一类非线性四阶波动方程整体弱解的光滑性

收稿日期 :2003212201 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (10301026) 作者简介 :陈勇明 (1970 - ) ,男 ,讲师 ,硕士. 　　文章编号 :025822724 (2004) 0620758203 一类非线性四阶波动方程整体弱解的光滑性 陈勇明 1 , 2 , 谢海英 3 , 杨 晗 1 (1. 西南交通大学理学院 , 四川 成都 610031 ; 2. 重庆交通学院基础科学系 , 重庆 400074 ; 3. 成都信息工程学 院计算科学系 , 四川 成都 610041) 摘 　要 :研究一类描述梁振动的非线性四阶波动方程的初边值问题. 用 Galerkin 方法证明了整体弱解的光滑性 随初值的光滑性提高而提高. 由 Sobolev 嵌入定理可知 ,当初值的光滑性适当高时 ,弱解成为经典解. 关键词 :波动方程 ;整体弱解 ; Galerkin 方法 ;光滑性 中图分类号 :O175. 29 ;O175. 4 　　文献标识码 :A Smoothness of the Global Weak Solutions for a Kind of Nonlinear Fourth Order Wave Equations CH EN Yong2m i ng1 ,2 , X I E Hai2yi ng3 , YA N G Han1 (1. School of Science , Southwest Jiaotong University , Chengdu 610031 , China ; 2. Dept . of Fundamental Science , Chongqing Jiaotong University , Chongqing 400074 , China ; 3. Dept . of Computation Science , Chengdu University of Information Technology , Chengdu 610041 , China) Abstract : The initial boundary value problem of a kind of nonlinear fourth2order wave equations describing beam vibrations was studied. With Galerkin method , it is proved that the smoothness of the global weak solution can be improved if the smoothness of the initial value is improved. By virtue of Sobolevpis embedding theorem , the global weak solutions become classic ones when the initial value is appropriately smooth. Key words : wave equation ; global weak solution ; Galerkin method ; smoothness 　　均匀柔软的弦振动在数学上现为二阶的波动方程[1 ] ,杆、梁的振动在数学上则表现为四阶的波动 方程[2～4 ] . 方程 u tt +Δ2 u + u = u p - 1 u 即是一类描述梁振动的非线性四阶波动方程[4 ] . 对于方程 u tt + Δ2 u + u = u p - 1 u 的 Cauchy 问题 ,在文献[4 ]中 ,Levandosky 研究了对应的线性方程 u t t + Δ2 u + u = 0 的 L p - L q 估计和时空估计 ,并利用这些估计证明了上述 Cauchy 问题的局部解的存在性及渐近性质和低 能量散射理论. 在文献[5 ]中 ,Levandosky 研究了上述 Cauchy 问题的行波解 ,得到了孤波稳定和不稳定的 波速判定条件 (初边值问题) : u tt + Δ2 u + u = u p - 1 u , 　x ∈Ω , 　t ≥0 , (1) u ≡0 , 　x ∈5Ω , (2) u ( x ,0) = u0 ( x ) , 　u t ( x ,0) = u1 ( x ) , 　x ∈Ω , (3) 其中Ω< R n 为边界充分光滑的有界区域. 在文献[6 ]中 ,作者研究了问题 (1) ～ (3) 的弱解的整体存在性、 唯一性和爆破性质 ,得到弱解整体存在与爆破关于初值的充分必要条件. 依据势井理论[7 ,8 ] ,通过构造稳 定集和不稳定集 ,运用 Galerkin 方法[9 ]证明了初值属于稳定集时整体弱解存在 ,运用凸性分析方法[8 ,10 ,11 ] 第 39 卷 　第 6 期 2004 年 12 月 　　　 西 　南 　交 　通 　大 　学 　学 　报 JOURNAL OF SOU THWEST J IAO TON G UN IV ERSIT Y　　　 Vol. 39 　No. 6 Dec. 2004 证明了初值属于不稳定集时 ,解将爆破. 至于问题 (1) ～ (3) 初值的光滑性如何影响解的光滑性 ,目前还没有相关结果. 用 Galerkin 方法来研究初值具有具有较高的光滑性时解的光滑性 ,得到的主要结果如下 : 定理 1 (光滑性) 　设 1 < p/ ( n - 4) , n ≥5 ; p < ∞,1 ≤n ≤4 . 若 u0 ∈W ∩H4 (Ω) , u1 ∈H20 (Ω) , E (0) < d ,则问题 (1) ～ (3) 存在唯一解 u ,满足 : u ∈L ∞(0 , T ; H20 (Ω) ∩ H4 (Ω) ) , (4) u t ∈L ∞(0 , T ; H20 (Ω) ) , (5) u t t ∈L ∞(0 , T ; L 2 (Ω) ) . (6) 　　注 1 　W , E (0) = E ( u (0) ) 和 d 分别为文献[6 ]中定义的稳定集、初始能量和势井深度. 注 2 　L p (Ω) , H20 (Ω) 和 H4 (Ω) 为通常的 Sobolev 空间[12 ] . 为方便计算 ,将 L p (Ω) 范数记为 · p ; H20 (Ω) 范数记为 ·2 ,2 ; H4 (Ω) 范数记为 ·4 ,2 ; u′表示对时间变量 t 求导 , C 均代表一个正常数 ,但不同 地方的具体值可能不一样. 引理 1 [6 ] 　设 1 < p < ( n + 4) / ( n - 4) , n ≥5 ; p < ∞,1 ≤n ≤4 . u0 ∈W , u1 ∈L 2 (Ω) , E (0) < d ,则问 题 (1) ～ (3) 存在整体弱解 u 满足 u ∈L ∞(0 , T ; H20 (Ω) ) ; u t ∈L ∞(0 , T ; L 2 (Ω) ) . 证明　H20 (Ω) ∩H4 (Ω) 是可分的 Banach 空间[12 ] ,设{ωj ( x ) ; j = 1 ,2 ,3 , ⋯}为一组正交基. 构造 问题 (1) ～ (3) 的近似解为 : um ( t) = ∑ m j = 1 gjm ( t)ωj ( x ) ; gjm ( t) ∈C2 . gjm ( t) 由下面方程确定 : ( u″m ( t) ,ωj) + (Δ2 um ( t) ,ωj) + ( um ( t) ,ωj) - ( um ( t) p - 1 um ( t) ,ωj) = 0 . (7) 当 m →∞时 ,式 (7) 满足如下条件 : 　　在 H20 (Ω) ∩H4 (Ω) 中强收敛 , um (0) = u0 m , 　u0 m = ∑ m j = 1 αjmωj → u0 , (8) 　　在 H20 (Ω) 中强收敛 , u′m (0) = u1 m , 　u1 m = ∑ m j = 1 βjmωj → u1 , (9) E ( um (0) ) < d , (10) u0 m ∈ W . (11) 　　由常微分方程解存在性知 :存在 t m > 0 ,使得式 (7) ～ (11) 在区间[0 , t m ]存在唯一局部解. 由式 (7) 得 ( u″m ( t) ,ωj) + (Δ2 um ( t) ,ωj) + ( um ( t) ,ωj) - ( um ( t) p - 1 um ( t) ,ωj) = 0 , (12) 进而 ( u″m ( t) , u″m ( t) ) = ( - Δ2 um ( t) - um ( t) + um ( t) p - 1 um ( t) , u″m ( t) ) . (13) 对式 (13) ,由 H ϕ lder 不等式和 Minkovski 不等式知 : u″m ( t) 22 ≤ ( Δ2 um ( t) 2 + um ( t) 2 + um p - 1 um ( t) 2) u″m ( t) 2 , (14) 即 u″m ( t) 2 ≤ um ( t) 4 ,2 + um ( t) 2 + um ( t) p2 p . (15) 由假设 ,对式 (15) 运用 Sobolev 嵌入定理知 u″m ( t) 2 ≤ um ( t) 4 ,2 + um ( t) 2 + um ( t) p2 ,2 . (16) 由于式 (8) ,则有 u″m ( t) 2 ≤ C. (17) 将式 (7) 对 t 求导得 ( uÊm ( t) ,ωj) + (Δ2 u′m ( t) ,ωj) + u′m ( t) ,ωj) - p ( um ( t) p - 1 u′m ( t) ,ωj) = 0 . (18) 将式 (18) 两边同乘以 g″jm ( t) ,然后对 j 求和得 1 2 d d t ( u″m ( t) 2 2 + u′m ( t) 22 ,2 + u′m ( t) 22) = p ( um ( t) p - 1 u′m ( t) , u″m ( t) ) . (19) 由 H ϕ lder 不等式 (19) 右端不超过 957第 6 期 陈勇明等 :一类非线性四阶波动方程整体弱解的光滑性 p um ( t) p - 1 n/ 2 u′m ( t) q u″m ( t) 2 , (20) 其中 2/ n + 1/ q + 1/ 2 = 1 由假设及 Sobolev 嵌入定理和引理可知 : p um ( t) p - 1 n/ 2 u′m ( t) q u″m ( t) 2 ≤ C u′m ( t) 2 ,2 u″m ( t) 2 . (21) 再由式 (9) , (17) , (19) , (21) 和 Young 不等式得 u″m ( t) 22 + u′m ( t) 22 ,2 + u′m ( t) 22 ≤ C (1 +∫t0 ( u″m (σ) 22 + u′m (σ) 22 ,2 + u′m (σ) 22) dσ) . (22) 于是由 Gronwall 不等式可得 : u″m ( t) ∈L ∞(0 , T ; L 2 (Ω) ) , (23) u′m ( t) ∈L ∞(0 , T ; H20 (Ω) ) , (24) u′m ( t) ∈L ∞(0 , T ; L 2 (Ω) ) . (25) 　　余下类似引理的证明 ,知存在整体弱解 u 满足式 (1) ～ (3) ,式 (5) 和式 (6) . 又由式 (1) 有Δ2 u = u p - 1 u - u - u tt ,再由引理 1 和对 p 的假设知Δ2 u ∈L ∞(0 , T ; L 2 (Ω) ) ,所以 u ∈L ∞(0 , T ; H4 (Ω) ) , 因此 u ∈L ∞(0 , T ; H20 (Ω) ∩ H4 (Ω) ) . 证毕. 综上所述 ,在空间维数 n ≥5 的情况下 ,要使光滑性得到提高 ,除对 u0 和 u1 的要求提高以外 ,还加强 了对 p 的限制 ,从限制 1 < p < ( n + 4) / ( n - 4) 到限制 1 < p < n/ ( n - 4) . 在 n n - 4 ≤ p < n + 4 n - 4 的情况下光滑性尚不清楚 ,有待进一步研究. 感谢重庆交通学院科学研究基础基金资助. 参考文献 : [1 ] 　谷超豪 ,李大潜 ,陈恕行 ,等. 数学物理方程 (第二版) [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2002. 35236 [2 ] 　Woinowsky K S. The effect of axial force on the vibration of hinged bars[J ] . J . Appl. Mech. , 1960 , 17 : 35236. [3 ] 　An L J , Peirce A. A weakly nonlinear analysis of elaseto2plastic microstructure models[J ] . SIAM J . App. Math. ,1995 , 55 : 1362155. [4 ] 　Steven P L . Decay estimates for fourth order wave equations[J ] . Journal of Differential Equations , 1998 , 143 : 3602413. [5 ] 　Steven P L . Stability and instability of fourth2order solitary waves [J ] . 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