中科院高等数学乙00_01_02_05答案00_01_02

中国科学院研究生院 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称：高等数学（乙）卷 考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。 2．所有必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效；试题纸随答题纸一起交回。 ______________ 一、（本题满分 50 分，每小题 5 分） 1． 求极限： 2 2 2 1 2lim 1 2n n n n n n n n n→∞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠L . 2． 求不定积分： 2 ln (1 ) x dx x−∫ . 3． 设 ( 0, 0 x a ba b xy a ) b x a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ > >⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ yb ，求 ′ . 4． 求过点 ，既与直线0(2,2,1)M 0 1 1: 4 8 5 1x y zL − + −= = 平行、又与平面 0 :π 1 0x y z+ + + = 垂直的平面方程。 5． 求方程 tany yy x x ′ = + 的通解。 6． 判断级数 1 ! ( 0 n n n a n a n ∞ = >∑ )的敛散性。 7． 已知函数 f(x)和 g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且当 x→0 时，f(x)与 g(x)是两个等价的无穷小， 求极限 0 0 0 ( )sin lim ( ) x xx f t t d t g t dt→ ∫ ∫ t 。 8． 求u = f (x2 + y2 + z2)的二阶偏导数 2 2 2 u u x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂和 。 9． 计算二重积分 (| | ) D x y dxdy+∫∫ ，其中 D: |x| + |y| ≤1. 10. 将f(x) = ln(1+ x + x2 + x3 + x4)展开为幂级数。 科目名称：高等数学（乙） 第 1 页共 2 页 科目名称：高等数学（乙） 第 1 页 共 2 页 二、（本题满分 10 分）设 2ln( 1)x x + 是 f(x)的一个原函数， 2 1 ( )0, f kxk d k ≠ ∫求 x。 三、（本题满分 10 分）计算 ∫ +−= c yx xdyydxI 22 ，其中 c 为： (1) 的逆时针方向； 2 2( 1) ( 1)x y− + − = 1 (2) 正方形边界 1x y+ = 的逆时针方向。 四、（本题满分 10 分）设 , 1 ( ) 8 1 8 6, 1 ax b x f x x x x +⎧ ≠⎪= + − +⎨⎪ =⎩ 在 x=1 处连续，确定 a, b . 五、（本题满分 12 分）计算定积分 3 2 2 | 2 3 |x x d− − −∫ x 。 六、（本题满分 12 分）求幂级数 1 1ln(1 ) n n x n ∞ = +∑ 的收敛域。 七、（本题满分 8 分）设 f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导， 1 2 0 (1) 2 ( )f f x dx= ∫ ，求证： 0 1ξ∃ ∈（ ，）使 得 ( ) 0f ξ′ = 。 八、（本题满分 12 分）求初值问题 0 02 , | 0, |x x xy y y xe y y= =′′ ′ ′ 0+ + = = = 的解。 九、（本题满分 10 分）设 y = y(x) 是由方程组 23 2 3 sin 1 0y x t t e t y ⎧ = + +⎨ − + =⎩ 确定的函数，求 0t dy dx = 。 十、（本题满分 10 分）某专卖店销售两种同类产品。甲产品成本价为每件 50 元，乙产品成 本价为每件 60 元。根据经验，当甲产品售价为每件 x 元，乙产品售价为每件 y 元时，每天可 卖出甲产品100 6 5x y− + 件，乙产品110 5 5x y+ − 件。问专卖店应如何确定售价 x 和 y，才 能使其每天获利最大？ 十一、（本题满分 6 分）一个体积为V1、表面积为S的雪堆，溶化速度为 dV aSdt = − ，其中a是一 个常数。假定在溶化期间雪堆的形状保持为 2 2 ,x yz h z h + 0= − > ，其中h = h(t)。问一个高 度为h0的雪堆全部溶化需多长时间？ 科目名称：高等数学（乙） 第 2 页共 2 页 高等数学乙-2000-001.bmp 高等数学乙-2000-002.bmp 高等数学乙-2001-001.bmp 高等数学乙-2001-002.bmp 高等数学乙-2002-001.bmp 高等数学乙-2002-002.bmp 高等数学乙-2005.doc 高等数学乙-答案-2000-001.jpg 高等数学乙-答案-2000-002.jpg 高等数学乙-答案-2000-003.jpg 高等数学乙-答案-2001-001.jpg 高等数学乙-答案-2001-002.jpg 高等数学乙-答案-2001-003.jpg 高等数学乙-答案-2002-001.jpg 高等数学乙-答案-2002-002.jpg 高等数学乙-答案-2002-003.jpg 高等数学乙-答案-2002-004.jpg