流体力学第四章 流体运动学

null流 体 力 学流 体 力 学 退 出中国科学文化出版社第一篇 流体力学基础第一篇 流体力学基础 绪论 场论与正交曲线坐标 流体静力学 流体运动学 第一章第二章第三章第四章退 出返 回第四章 流体运动学第四章 流体运动学一、微团运动和整体运动 流体运动的全部范围叫“流场”，经过管道或明渠流动的流场叫“通道流场”或“径流流场”，绕过物体流动的流场叫“绕流流场”。从微观的角度来看，充满流场的是流体的分子。但流体动力学不讨论微观的分子运动，只讨论宏观的质点和微团运动。所谓流体的质点，是指流场中极小的单元，在这个单元中流体的运动参量是相同的。严格来讲，流体和固体不同，由于流体分子之间的作用力较固体小，它占有一定的空间，但可以不保持一定的形状，并可以互相移位，所以运动中的流体，其分子之间的运动参量并不相同。由无数分子组成的流体质点其参量也不会相同，但是可以认为其中参量的差别非常小，可以看成是相同的。流体微团是由质点组成的，其中质点的流动参量的差别趋于微量，这样在讨论流场中参量变化规律时，从微团出发便于进行数学处理。 退 出返 回第一节 流体运动的描述 第1页第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第2页流场的整体运动由许许多多的微团运动所组成，各个微团的流动参量并不相同，因此在整体运动中各处的运动参量是不同的，而且相当复杂。流体动力学的基本理论都是从流体微团运动出发而推导出来的。对于整体运动，采用参量的平均值（如平均流速、平均密度等）来描述，并加以必要的修正，然后通过试验验证，最后用于指导实践。计算流体力学则是通过数值计算途径直接将微团理论应用到整体运动中，解决整体运动的各种计算问题。 二、研究流体运动的两种方法 在描述流体质点运动时，通常采用两种方法。一种叫拉格朗日法，一种叫欧拉法。按笛卡尔正交坐标系统特性，两者区别如下： （一）拉格朗日法 拉格朗日法是研究流场内个别流体质点在不同时刻其位置、流速、压力的变化。也就是用不同质点的运动参量随时间的变化来描述流体的运动。用这种方法可以表示和了解流体个别质点的各种参量随时间的变化情况。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第3页因为拉格朗日法描述每一个流体质点的运动，所以必须把流场中连续存在的质点加以区别。取某一起始时刻 时质点的空间坐标位置（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。质点在流场中是连续存在的，所以拉格朗日变数在坐标系中也是连续存在的。质点的空间位置既随不同质点而异，又随时间不同而变化，也就是说质点的空间位置（x，y，z）是拉格朗日变数（a，b，c）和时间t 的函数 例如 （4.1） 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第4页当时，质点的坐标位置为（a，b，c）。到其它位置，但是与（a，b，c）有关，这样就可以区别不同的质点及其运动情况。 时，该质点运动由（4.1）式可知，质点的运动速度也是（a，b，c）与t 的函数 （4.2）这是因为a，b，c不随时间变化，所以、、、、、。 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第5页同样，质点的加速度也是拉格朗日变数与时间的函数 不同质点的流体其压力和密度也同样是（a，b，c）与t的函数（4.3） （4.4） （4.5）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第6页 由此可见，用拉格朗日法可以描述各个质点在不同时刻的参量变化。因为拉格朗日法是追踪个别质点的描述方法，所以用它可以研究流体运动的轨迹和轨迹上各流动参量的变化。但是用这种方法研究整个流场的特性是不方便的。因而，除个别情况（如研究流体的波动和振荡等）外，都不采用拉格朗日法。 （二）欧拉法 欧拉法是研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量随时间的变化。也就是用同一瞬时的全部流体质点的流动参量来描述流体的运动。用这种方法不能表示个别质点从起始到终了的全部运动过程。因为空间内的同一个位置，在此时刻为一个质点所占据，在另外时刻，则可能为另外一个质点所占据。它不象拉格朗日法那样，只要是同一个拉格朗日变数（a，b，c），不管在任何时刻都表示同一个质点。但是欧拉法可以表示同一瞬时整个流场的参量，这在工程实际上是非常有用的。 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第7页既然欧拉法是描述流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，所以流动参量是空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数，对速度、压力和密度为 （4.6） （4.7） （4.8）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第8页同样因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为 （4.9）写成矢量形式 （4.10）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第9页上式中称为流体运动的局部加速度，或称时变加速度，它是由速度加速度，它是由速度场的不均匀性引起的。质点的总加速度等于两者之和。场随时间的变化引起的；称为流体运动的迁移加速度，或称位变 流体质点的物理量对于时间的变化率称为该质点物理量的导数，简称质点导数。任一物理量 B 对时间的变化率可写成把加速度分解成局部和迁移两部分的做法，可以推广到其它物理量如p、等。 （4.11）（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b，c 的关系式第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第10页 将式（a）代入式（4.2），即可得到欧拉法的表达式（4.6）。反之，将欧拉法的质点速度表达式（4.6）代入式（4.2），可得到（a） （b） 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第11页将（b）式进行积分，则 式中C1，C2，C3为积分常数。因为按拉格朗日法，当（起始时刻）时，、、，所以（c） 据此可以求出用a、b、c表示的C1，C2，C3的表达式 （e）（d）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第一节 流体运动的描述 第12页将（e）式代人（c）式，即可得到拉格朗日表达式（4.1）。 由于两种方法的互换性，故它们在流体动力学的研究中都可采用。但欧拉法比较简便，在讨论整体流场的运动特性时大多采用该方法。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第1页 除了研究流体质点的流动参量随时间的变化情况外，为了使整个流场形象化，从而得到不同流场的运动特性，还要研究同一瞬时质点与质点间或同一质点在不同时刻流动参量的关系，也就是质点参量的综合特性。前者称为流线研究法，后者称为迹线研究法。 一、迹线 迹线就是流体质点运动的轨迹线。在一般情况下，只有以拉格朗日法表示流体质点运动时才能作出迹线。迹线的特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而异，与时间无关。在以欧拉法表示流体运动特性时，可以用欧拉法与拉格朗日法的互换求出描述迹线的方程式。例如，一个流场的欧拉表达式为 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第2页 由于 则 这就是质点的轨迹微分方程式，即迹线微分方程式，其中t是独立变量。 （4.12）例题4.1 设有一流场，其欧拉表达式为 求此流场的迹线方程式。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第3页 解 求解上述微分方程，得到 当时，，，，代入上式得到 将A，B，C值代入前式得到 这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它表示一迹线族。若某一个质点，当时其起始位置，则这个质点的迹线方程式为 ，，第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第4页 若将连续的不同时间t代入上式，得到一系列空间坐标（x，y，z），由此可描绘出该质点的轨迹。二、流线 任一时刻t，流场中每一点均可沿该点速度方向作一微元线段，这些线段的连线构成一簇曲线，这些曲线中的每一条均称为流线。所以流线上任意一点的切线方向就是该点的流速方向。 根据上述流线的特性可以推导出流线方程式。设流线上任一点M（x，y，z）的速度为w，坐标轴上的三个分速度wx，wy，wz，w的方向余弦为 ，，而在M点的切线T与坐标轴之间夹角的余弦为 ，，第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第5页 是在M点流线上的微元弧长，，，为由于流线的切线T与速度w重合，所以两者与坐标轴的夹角余弦应相等，即 ，，在坐标轴方向上的分量。由此可得 这就是流线微分方程式。积分上式时，t 保持不变，可得到两个曲面方程，（4.13）它们的交线即为时刻 t 的流线方程。例题4.2 设有流场，其速度矢为，求时通过点（1，1，1）的流线方程。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第6页 解：此流场中的流线微分方程式为 保持t不变，积分上式得到 t=0时，x=1，y=1，z=1，则C1=1/2，C2=1。代入上式得到所求的流线 方程式为第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第7页 迹线和流线都是流场中的曲线族，都与流体运动有关，但它们代表了不同的概念。流线表示在某一瞬时流场中各流动质点的运动倾向，既反映质点在当时的流速大小，又反映其流动方向，即反映了流动速度向量。速度向量是随时间改变的，流线也必然随时间改变。迹线是某个流体质点在一段时间内经过的路程。质点是沿着迹线运动的，并不沿着流线运动。从流线与迹线方程也可以看出通过某质点的流线与该质点的迹线是不同的。迹线方程以时间t为自变量，流线方程中时间t是给定量，t不同，流线方程也不同。对于稳定流动，流场中任何点的流动参量不随时间改变，流线和迹线是一致的。因为这时流线已经不随时间而改变，也就是说，不管任何时刻，质点都是沿着流线在运动，所以流线也就是迹线。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第二节 迹线、流线、流管 第8页 三、流管 在流场内取任意封闭曲线l（图4.1），通过曲线l上每一点连续地作流线，则流线族构成一个管状曲面，叫做流管。因为流管是由流线组成的，所以流管上各点的流速都沿其切线方向，而不穿过流管表面。所以流体不能由外面进入流管，也不能由流管向外流出。流管就象刚体管壁一样，把流体的运动局限在流管之内（或流管之外）。实际管道流动中，紧贴管壁的那一层流体也构成流管。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第三节 环量和旋度、通量和散度的物理意义 第1页 一、环量和旋度 如图4.2所示，在流场内取任意封闭曲线l，曲线上任一点B的速度w沿曲线切线方向的分速度为wl，靠近B点取微元弧长 为沿曲线，则称L 的环量，以Г表示 （4.14）计算环量的积分方向是按逆时针方向为正，因此环量也可以按右手法则决定其正负。如果用向量表示，则 （4.15） ， 在直角坐标系中所以 （4.16）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第三节 环量和旋度、通量和散度的物理意义 第2页 在流场内取一点M（图4.2），曲面A包含M点，为曲面在M点的法线单位向量，曲面的周线为l，则环量与旋度有下列关系 当与的方向一致时，有 （4.17）此式说明在流场中一点取与该点旋度方向一致的微元曲面，则该曲面单位面积的环量与曲面趋近点的旋度的绝对值相等。第四章 流体运动学第四章 流体运动学 表示沿l 的平均角速度。当A→0时，M与o重合，M点的旋度等于周线l上各点对M点角速度平均值的两倍，或者说某一点的角速度等于该点旋度的一半。这样便建立了流场的旋度与该点角速度的关系。旋度仅与流场中位置有关，即视流速特性而定，与质点的迹线无关。 退 出返 回第三节 环量和旋度、通量和散度的物理意义 第3页 下面讨论旋度的物理意义。当A→0时，曲面A趋近于平面，可以认为，则 （4.18）式中二、通量和散度 在流场内取任意曲面A（图4.3），n为其法线。单位时间内流过A的流体体积叫做曲面A的通量或流量，以Q表示。（4.19） 第四章 流体运动学第四章 流体运动学如果在流场中封闭曲面A包围的体积为，则当→0时，单位体积的通量叫做M点的散度，以 退 出返 回第三节 环量和旋度、通量和散度的物理意义 第4页 表示 (4.20） 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第三节 环量和旋度、通量和散度的物理意义 第5页 按式（4.20）的定义 （4.21） 这就是散度在直角坐标系中的计算式。 上面推导中，包含M点的封闭曲面形状是任意的，而在推导式（4.21）时，包含M点的微小六面体的方位也是任意的，所以散度只与M点位置有关，即仅是坐标（x，y，z）的函数。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第四节 微元流体线的运动 第1页 在研究流体运动特性时，除了分析流线和流束外，还必须了解流动参量与流体运动方式的关系。流体的运动方式，除了有和刚体运动相同的平移运动和旋转运动外，还有形状变化和体积变化。微团的形状变化叫切变运动，微团体积的变化叫膨胀运动。所以流体微团有上述四种可能的运动。这四种运动都可以通过流动参量表示出来。在研究流体微团运动之前，先研究微元流体线的运动。 在某时刻t，在流场中任取一段微元流体线（图4.5）。 该微元流体线上各质点的运动速度并不相同，若A点的运动速度为wx、wy、wz，则B点的运动速度为 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第2页 第四节 微元流体线的运动 显然流体线的变形包含着伸缩和转动，现讨论如下。一、微元流体线的线变形速率 定义：单位时间内微元流体线的相对伸长率称为线变形速率。 由于故可按定义分别写出、、的线变形速率，并分别以、、表示。的线变形速率可写成 （4.22）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第3页 第四节 微元流体线的运动 同理可写出y、z方向的线变形速率： （4.23） （4.24）二、微元流体线的转动速率 定义：微元流体线的转动角速度称为转动速率。 一条微元流体线段可以有两个转动自由度，例如 既可以在xoz平面 内绕y轴转动，又可以在xoy平面内绕z轴转动。 、在xoz平面内的转动为例，如图4.6所示，按定义，绕y轴向z轴方向转动的角速度为以 （4.25）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第4页 第四节 微元流体线的运动 同理绕y轴向x轴方向转动的角速度为 同样可得到其它平面内的相应微元流体 线的转动角速度 （4.27） （4.28） （4.29） （4.30） （4.26）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第1页 第五节 流体微团的运动一、平均转动速率 定义：过某流体质点M的所有流体线的转动速度的平均值称为该质点的平均转动速率。 以xoy平面为例，过质点M作半径为dr的圆，圆周线上的速度如图4.7所示。沿圆周上的速度环量Γ为式中 ，，，且有代入上式得 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第2页 第五节 流体微团的运动 由于、、、与、无关，且与无关，则上式积分结果为 由（4.18）式可知 而 ，所以得到 同理可得到绕x、y轴的平均转动速率为绕z轴的平均转动速率为 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第3页 第五节 流体微团的运动由此得到流体微团的整体平均转动速率为 （4.31）因为 只是流场中某点（即微团极点M）的坐标和时间的函数，所以微团的旋转速度也只是极点坐标和时间的函数，其数值等于极点M附近的点对M点的旋转速度的平均值。如果微团内各点的旋转速度都等于则微团只有转动，不发生变形；否则微团除去转动外，还会发生变形，即 发生切变运动。二、角变形速率——切变速率 微团的角变形是由于微团内各点对M点的旋转角速度不均匀引起的。单位时间的角变形叫做切变速率或角变形速率，通常以线相对转动速率表示。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第4页 第五节 流体微团的运动以xoy平面内的微元流体线、为例（图4.8），向y轴转动，向x轴转动的绝对转动角速度为，M 点的旋转角速度为 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第5页 第五节 流体微团的运动、相对M点的转动角速度为 同理，其它两个平面内的流体线的相对转动角速度为 可见，，，，即线相对转动速率具有对称性。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第6页 第五节 流体微团的运动上述六式可写成 为正时，微元体角变形减小，称为收缩切变；为负时，微元体角变形增大，称为扩展切变。 微团的切变速率可写成 （4.32）和旋转速度相同，微团的切变速率也只是M点的坐标和时间的函数。 三个线变形速率和六个角变形速率构成一个二阶对称张量 式（4.33）中，当时为线变形速率张量；当时为角变形速率张量。（4.33）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第7页团的体积为 第五节 流体微团的运动三、体积膨胀速率 定义：单位时间内微元流体团的体积膨胀称为体积膨胀速率。 在t时刻，微元流体团的体积为 在时刻，微元流体 按上述定义，体积膨胀速率为 （4.34）可见，体积膨胀速率等于线变形速率之和。对于不可压缩流体，流体的体积不会发生变化，因此对应的体积膨胀速率为零，即 （4.35）第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第8页 第五节 流体微团的运动此时，虽然流体的线变形速率可以不等于零，但三个微元线段的线变形速率之和等于零。四、流体微团速度分解定理 如图4.5所示，流场中任取一微元流体线段A、B的速度差为（略去高阶微量） （4.36），其端点由于流体微团整体转动引起的相对运动速度为 （4.37） 第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第9页 第五节 流体微团的运动 式（4.36）可写成 这就是流体微团速度分解定理，又称速度分解公式。（4.38）第四章 流体运动学第四章 流体运动学 上式中右侧各项可在图4.9中分别表示出来。图4.9（a）表示上式右侧的第一项，它是由于平移运动引起的速度；图4.9（b）表示上式右侧的第二项，它是由于整体转动引起的相对速度；图4.9（c）表示上式右侧的第三项，它是由于线变形速率引起的相对速度；图4.9（d）表示上式右侧的第四项，它是由于角变形速率引起的相对速度。退 出返 回第10页 第五节 流体微团的运动 为了讨论上述速度分解公式的意义，现以平面流动（由上式可得到B点的速度为）为例，式（4.38）可以这样解释：由于微元流体线可以分解为、、，由、、组成微元流体团，微元流体线 是该微元流体团的对角线。 于是微元流体线 末端的运动可以看成由下列四种运动组成：整体的平移运动（图4.9（a））；整体的转动（图4.9（b））；体积膨胀运动（图4.9（c））；切变运动（图4.9（d））。第四章 流体运动学第四章 流体运动学退 出返 回第11页 第五节 流体微团的运动