弹性接触颗粒状周期性结构材料力学分析的均匀化方法_宏观均匀化分析

文章编号: 100023851 (2001) 0420098205 收稿日期: 2000201207; 收修改稿日期: 2000208202 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (50178016) 作者介绍: 张洪斌 (1964) , 男, 力学教授, 从事计算非线性力学相关领域研究工作。 弹性接触颗粒状周期性结构材料 力学的均匀化 (Ê ) ——宏观均匀化分析 张洪武 (大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室, 工程力学系, 大连 116024) 摘　要: 　基于文献[1 ]的工作, 给出弹性接触颗粒状组成周期性结构材料宏观力学均匀化分析新方法。该方法的 特点是在对材料进行微观分析的基础上建立宏观材料的均匀化非线性数值本构模型, 并在此基础上构造宏观分析 的一致性方法。给出了数值算例, 说明了方法的正确性与有效性。 关键词: 　周期性复合材料; 弹性接触; 颗粒材料; 均匀化方法 中图分类号: 　TB 330. 1　　文献标识码: A HOMOGEN ISATION M ETHOD FOR THE ANALY SIS OF ASSEM BLAGE OF ELASTIC CONTACT GRA INS, Part Ê : M ACRO HOMOGEN ISATION ANALY SIS ZHAN G Hong2w u (State Key L aborato ry of Structural A nalysis fo r Industrial Equipm en t, D epartm en t of Engineering M echan ics, D alian U n iversity of T echno logy, D alian 116024, Ch ina) Abstract: 　Based on the work p resen ted in paper [1 ], a new homogen isation m ethod fo r the analysis of assem blage of elastic con tact bodies is p roposed in th is paper. A n importan t feature of th is work is to define num erically a homogen ised constitu tive relationsh ip fo r the global behaviour of the assem blies in term s of the analysis on the RV E level, and a new consisten t homogen isation m ethod is further2 more p resen ted. N um erical examp le and results are given to demonstrate the validity and efficiency of the new m ethod. Key words: 　periodic composite m aterials; elastic con tact; granular m aterial; homogen isation m ethod 　　文献[ 1 ]回顾了具有周期性构造的弹性接触颗 粒材料力学的微观 (小尺度)与宏观两级均匀化方法 的研究现状, 对基于单胞的非线性分析方法进行了 阐述, 数值模型中考虑了颗粒体的弹性行为以及颗 粒体之间的粘着2脱离2滑动等的相互作用关系。与 纯接触问题不同, 这种粘着效应考虑了颗粒体之间 的原始的粘着强度, 当这种粘着状态被破坏后材料 将发生破坏。文中给出了问题分析的数值方法, 使 征单元的分析归结为多种荷载路径条件下的弹性接 触问题分析。 　　本文在文献[1 ]工作的基础上, 建立了用于宏观 分析的非线性数值本构模型, 基于自洽方法将宏观 问题的分析转化为一般的弹塑性分析, 文中对方法 的原理与计算模型进行了阐述, 并给出数值算例说 明方法的有效性。论文的最后对所存在的问题进行 了讨论。 1　局部 RVE 分析的边值问题 　　文献[1 ]中的第2部分给出表征单元RV E 与微2 宏观变量的定义。在此基础上, 均匀化分析中通常采 用施加于RV E 的以下三种经典的边界条件: 　　 (1) S RV E上的均匀应变 u λ i = E ijx i (1) 　　 (2) S RV E上的均匀应力 复 合 材 料 学 报 A CTA M A T ER IA E COM PO S ITA E S IN ICA 　　　　　　　　　　　　　　　　 第18卷 　　第4期　 　11月 　 2001年 V ol. 18　　N o. 4　　N ovem ber 　2001 fθ i = Ρijn j = 2 ij n j (2) 　　 (3) S RV E上的周期性边界条件 u i = E ijx j + u3i , u3i 以及 Ρijn j 在RV E 中的周期性 (3) 其中 (1) 和 (2) 为通常表示的边界条件, 但其有一定 的局限性, 因为它们没有考虑到RV E 内场的周期 性变化的影响。本文中采用条件 (3) , 因为条件 (3) 是更为合理的选择, 它体现了材料结构的周期性变 化以及力学量的周期性变化。考虑到RV E 中边界 上对应的两点 P 1和 P 2 (图1所示) , 则有下式位移关 系成立: u i (P 1) - u i (P 2) = E ij [x j (P 1) - x j (P 2) ] (4) 如此在 RV E 对称的条件下, 周期应力边界条件将 会自然成立。 图1　单胞或RV E F ig. 1　A unit cell o r RV E 2　数值本构模型与均匀化分析方法 　　显然宏观的应力应变联系将构成材料在宏观上 的本构关系, 该方面较早的研究可参见 T vergaard 的工作[ 2 ] , 因此这里研究的目的自然是寻求下列应 力2应变关系: 2 ij = 2 ij (E ij ) (5) 　　假设颗粒状材料组成的材料在宏观上服从一 般的弹塑性应力2应变关系, 因此有 E ij = E Eij + E Pij (6) 其中: E Eij 为宏观弹性应变, E Pij 为塑性应变。更进一 步, E ij , E Eij与 2 ij的关系可以由下式表示:2 ij = A Eijk lE Ek l = A ij k lE k l (7) 其中, A Eijk l是宏观弹性本构张量, 已有很成熟的方法 对其进行求解。与以往的研究不同, 本文的研究中将 利用文献 [ 1 ]的工作对A ijk l的获得采取数值计算的 手段, 而且计算在“全空间”下进行, 因而需要进行大 量的数值测试。文献 [ 1 ]已给出局部 RV E 分析方 法, 以下介绍经过大量数值测试所获得的宏观本构 模型的过程。 　　首先, 利用文献[ 1 ]给出的计算方法, 将全局应 变张量施加于 RV E, 作为计算上的一致性, 可以采 取比例加载的方式, 将应变张量分为若干步进行加 载。对于每个加载末端的均匀化应力张量可由文献 [1 ]中的式 (2) 获得。通过 E ij的一系列加载过程将会 在应力空间中形成一系列的“点”, 通过改变 E ij的形 式, 将会获得一系列在应力空间中的“塑性屈服面”, 自然同时也会获得“初始屈服面”, 在初始屈服面内, 材料将具有弹性行为。作为示例, 图2给出所谓的宏 观数值本构模型的形式。 图2　数值本构模型 F ig. 2　N um erical constitutive model 　　为保证宏观与微观分析上的一致性 (或自洽) , 应进行宏观分析中概念的定义。也就是由图2定义塑 性流动准则及硬化定律。由于宏观应力域已由图2所 定义, 因而有 2 (x ) ∈ S eff (x ) (8) 其中 S eff由图2所定义的应力空间。进一步, 假设 S eff 位于下列屈服面内 S eff (x ) = {2 ij û f (2 ij ) ≤ 2 y (x ) } (9) 其中 2 y (x ) 为宏观屈服应力。在屈服函数 f (2 ij ) 被 确定之后 (本文采取 von M ises 模型) , 由图2和式 (9)可以对屈服应力 2 y (x ) 加以确定, 自然在不同的 插值点屈服应力的值一般说来将是不同的, 插值的 规则按线性插值进行, 如图3所示。 　　为了获得屈服函数 f (2 ij ) , 假设不同加载路径 上的相同加载步点位于相同的“屈服面”上。如此可 以构成一系列的“塑性屈服面”。显然这种定义具有 ·99·张洪武: 弹性接触颗粒状周期性结构材料力学分析的均匀化方法 (Ê ) ——宏观均匀化分析 图3　流动方向的插值求解 F ig. 3　 Interpo lation of the flow direction 广义性质, 但却可以保证宏观与微观两级分析上的 一致性。 　　进一步由式 (6) 与式 (7) , 假设塑性流动规则可 以表示为以下影射算法: R = - 2 trij + 2 ij + kαA Eij k lm k l (10) 其中: kα为塑性流动因子速率, m ij为流动方向, 而 2 trij 被表示为 2 trij = A Eijk lE ij (11) 　　塑性流动方向可以由图2、图3的插值获得, 表示 为 m ij = 1 kα(A Ek lij ) - 1 (2 trk l - 2 k l) 　 = 1kα(E ij - (A Ek lij ) - 12 k l) (12) 其中 kα值可以被任意的选取, 本文中取值为0. 1。 　　至此已对宏观数值本构定律进行了阐述, 利用 宏观本构模型, 宏观分析可以表述为2 ij , j = F i　 宏观平衡方程 宏观本构模型 宏观边界条件 (13) 其中 F i 为外部荷载。 3　数值算例 　　作为数值计算, 以下考虑两种计算对本文 的算法加以验证。方案一是本文的模型, 方案二是采 取常规的一次性有限元分析。显然一次性的有限元 分析的结果可以看作为问题的“精确解”来对本文的 算法加以验证。 　　图4给出某类线圈的断面图, 导线由铜、青铜以 及N b3Sn 合金制成, 其弹性常数为: E = 128 GPa,Μ= 0. 34。线圈的内部强度特性很大程度上取决于导 线界面的强度。以下选择4种界面参数进行本文算法 的验证。 图4　线圈断面图 F ig. 4　Cross section of strands 　　A 　纯摩擦接触: 　　Λ= 0. 25, p n0= p t0= 0, ∆3 ≠0 　　B　粘连性有摩擦接触: 　　Λ= 0. 25, p n0= 0, p t0= 80 3 M Pa, ∆3 = 0 　　C　粘连性有摩擦接触: 　　Λ= 0. 10, p n0= 0, p t0= 80 3 M Pa, ∆3 = 0 　　D　粘连性无摩擦接触: 　　Λ= 0. 00, p n0= 0, p t0= 80 3 M Pa, ∆3 = 0 　　图5给出RV E 及网格划分。 图5　RV E 网格划分 F ig. 5　M esh discretization of RV E 　　不同参数选取下通过计算获得的数值本构模型 主应力空间{2 11, 2 22 û 2 11≤0, 2 22≤0}示于图6。显 然, 材料的微观性质对全局特性有明显的影响, 图6 (b)、6 (c) 和6 (d) 显示出界面摩擦系数对宏观材 料性态的影响。 ·001· 复　合　材　料　学　报 图6　数值算例本构示意图 F ig. 6　Constitutive model of the num erical examp le 　　选取140砸线圈进行分析, 图7给出加载情况。 　　均匀化分析采用43节点35单元的网格划分, 作 为结果比较, 选取底面中点处由均匀化分析与一次 性有限元分析的反作用力计算结果进行比较。图8 (a)、8 (b)、8 (c)与8 (d)给出不同参数情况下结果的 比较, 其中均匀化计算结果由“homog. ”表示, 而一 次性有限元分析的结果由“heterog. ”表示。显然均 匀化方法给出良好的计算结果。 　　特别值得说明的是, 对于纯摩擦接触的情形, 宏 观材料在压力作用下往往表现出“强化 (压密)”的过 程, 应力2应变曲线成凹状, 这种情况一般说来对算 法会有特殊的要求。而本文的算法对这类问题则不 具有任何困难, 因而本文算法对接触粒状结构材料 的均匀化分析是尤为有利的。 图7　宏观结构与加载图 F ig. 7　M acro2structure and the load case 　　可以发现, 图6 (a)显示的结果与常规的M oh r2 图8　不同接触情况下结果比较 F ig. 8　Results comparison, (a) under purely frictional contact; (b) under adhesion contact w ith friction (c) under adhesion contact w ith friction; (d) under adhesion contact w ithout friction ·101·张洪武: 弹性接触颗粒状周期性结构材料力学分析的均匀化方法 (Ê ) ——宏观均匀化分析 Coulom b 本构模型有很强的相似性, 不同的是这里 的各向异性特征, 在本文数值本构测试的基础上采 取修正的M oh r2Coulom b 本构模型对宏观模型进行 处理将是值得研究的工作, 有待进一步进行。 4　问题讨论与结论 　　本文中通过数值本构模型的建立进行了弹性颗 粒体组成结构宏观均匀化分析。对于微观分析, 采用 考虑粘着接触模型的问题有限元分析的参数二次规 划算法; 而对于宏观均匀化分析, 则通过定义宏观 “弹塑性”本构模型对问题进行求解, 由于这种定义 与运算严格按照由RV E 分析所获得的数值本构模 型来进行, 因而宏观的均匀化分析与微观计算之间 具有一致性, 保证了宏观结果的自洽特性。数值上的 计算结果很好地验证了这一点。 　　自然, 目前所建立的算法也有值得进一步改进 的方面。由于这里只进行二维问题的研究, 所以数值 本构模型的一般形式是三维的, 在表述上无任何问 题, 但当所面临的问题是三维情形时, 本构模型将是 六维空间的形式, 在表述上很难用直观的图形表示, 应寻求相应的表示方法, 尤其是数学上的直接表示 方法, 这一方面的工作有待进一步的研究。 致　 谢: 感谢 Sch refler 教授对本文研究工作的帮 助。 参考文献: [ 1 ]　张洪武. 弹性接触颗粒状周期性结构材料力学分析的均匀化 方法 (É ) ——局部 RV E 分析 [ J ]. 复合材料学报, 2001, 18 (4) : 93- 97. [ 2 ] 　Tvergaard V. A nalysis of tensile p roperties for w hisker2rein2 fo rced m etal2m atrix composites [J ]. A cta M etall M ater, 1990, 38: 185- 194. ·201· 复　合　材　料　学　报