广义Orlicz空间L_p_x_

国家与甘肃省自然科学基金及高校博士点基金资助项目 收稿日期: 1996- 05- 09 广义O rlicz 空间L p (x ) (8 ) 赵　敦 (兰州大学数学系　兰州　730000) 强文久 范先令 (中国人民警官大学基础部　北京　102600) (兰州大学数学系　兰州　730000) 【摘　要】　讨论了广义O rlicz 空间L p (x ) (8 )及其共轭空间的某些基本性质。 【关键词】　积分　O rlicz　空间　范数　共轭空间 【分类号】　O 177191 在弹性力学等一些问题的研究中, 要遇到形如∫8 ûu (x ) û p (x ) dx 的积分, 其中 p (x ) 是 8 上 的函数, 为此需要建立空间L p (x ) (8 )的专门理论。这种空间是熟知的L ebesgue 空间L p (8 ) 的 推广, 是一种广义O rlicz 空间。文中仅限于讨空间L p (x ) (8 )及其共轭空间的某些基本性质。 1　空间L p (x ) (8 ) 为简单起见, 文中的测度取为R n 中的L ebesgue 测度, 函数均指实值函数。但所述结果容 易推广到一般的测度与复值函数的情形。 设 8 为R n 中的可测集, 其测度 Λ(8 ) > 0, 记 E = {u (x )∶u (x )是 8 上的可测函数} E 中几乎处处相等的元视为同一个元。 设 p (x ) ∈E , 且对几乎所有的 x ∈8 有 1≤p (x ) < ∞ (在下文中,“几乎所有”一词常混同 于“所有”) , 以下总假定 u (x )是 E 中的元素, 并且记Υ(x , s) = sp (x ) , 　　Π x ∈ 8 , s ≥ 0 (1)Θ(u ) =∫8 Υ(x , ûu (x ) û ) dx =∫8 ûu (x ) û p (x ) dx (2) L p (x ) (8 ) = {u ∈ E : limΚ 0+ Θ(Κu ) = 0} (3) L p (x )0 (8 ) = {U ∈ E∶Θ(u ) < ∞} (4) L p (x )1 (8 ) = {u ∈ E : Π Κ> 0, Θ(Κu ) < ∞} (5) 容易验证, 上面定义的函数 Υ属于文献〔1〕中定义的类 5 , 即 Υ满足下面的 (É )、(Ê ) :É ) 对每个 x ∈8 , Υ(x , ·) :〔0, ∞)  R 是连续非减函数, Υ(x , 0) = 0, 且 s> 0 时, Υ(x , s) 第 9 卷 第 2 期 1997 年 6 月 　　　　　　　　　　　　　　 甘肃科学学报 Journal of Gansu Sciences　　　　　　　　　　　　　　 V o l. 9　 N o. 2 Jun. 1997 > 0; s ∞时, Υ(x , s)  ∞。Ê ) 对每个 s≥0, Υ(·, s)∈E. 此外易见上面的 Υ关于 s 还是凸函数。 按文献〔1〕中的术语, Θ是 E 上的一个凸模, 即 Θ: E  〔0, ∞〕具有下面的性质 a) - c) : a) Θ(u ) = 0Ζ u= 0; b) Θ(- u ) = Θ(u ) ; c) Θ(Αu+ Βv )≤ΑΘ(u ) + ΒΘ(v ) , Π u , v∈E , Π Α, Β≥0, Α+ Β= 1。 于是, 按照 (1) 中的定义, L p (x ) (8 ) 是一种广义O rlicz 空间 (或者称为M u sielak2O rlicz 空 间) ,L p (x )o (8 )是一种广义O rlicz 类。易见L p (x ) (8 )是E 的线性子空间,L p (x )o (8 )是L p (x ) (8 )中的 凸子集。一般地有 L p (x )1 (8 ) < L p (x )o (8 ) < L p (x ) (8 ) 由 Υ(x , s)的性质, 显然有L p (x ) (8 ) = {u∈E∶ϖ Κ> 0, Θ(Κu) < ∞}。 定理 111　下列条件等价 1) p (x )≥1 有界; 2) L p (x )1 (8 ) = L p (x ) (8 )。 证明　1) ] 2)是显然的。2) ] 1)　用反证法, 设 p (x ) 无界, 则可取到 8 中两两不交的正 测度子集列{I n}, 使在 I n 上 p (x ) > n　　 (n = 1, 2, ⋯⋯) 由于 p (x ) < ∞, 所以对任意的 u∈〔0, ∞) , û u (x ) û p (x ) < ∞, 选 (0, + ∞) 上的单增数列{un}, 使 当 n ∞时, u n ∞, 于是存在 k n , 使得在 I n 上 ∫I n u p (x ) k n dx ≥ 12n 根据积分的绝对连续性, 可取到 8 n< I n , 使 ∫8 n u p (x ) k n dx = 12n 记 ς8 n (x )为 8 n 的特征函数, 令 uo (x ) = ∑ ∞ n= 1 u k n ς8 n (x ) 那么 ∫8 ûu o (x ) û p (x ) dx = ∑∞n= 1∫8 n up (x )kn dx = ∑∞n= 1 12n = 1, ∫8 û2u o (x ) û p (x ) dx = ∑∞n= 1∫8 n 2p (x ) up (x )kn dx > ∑∞n= 1 2n∫8 n u p (x )kn dx = ∞ 即有 uo (x )∈L p (x ) (8 )但 u o (x )∈- L p (x )1 (8 ) , 与 2)矛盾。 下面我们将只考虑 p (x )为有界函数的情形, 即假设 1 ≤ p - Χ ess inf x∈8 p (x ) ≤ ess supx∈8 p (x ) Χ p + < ∞ (6) 简记 E Θ= L p (x ) (8 ) = L p (x )0 (8 ) = L p (x )1 (8 ) , 依文献〔1〕, 可按下述方式在 E Θ中定义范数 ‖u‖L p (x ) (8 ) , 记为‖u‖Θ: 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　甘 肃 科 学 学 报　　　　　　　　　　　　　　　　　　1997 年　第 2 期 ‖u‖Θ = inf{Κ> 0∶Θ uΚ ≤ 1} 这样 (E Θ, ‖·‖Θ)成为Banach 空间。 易见在 (6)下, Θ还具有下述性质 d) Θ(u+ v )≤2p + - 1 (Θ(u ) + Θ(v ) ) ; Π u , v∈E. e) 对于 u∈E Θ, 当 Κ> 1 时有Θ(u ) ≤ ΚΘ(u ) ≤ Κp - Θ(u ) ≤ Θ(Κu ) ≤ Κp + Θ(u ) ; 当 o< Κ< 1 时有 Κp + Θ(u ) ≤ Θ(Κu ) ≤ Κp - Θ(u ) ≤ ΚΘ(u ) ≤ Θ(u ). 　　f) 对每个固定的 u∈E Θø{0}, Θ(Κu)是关于 Κ的连续凸偶函数, 且在 Κ∈〔0, ∞)上严格单调 递增。 由性质 f)及‖·‖Θ的定义可得 定理 112　设 u∈E Θø{0}, 则‖u‖Θ= a 当且仅当 Θ u a = 1, 换言之‖u‖Θ的值恰为使 Θ u a = 1 成立的那个唯一的正数 a。 范数‖u‖Θ与模 Θ(u )间有下面的关系。 定理 113　设 u∈E Θ, 那么 1) ‖u‖Θ< 1 (= 1; > 1) Ζ Θ(u ) < 1 (= 1; > 1) ; 2) ‖u‖Θ> 1 时, ‖u‖p -Θ ≤Θ(u )≤‖u‖p +Θ ; 3) ‖u‖Θ< 1 时, ‖u‖p +Θ ≤Θ(u )≤‖u‖p -Θ 。 证明　由性质 f)和定理 112 可推出 1) , 下面只证结论 2) , 设‖u‖Θ= a> 1, 根据定理 112,Θ u a = 1, 注意到 1 a < 1, 利用性质 e) , 就有 1 a p + Θ(u ) ≤ Θ u a = 1 ≤ 1 a p - Θ(u ) 即得 2)。 定理 114　设 u , u k∈E Θ, k = 1, 2, ⋯⋯, 则下述条件相互等价 1) lim k ∞‖u k - u‖= 0; 2) lim k ∞Θ(u k - u ) = 0; 3) u k 在 8 中依测度收敛于 u 且 lim k ∞Θ(u k ) = Θu 证明　1)和 2)的等价性可由文献〔1〕中定理 116 及前述 Θ的性质 e)推出, 下证 2) 与 3) 等 价。 若 2)成立, 即有 lim k ∞∫8 ûu k - uû p (x ) dx = 0 , 此时易见 u k 在 8 中依测度收敛于 u , 于是ûu k (x ) û p (x )依测度收敛于ûu (x ) û p (x ) , 注意到不等式ûu k (x ) û p (x ) ≤ 2p + - 1 (ûu k (x ) - u (x ) û p (x ) + ûu (x ) û p (x ) ) 用V ita li 积分收敛定理即可得出 Θ(u k )  Θ(u ) , 即 3)成立。 反之, 若 3)成立, 可推出ûu k (x ) - u (x ) û p (x )在 8 中依测度收敛到 0, 再利用不等式ûu k (x ) - u (x ) û p (x ) ≤ 2p + - 1 (ûu k (x ) û p (x ) + ûu (x ) û p (x ) ) 3赵　敦等: 广义O rlicz 空间L p (x ) (8 ) 及条件 Θ(u k )  Θ(u ) , 即可推出 lim k ∞Θ(u k - u ) = 0。 条件 (6)保证了对每个 s≥0, 函数 Υ(·, s)在 8 中是局部可积的。这样, 由文献〔1〕中的定 理 717 和 7110 得到。 定理 115　空间 (L p (x ) (8 ) ) , ‖u‖Θ)是可分的。 由文献〔1〕中的定理 716 可得 定理 116　8 上简单可积函数全体所成的集合 S 在空间 (L p (x ) (8 ) , ‖·‖Θ)中稠密。 当 8 是 R n 中的开集时, 对 S 中的每个成员, 用通常的软化子的办法, 可用C∞0 (8 ) 中的成 员在范数‖·‖Θ的意义下去逼近, 这样, 由定理 116 有 定理 117　若 8 是 R n 中的开集, 则C∞0 (8 )在空间 (L p (x ) (8 ) , ‖·‖Θ)中稠密。 下面讨论L p (x ) (8 )的一致凸性。 首先给出下面的结论: 引理　设 p (x ) > 1 有界, 则 Υ(x , s) = sp (x ) 关于 s 是强凸的, 即对任意的 a∈ (0, 1) , 存在 ∆ (a)∈ (0, 1)使得对一切 s≥0, b∈〔0, a〕成立Υ x , 1 + b2 s ≤ (1 - ∆(a) ) Υ(x , s) + Υ(x , bs)2 (7) 　　证明　注意到 (7)可写为下式 1 + b 2 p (x ) ≤ (1 - ∆(a) ) 1 + bp (x )2 易见对几乎所有的 x ∈8 与 0≤b< 1, 总有 1+ b2 p (x ) < 1+ bp (x )2 , 令 Η( t) = 1+ b2 p (x ) ö1+ bp (x )2 易证对几乎所有的 x (使 p (x )∈〔p - , p + 〕的 x ∈8 ) , Η( t)在 (0, 1)上是严格单调递增的, 所以只 要证明 Η(a)≤1- ∆(a ) 成立即可, 不然, 则存在点列 x n∈8 , 使得 lim n ∞Η(a ) = 1, 那么可选出 p ( x n ) 收敛的子列 p (x n j ) 仍然满足 limn j  ∞Η(a ) = 1, 设 p (x n j ) = pθ∈〔p - , p + 〕, 就有 1+ b2 p - = 1+ bpθ 2 矛盾, 所以 supa. e x∈8 Η(a) < 1, 即存在 ∆(a) ∈ (0, 1) , 使对几乎所有的 x ∈8 , Η(a) ≤1- ∆(a) , 命题证毕。 由上面的引理和文献〔1〕中的定理 1116, 即可得 定理 118　p - > 1, p + < ∞, 则空间L p (x ) (8 )是一致凸的, 因而是自反的。 在本节最后, 我们给出一个嵌入结果。 定理 119　设 Λ(8 ) < ∞, p 1 (x ) 和 p 2 (x ) 是 8 上满足条件 (6) 式的可测函数, 则L p 2 (x ) (8 )< L p 1 (x ) (8 )的充分与必要条件是在 8 上几乎处处有 p 1 (x )≤p 2 (x )。此时, 该嵌入是连续的。 证明　设 p 1 (x )≤p 2 (x ) , 此时成立 s p 1 (x ) ≤ sp 2 (x ) + 1　　Π s ≥ 0, x ∈ 8 由此可推出L p 1 (x ) (8 ) < L p 2 (x ) (8 ) , 且由文献〔1〕中的定理 815 知嵌入映射连续。反之, 若有 L p 2 (x ) (8 ) < L p 1 (x ) (8 ) 由文献〔1〕中定理 815 知, 存在正常数 K 与 8 上的非负可积函数 f (x ) , 使得 sp 1 (x )≤K sp 2 (x ) + f (x )对所有 s≥0 和 x ∈8 成立。若 p 1 (x )≤p 2 (x )不成立, 则存在 8 的一 个具正测度的子集A , 使得当 x ∈A 时 p 1 (x ) > p 2 (x ) , 由 f (x )的非负可积性, 可找到一个具有 正测度的子集B < A , 使得 x ∈B 时, f (x ) ≤M , (M 为某个正常数) 并且 sp 1 (x ) ≤K sp 2 (x ) + f (x ) 成立, 即对任意 s≥0, x ∈B 时有 sp 1 (x ) - p 2 (x )≤K + M S - p 2 (x ) , 令 s ∞, 得到矛盾, 证毕。 4　　　　　　　　　　　　　　　　　　甘 肃 科 学 学 报　　　　　　　　　　　　　　　　　　1997 年　第 2 期 2　L p (x ) (8 )的等价范数和共轭空间 在本节仍然采用前面的记号和。 前面在L p (x ) (8 )上定义的范数‖·‖Θ称为L uxem bu rg 范数, 还可引入另一种常用范数û‖·‖û Θ如下: û‖õ ‖û Θ = infΚ> 0Κ 1 + Θ uΚ (8) 称为Am em iya 范数。上面两种范数是等价的, 它们有下面的关系〔1〕。 ‖u‖Θ≤‖u‖Θ≤ 2‖u‖Θ, 　　Π u ∈L p (x ) (8 ). 　　可以验证, p (x ) 为常数 p 时, 若记‖u‖L p (8 ) = (∫8 ûu (x ) û p dx ) 1p 则‖u‖Θ= ‖u‖L p (8 ) ,û‖Θ= 2û‖L Θ(8 )。 设 Α(x ) 为 8 上的可测函数且 o< a≤Α(x ) ≤b< ∞, 其中 a 和 b 是正常数, 记 ΥΑ(x , s) = Α (x ) Υ(x , s) = Α(x ) sp (x ) , 类似于前节中 Θ与 E Θ的定义, 令 ΘΑ(u ) =∫8 ΥΑ(x , ûu (x ) û ) dx 及 E ΘΑ = {u ∈ E : limΚ 0+ ΘΑ(Κu ) = 0}。由于 aΥ(x , s) ≤ ΥΑ(x , s) ≤ bΥ(x , s) 并且 aΘ(u ) ≤ ΘΑ(u ) ≤ bΘ(u ) , 所 以 E ΘΑ = E Θ = L p (x ) (8 ) , 若在 E ΘΑ 中按模 ΘΑ象前面一样定义范数‖u‖ΘΑ 如下: ‖u‖ΘΑ = inf{Κ> 0: ΘΑ uΚ ≤ 1} (9) 易见在L p (x ) (8 )中‖·‖ΘΑ和‖·‖Θ是等价的范数。 下面来讨论空间 L p (x ) (8 ) 的共轭空间, 即其上连续线性泛函全体所成的空间 (L p (x ) (8 ) ) 3 。 下面总假定 p (x )满足条件 (6)式且 p - > 1, 按文献〔1〕中的定义, Υ(x , s) = sp (x ) 是N 函数, 即 Υ∈5 , 对 x ∈8 , Υ是 s 的凸函数, 并满足 (0) (∞) 　　 lim s 0+ Υ(x , s)s = 0, lim s ∞ Υ(x , s)s = ∞ 记 Υp = 1p (x ) sp (x ) , 那么 Υp 也是N 函数, 令Θp (u ) =∫8 Υp (x , ûu (x ) û ) dx ‖·‖Θp按 (9)式确定, 则‖·‖Θp是L p (x ) (8 )中的等价范数, 易见 Υp 的 Young 共轭函数为Υ3p (x , s) = 1q (x ) sq (x ) = Υq (x , s) 其中 q (x )是 p (x )的共轭函数: 1p (x ) + 1 q (x ) = 1, 显然有 (Υ3p ) 3 = Υp , 并且 q- 和 q+ 分别是 p + 和 p - 的共轭数, 特别有 q- > 1 和 q+ < ∞, 令Υ3p (v ) =∫8 1q (x ) ûv (x ) û q (x ) dx =∫8 Υ3p (x , ûv (s) û ) dx , E 3Θp = {v ∈ E : limΚ 0+ Θ3p (Κv ) = 0}, 5赵　敦等: 广义O rlicz 空间L p (x ) (8 ) 则有 E 3Θp = L p (x ) (8 ) = L p (x )0 (8 ) = {v ∈ E :∫8 ûv (x ) û q (x ) dx < ∞}, 由文献〔1〕中推论 13114 与定理 13117, 我们得到下述 定理 211　 (L p (x) (8 ) ) 3 = L q (x) (8 ) , 即有 (1) 对于任意 v∈L q (x) (8 ) , 由 f (u ) =∫8 u (x ) v (x ) dx , 　　　Π u ∈L p (x ) (8 ) (10) 所定义的 f 是L p (x ) (8 )上的一个连续线性泛函。 (2) 对于L p (x ) (8 )上的任一连续线性泛函 f , 存在唯一的 v∈L q (x ) (8 )使 f 由 (10)定义。 由定理 2·1 也可推出当 p - > 1, p + < ∞时空间L p (x ) (8 )是自反的。 我们知道, 对于Banach 空间 (X , ‖·‖) , 共轭空间X 3 中的范数‖·‖′通常由下式定义 ‖x 3 ‖′= sup {< x 3 , x > : ‖x ‖≤ 1} (11) 其中 x 3 ∈X 3 , < x 3 , x > = x 3 (x ) , 且这时成立û < x 3 , x > û ≤‖x 3 ‖′õ ‖x ‖　　Π x ∈X , x 3 ∈X 3 (12) 自然, X 3 中的范数‖·‖′依赖于X 中的范数‖·‖, 现在我们取X = L p (x) (8 ) , 则 X 3 = L q (x) (8 ) , 对 v∈X 3 和 u∈X, 令 < u , v > =∫8 u (x ) v (x ) dx (13) 若在X 中用范数‖·‖Θp , 则根据文献〔1〕中的定理 13111 有 ‖v‖Θ3p ≤‖v‖′Θp ≤ 2‖v‖Θ3p , Π v ∈X 3 (14) 一个有趣的问题是当X 中使用范数‖·‖Θ时 X 3 中的范数‖1‖′Θ与原有范数‖1‖L q (x) (8 ) 之 间的关系, 众所周知, 当 p (x)恒为常值 p∈ (1, ∞)时, 上述两个范数恰好相等, 这里我们给出 定理 212　在上面的假设下, 对任意 v∈L q (x) (8 ) ‖v‖L q (x ) (8 ) ≤‖v‖′Θ≤ 1p - + 1q- ‖v‖L q (x ) (8 ) (15) 　　证明　对 v∈L q (x) (8 ) , u∈L p (x) (8 ) , 设‖v‖L q (x) (8 ) = a, ‖u‖Lp (x) (8 ) = b≤1, 那么有 ∫8 u (x )b v (x )a dx ≤∫8 1p (x ) û u (x )b û p (x ) dx +∫8 1q (x ) û v (x )a û q (x ) dx ≤ 1 p -∫8 û u (x )b û p (x ) dx + 1q-∫8 û v (x )a û q (x ) dx = 1 p - + 1 q- 于是 ∫8 u (x ) v (x ) dx ≤ 1p - + 1q- ab ≤ 1p - + 1q- a , 即有 ‖v‖′Θ≤ 1p - + 1q- ‖v‖L q (x ) (8 ) , 另一方面, 对于 v∈L q (x ) (8 )与‖v‖L q (x ) (8 ) = a , 令 u (x ) = v (x ) a q (x ) - 1 sgnu (x )则有 6　　　　　　　　　　　　　　　　　　甘 肃 科 学 学 报　　　　　　　　　　　　　　　　　　1997 年　第 2 期 u (x ) p (x ) = v (x ) a q (x ) 由此知 u (x )∈L p (x ) 8 且‖u‖L p (x ) (8 ) = 1, 而这时 ∫8 u (x ) v (x ) dx =∫8 aû v (x )a û q (x ) dx = a = ‖v‖L q (x ) (8 ) , 由此推出‖v‖′Θ≥‖v‖L q (x ) (8 ) , 定理证毕。 此定理可视为结论 (14)的一种推广。 参　考　文　献 1　M usielak J. O rlicz Spaces and M odular Spaces, L ectu re N o tes in M ath. 1034, Sp ringer2V erlag, Berlin, 1983 ON THE GENERAL IZED ORL ICZ SPACES L p (x) (8 ) Zhao D un (D ep t of M athem atics, L anz hou U niversity , L anz hou　730000　Ch ina) Q iang W en jiu (D ep t of B asic Cou rses, Ch ina P eop le′s P olice Of f icer U niversity , B eij ing　102600　Ch ina) Fan X ian ling (D ep t of M athem atics, L anz hou U niversity , L anz hou　730000　Ch ina) ABSTRACT　Som e basic p ropert ies of the genera lized O rlicz spaces L p (x ) (8 ) and their con ju2 gate spaces are discu ssed here. KEY WORD S　in tegra l, O rlicz space, no rm , con jugate space. 【作者简介】 赵　敦　男　甘肃武都人, 1967 年 8 月生; 1992 年毕业于兰州大学数学系, 获硕士学位, 现任兰州大学数 学系讲师。 强文久　男　河北省人, 1944 年 4 月生; 1981 年毕业于兰州大学数学系, 获硕士学位, 现任中国人民警官 大学基础部副教授。 范先令　男　河南省安阳市人, 1944 年 3 月生; 1982 年毕业于兰州大学数学系, 获硕士学位, 现任兰州大 学数学系教授, 博士研究生导师。 7赵　敦等: 广义O rlicz 空间L p (x ) (8 )