設 α=∠AOB ， β=∠BOC ，則 ( )βα += cosOD ， βcos=OF αcosOFOG =⇒ βα coscos=⇒OG 。 βsin=CF αsinCFHF =⇒ βα sinsin=⇒ HF 。又 DGHF = ，故 βα sinsin=DG 。又 ( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+⇒−= DGOGOD 。 性質 3： ( ) βαβαβα sincoscossinsin −=− 證明：如圖（三），設 α=∠DOA ， β=∠COB ，則 βα −=∠DOC ， 且 ( ) ( ) βββα coscossin AEDADECD −===− ，又 αsin=DA ， β βαβ cos sincostan ⋅==OAAE 。因此 圖（二） 圖（三） ( ) ( ) βββααββα coscossincossincossin ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ⋅−=−=− AEDA βαβα sincoscossin −= 。 性質 4： ( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=− 證明：如圖（四），設 α=∠COH ， β=∠GOH ，則 βα −=∠COG 。 作 OHCA ⊥ ， AF 垂直OG於 F ， AE垂直CK 於E。 ( ) OD=− βαcos FDOF += ，又 βαβ coscoscos ==OAOF ， βαβ sinsinsin === CAAEFD 。因此 ( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=+==− FDOFOD 。 參、積化和差： 一般積化和差，乃由和角公式直接推導可得。以下我們將以幾何方法直接證明它們。 性質 5： 1sin cos [sin( ) sin( )] 2 α β α β α β⋅ = + + − 證明：如圖(五)，由 , , ,COD DOE DOF CE ODβ α∠ = ∠ = ∠ = ⊥ 得 CG GE= ，且又 // // ,CA GH EF 故四邊形 ACEF 為梯形，且GH 為其 中線，得 1 ( ) 2 GH AC EF= + 。又 sin( ), sin( ),AC EFα β α β= + = − βcos=OG ， βα cossin ⋅=GH ，即得 1sin cos [sin( ) sin( )] 2 α β α β α β⋅ = + + − 。 性質 6： ( ) ( )1cos cos cos cos 2 α β α β α β⎡ ⎤⋅ = + + −⎣ ⎦ 證明：如圖(五)， ( )cosOA α β= + ， ( )cosOF α β= − ， βαα coscoscos ==OGOH 。因為 CG GE= ，且 // //CA GH EF，得 HFAH = ，且 ( )OFOAOH += 2 1 ，即得 ( ) ( )1cos cos cos cos 2 α β α β α β⎡ ⎤⋅ = + + −⎣ ⎦。 圖(五) 圖（四） 性質 7： ( ) ( )1sin sin cos cos 2 α β α β α β⎡ ⎤⋅ = − + − −⎣ ⎦ 證明：如圖(六)， ( )cosOF α β= + ， ( )cosOE α β= − ， sinDG β= ， FDC α∠ = ， sin sin sinHG DG α α β= = ，又 BGDG = 且作 BEGIDF //// ，得 EFEIHG 2 1== ( )12HG OE OF⇒ = − ( ) ( ) ( ) ( )1 1sin sin cos cos cos cos 2 2 α β α β α β α β α β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = − − + = − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦。 性質 8： ( ) ( )1cos sin sin sin 2 α β α β α β⎡ ⎤⋅ = + − −⎣ ⎦ 證明：如圖(七)， ( )sinDF α β= + ， ( )sinBE α β= − ， sinDH β= ， FDC α∠ = ， cos cos sinDI DH α α β= = ， 又DH HB= ，且作 //HI BG，得 ( ) ( )1 1 12 2 2DI DG DF FG DF BE= = − = − ⇒ ( ) ( )1cos sin sin sin2α β α β α β⎡ ⎤⋅ = + − −⎣ ⎦。 肆、和差化積： 一般"和差化積"公式的證明，是由"積化和差"公式的角度，經變數變換直接推得。以下 我們將以幾何方法直接證明它們。 性質 9： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+ 2 cos 2 sin2sinsin yxyxyx 證明：如圖(八)，設 xCOA =∠ ， yEOF =∠ ，則 2 yxEODCOD −=∠=∠ ， 2 yxDOF +=∠ 。作 OFCA ⊥ ， OFDH ⊥ ， OFEF ⊥ 。 CAGHEF ////∵ ，且G為CE中點， GHEFACyx 2sinsin =+=+∴ ，又 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 sin 2 cos 2 sin yxyxyxOGGH ，所以 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+ 2 cos 2 sin2sinsin yxyxyx 。 圖(六) 圖(七) 圖(八) 性質 10： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+ 2 cos 2 cos2coscos yxyxyx 證明：如圖(八)，由 =+ yx coscos =+OFOA ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 cos22 yxOGOH ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 2 cos 2 cos2 yxyx 。 所以 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+ 2 cos 2 cos2coscos yxyxyx 。 性質 11： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=− 2 sin 2 cos2sinsin yxyxyx 證明：如圖（九），設 xDOA =∠ ， yBOA =∠ ，OC平分 DOB∠ 。 作DF、GK、 BE垂直OA，作GH 、BI 垂直DF。則 2 yxBOCDOC −=∠=∠ ， 2 yxCOA +=∠ ， 2 G yxCOFDH +=∠=∠ 。所以 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +===−=− 2 cos 2 sin2 2 cos22sinsin yxyxyxDGDHDIBEDFyx ，故 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=− 2 sin 2 cos2sinsin yxyxyx 得證。 性質 12： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=− 2 sin 2 sin2coscos yxyxyx 證明：如圖（九）， xDOA =∠ ， yBOA =∠ ，OC平分 DOB∠ 。 OFOExy −=− coscos == EF 2GH ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 sin2 yxCD ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 2 sin 2 sin2 yxyx 。故 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=− 2 sin 2 sin2coscos yxyxyx 得證。 伍、生活化的例子： 至於和差與積互化公式的生活化應用，一般可以在測量上的問題中及物理學上的應用中 尋找。也可以在微積分的積分過程中會一部份用到這些公式。我們簡單舉一些例子如下： （1） 測量上的問題 例 1：阿丁爬一山坡，走一段仰角 48∘的斜坡 50 公尺後，再走一段仰角 12∘的斜坡 50 公尺後到達終點，試問阿丁所走山坡的總高度為何？ 圖（九） 解： 10 2 5sin 48 sin12 2sin 30 cos18 cos18 4 ++ = = =D D D D D 例 2：兩名搬家工人要將一個大衣櫃搬出房間，已知衣櫃的長 1.5 公尺，寬 0.8 公尺， 高 2.5 公尺；房門的寬為 1.2 公尺，高為 2.2 公尺，請問此衣櫃的傾斜度要在 多少度以下，才能順利通過房門？（95 年南一版第二冊 P209-P210） 解：設衣櫃的傾斜度為θ（弧度），並以 A、B、C、D表示此衣櫃正面的四個端點，點 落在地板上（如圖所示）。 當 C 點剛好觸及房門的門框時，可看出頂點 C 至地板的高度為 BEFBEF += θθθθ cos5.1sin5.2cossin +=+= BCAB 。另 一方面，假設 α=∠CAB ，看出頂點 C至地 板的高度為 ( ) ( ) ( ) ( )θαθα ++=+ sin5.15.2sin 22AC 。 因此，只要 θθ cos5.1sin5.2 + ( ) ( ) ( )θα ++= sin5.15.2 22 2.2< 就能順利通過房 門。 （2） 微積分上的應用 例如： ( )[ ]dxxxxdxx ∫∫ −+= 2020 sin2sin213cossin ππ （3） 物理學上的應用 例如：波的重疊原理（superposition of wave ） 例 1：駐波（standing wave） 有兩個相向而行的單頻波具有相同的振幅 A、波長λ、周期 T時，這兩個波的介質振動位移 y 與一維空間位置 x及時間 t的函數關係可以分別表示為： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π−λ π= t T 2x2sinAy1 往 x+ 方向移動， ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π+λ π= t T 2x2sinAy2 往 x- 方向移動 當兩波重疊時，依據重疊原理（小振幅的波），合成波的介質振動位移為各波振動位移的代 數合： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ λ π=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π+λ π+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π λ π=+= t T 2cosx22Asint T 2x2sint T 2-x2sinAyyy 21合成波 此合成波在某些空間位置的振動位移永遠為零： ( ) 0x/2sin =λπ ⇒ 2 x/ nπ λ π= ⇒ x n / 2λ= ，（ "0,1,2,3,n = ） 這些空間位置稱為節點，此合成波因為無法隨時間平移至其他空間位置，所以稱為駐波。 例 2：拍頻（beat frequency） 當兩個聲波有相同的振幅，但頻率略有不同，分別為 1f 、 2f （ 1f > 2f ），如果在空間位置 x=0 處兩聲波相遇而疊合： ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +π⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π=π+π=+= t 2 ff2sint 2 f-f22Acostf2Asintf2Asinyyy 21212121合成波 合成波函數可分成兩部份來看：被餘弦函數調制的振幅、正弦波函數（頻率為 ( ) 2ff 21 + ）。 此處聽到的聲音會忽大忽小，這是因為正弦波函數的振幅被調制的結果，如下圖所示，從最 大振幅到最大振幅的週期應為餘弦函數週期的二分之一，因此聲音忽大忽小的頻率應為餘弦 函數頻率的兩倍 21 21 f-f 2 f-f2 = 此頻率稱為拍頻。 利用此性質可以將略為走音的樂器調校音準。 陸、實際教學過程： 本人在教和差與積的互化單元時，先將和角公式都複習一遍，接著利用和角公式直接推 導"積化和差"公式。再由角度變數變換來推導"和差化積"公式。在這種教導過程，學生看到 數學代數式的加加減減而自然得到的和差化積，會覺得很有道理；然而雖然是合理推導的代 數式子，但不一定能展現對學生的親和力。因此，學生學到"互化公式"時，總是感覺缺缺， x 空間位置 1y 振動位移 x 空間位置 2y 振動位移 x 空間位置 合成波振動位移 被餘弦函數調制的振幅 y 合成波的振動位移 t 時間 遇到相關題目常常不知如何下手，如何解決。看到學生對此單元的不適應與無奈，實在於心 不忍。因此，本人便試著用幾何證明的方法推導"互化公式"，讓學生知道原來生硬的"互化公 式"，其原理竟然與梯形的中線定理，及三角形兩邊中點連線段的性質有關，再加上以單位圓 上三角函數的線段表示，便可以用自然的幾何方法推導出"互化公式"。 每當在教學過程中，以幾何自然的方式推導"互化公式"時，學生常有親切的感覺；因為， 他們看到熟悉的"梯形的中線定理"及"三角形兩邊中點連線性質"，進而再次複習"單位圓上的 三角函數"。此時在學生的心理至少感到"互化公式"的活動力，進而體會到數學的活潑性及多 元思考性，更重要的是感覺到數學"Natural Thinking"的精神。經過代數與幾何兩種證明方 法後，學生對"互化公式"有更深刻的印象，使公式的應用更有感覺，相信這幾何的證明過程， 對學生的數學學習是有正面的加分作用。 柒、結論： 以上"和角公式"與"互化公式"的幾何證明方法，其實是不唯一的，或許有更簡捷的幾何 證明方法。本文只是依據每一個性質，提出一種幾何的證明，讓學生知道還有這種思考方法， 也讓學生開擴視野，加強其多元思考的能力。 本文重點是要突顯 Skemp 在"數學學習心理學"中提到的視覺系統及言辭系統。言辭系統 不只包含口中發出的聲音，還包含寫在紙上的字；而視覺系統最好的例子就是圖形、圖象； 然而兩種系統若能結合，則處理問題的能力便可以更具威力。從這些數學教育專家的言談之 中，可見得以幾何觀點處理代數問題是很有幫助的。因此，代數與幾何的結合是很重要的後 設思考能力。筆者也深深感到，現今中學的幾何教材大多已轉化成解析幾何。希望數學教學 者能正視此問題，能有增強幾何教學的教材出現。尤其幾何中的作圖、作法、推論、證明， 對數學學習是很好的訓諫。這是代數與幾何的結合，也是強調 Skemp 理論中，兩大系統結合 的重要性。