010.函数极限定义的本质

2.函数极限定义的本质 对于极限的定义，关键是理解定义之本质．至于“利用放大缩小的技巧，根据‘任意 给定的’正数ε ，来求‘某个存在的’正数δ ，以证明极限等式”，在《教学大纲》上是很 明确的“不作要求”，《考研大纲》上虽然没有那么具体的讲法，但是，根据我的理解，实 际上也应该是这样的“不作要求”． 那么，是不是说极限的定义就不重要了？非也！ 极限的定义还是相当重要的，其重要性这里不作详细讨论了．既然“利用放大缩小的 技巧，根据‘任意给定的’正数ε ，来求‘某个存在的’正数δ ，以证明极限等式不作要 求”了，那么作为考研复习，又应该如何体现出“极限定义的重要性”呢？ 我认为：这就是要深刻理解“函数极限定义的本质”．下面的一些问题对你深刻理解“函 数极限定义的本质”或许有帮助． 一．在极限定义“对于任意给定的正数ε ，若存在正数δ ，使满足 δ<−< ax0 的 x，总 有 ε<− Lxf )( ，则称常数 L是函数 )(xf 在 ax → 时的极限，并记为 Lxf ax =→ )(lim ”中 的ε 和δ 之间的关系是（ ） （A）δ 与ε 无关；（B）δ 是ε 的函数，即 )(εδ f= ； （C）δ 由ε 所确定，但是并不唯一．对于满足极限定义的某个δ ，一切大于δ 的正数 *δ 都 满足定义的要求； （D）δ 由ε 所确定，但是并不唯一．对于满足极限定义的某个δ ，一切小于δ 的正数 *δ 都 满足定义的要求． 二．在下面各种讲法中，不可以作为“极限 Lxf ax =→ )(lim 等价定义”的是（ ） （A） 0>∀ε ， 0>∃δ ， { }δ<−<∈∀ ||0 axxx ⇒ ε+<− 110)( 100 Lxf ； （B） 0>∀ε ， 0>∃δ ， { }δ<−<∈∀ ||0 axxx ⇒ 1001)( ε<− Lxf ； （C） 0>∀ε ， 0>∃δ ， { }δ<−<∈∀ ||0 axxx ⇒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛<− 10exp)( εLxf ； （D） 0>∀ε ， 0>∃δ ， { }δ<−<∈∀ ||0 axxx ⇒ )8exp()( ε−<− Lxf ． 三．在下面各种讲法中，不可以作为“极限 Lxf ax =→ )(lim 等价定义”的是（ ） （A）对于任意正整数 n，存在正整数 k ，当 k ax 10 <−< 时，有 n Lxf 1)( <− ； （B）对于任意正整数n，存在正整数 k ，当 k ax 10 <−< 时，有 n Lxf 1)( ≤− ； （C）对于任意正整数n，存在正整数 k ，当 k ax 10 ≤−< 时，有 n Lxf 1)( <− ； （D）存在正整数 k ，当 k ax 10 <−< 时，对于任意正整数 n，有 n Lxf 1)( <− ． 解答：一．（D） 二．（C）【说明】这里关键是正确地理解极限定义 “ 0>∀ε ， 0>∃δ ， { }δ<−<∈∀ ||0 axxx ⇒ ε<− Lxf )( ” 中的正数ε “是可以任意地小的”． 在本命题的四个备选中，真正担当起定义中的“正数ε ”角色的分别是 ε+1 10100 、 100 1 ε 、 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 10 exp ε 和 )8exp( ε− ． 虽然他们都是正数，但是他们并不都“是可以任意地小的”，显然对于任意的 0>ε ， ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 10 exp ε 不可能任意地小，而总有 1 10 exp >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε ．对于其他三个，他们确实“是 可以任意地小的”． 三．（D）【说明】这里选项（Ａ）中 n 1 和 k 1 是可以分别担当“定义”中“ε ”和“δ ” 的角色的． 选项（Ｂ）中，可以用 n 2 和 k 1 来担当“规范定义”中“ε ”和“δ ”的角色的． 选项（Ｃ）中，可以用 n 1 和 k2 1 来担当“规范定义”中“ε ”和“δ ”的角色的． 在本质上，达式 δ<−< ax0 和 δ≤−< ax0 都说明了 x 充分靠近 a ；而 ε<− Lxf )( 和 ε≤− Lxf )( 都说明了 )(xf 无限趋近于 L． 而选项（Ｄ）是错的，除了常数函数（在点a的去心邻域内）外，不可能由 Lxf ax =→ )(lim 导出“存在一个确定的正整数 k ，当 k ax 10 <−< 时，对于任意正整数 n ，有 n Lxf 1)( <− ”成立． 这可利用反例 xxf =)( 来加以说明．因为 )()(lim aLxf ax ==→ 存在．但是在点 a 的 k 1 0 =δ 去心邻域内（即 kax 10 <−< ），对于 kn 2 11 <=ε ，并不总成立有 ε<− Lxf )( ， 即 n Lxf 1)( <− ．