高9-6

第八章 1 ._____________,2.1 2 =-= dzyxz 则 yx dyxdx 22 - - ._____________ ,cos,sin),arctan(.2 = === dt dz tytxxyz 则 tt t 22 cossin1 2cos ×+ .________,.3 == dzxyze z 则 )( xdyydxxye z z +- 第八章 2 ________),(.4 22 = ¶ ¶ - ¶ ¶ += y zx x zyyxfz 则 0 .__________),(),( ,),(.5 22 = ¶ ¶ + ¶ ¶ -=-+ y yxf x yxf yxyxyxf 则 yx + ),( y y xfu = ),( tsf ._______=du 6.设函数 ,其中 一阶偏导数，则 具有连续的 1 1 f y ¢ dx 2[ f ¢+ 12 fy x ¢- dy] 第八章 3 ., ),,(32)32sin(2.7 y z x z yxzzzyxzyx ¶ ¶ ¶ ¶ =-+=-+ 求 确定设 解令 zyxzyxzyxF 32)32sin(2),,( +---+= =¢xF 1)32cos(2 --+ zyx =¢yF =¢zF 所以 = ¢ ¢ -= ¶ ¶ z x F F x z = ¢ ¢ -= ¶ ¶ z y F F y z , 3 1 . 3 2 则 22)32cos(2 -×-+ zyx 3)3()32cos(2 +-×-+ zyx xF ¢= 2 xF ¢-= 3 第八章 4 8、设 ,),( zyxzyxfz ++= 求 . x z ¶ ¶ 解 令 ,zyxu ++= ,xyzv = 则 ),,( vufz = ),(),,( vufzzyxF -=令 -= ¢ ¢ -= ¶ ¶ z x F F x z )(0 vu fyzf ¢+¢- )(1 vu fxyf ¢+¢- . 1 vu vu fyxf fzyf ¢-¢- ¢+¢ = 第八章 5 , )( )( z yyx z yz F F y z z y j j ¢- ¢- =-= ¶ ¶, )( z yyx z F F x z z x j ¢- =-= ¶ ¶ 于是 z y zy x zx = ¶ ¶ + ¶ ¶ . 9. 已知 )( z y z x j= ， j可微函数，求 . y zy x zx ¶ ¶ + ¶ ¶ 解 记 )(),,( z y z xzyxF j-= , 则 z Fx 1 = ， ,1)( zz yFy ×¢-= j , )()( 22 z y z y z xFz - ×¢- - = j 第八章 6 §8.6多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 n过点M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. G T M p n空间光滑曲线在点M 处的切线为此点处割线的极 限位置. 设空间曲线G的方程 )1( )( )( )( ïî ï í ì = = = tz ty tx w y f 第八章 7 ),,( 0000 zyxMtt 对应设 = ),,( 000 0 zzyyxxM ttt D+D+D+¢ D+= 对应 z zz y yy x xx D - = D - = D - 000 割线 的方程为MM ¢ o z yx M· · M ¢ ),,( zyx· 上式分母同除以 ,tD tDtD tD ,000 z zz y yy x xx D - = D - = D - 曲线在M点的切线方程,0, 时即当 ®D®¢ tMM 000 zzyyxx -=-=- )( 0tj ¢ )( 0ty ¢ )( 0tw ¢ 第八章 8 p GM •法平面方程 T•切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. { })(),(),( 000 tttT wyf ¢¢¢=  0))(())(())(( 000000 =-¢+-¢+-¢ zztyytxxt wyf ï î ï í ì = = = G )( )( )( : tz ty tx w y f •曲线在M点的切线方程 000 zzyyxx -=-=- )( 0tj ¢ )( 0ty ¢ )( 0tw ¢ 第八章 9 ïî ï í ì =- =-+ 01 02 y zx p 例1.求圆柱螺旋线 jjj === zyx ,sin,cos 2 pj = 对应点处的切线方程和法平面方程. ,2时当 pj = 切线方程 = - 1 x 法平面方程 x- 02 =+- pzx即 即 解:由于 ,sinj-=¢x 0 1-y 1 2 p- = z ,cosj=¢y ,1=¢z 对应的切向量为 0)2( =-+ pz 在 )1,0,1(-=T  , 故 第八章 10 1.空间曲线方程为 , )( )( ï î ï í ì = = = xz xy xx y f ,),,( 000 处在 zyxM )()(1 0 0 0 00 x zz x yyxx yf ¢ - = ¢ - = - .0))(())(()( 00000 =-¢+-¢+- zzxyyxxx yf 法平面方程为 切线方程为 特殊情况： 第八章 11 2.空间曲线方程为 , 0),,( 0),,( î í ì = = zyxG zyxF 切线方程为 Myx yx Mxz xz Mzy zy GG FF zz GG FF yy GG FF xx 000 -=-=- 法平面方程为 .0)()()( 000 =-+-+- zzGG FF yy GG FF xx GG FF Myx yx Mxz xz Mzy zy 在点 ),,( 000 zyxM 有 ïî ï í ì = = )( )( xz xy y j xx = 第八章 12 例2. 求曲线 0,6222 =++=++ zyxzyx 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. Mzy zy GG FF 切线方程 121 -=+=- zyx 解令 ,,222 zyxGzyxF ++=++= 则 即 î í ì =+ =-+ 02 02 y zx 切向量 ;0= Mxz xz GG FF M zy 11 22 = M zy )(2 -= ;6-= 0 66- 6= Myx yx GG FF )6,0,6( -=T 法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 =-×++×+-×- zyx 即 0=- zx 第八章 13 二、曲面的切平面与法线 n设M是曲面å上一定点,若å上过M点的任何光 滑曲线在M点的切线都在同一平面上,此平面称为 å在M点的切平面.称与切平面垂直的直线为法线. 设曲面å: 0),,( =zyxF 过其上定点 ),,( 000 zyxM 任引一条光滑曲线 , )( )( )( : ï î ï í ì = = = G tz ty tx w y j n T  M Mtt 对应点0= åÎG , 0))(,)(,)(( º\ tttF wyj 第八章 14 ))(,)(,)(( MFMFMFn zyx=  nT   ^Û )(MFx )()( 0xxMFx - )()( 0yyMFy -+ 000 zzyyxx -=-=- 0))(( 0 =-+ zzMFz åÎG , 0))(,)(,)(( º\ tttF wyj 处求导两边在 0tt = )( 0tw ¢ 0= ),,( 000 zyxFx ),,( 000 zyxFy+ ),,( 000 zyxFz+ )( 0tj ¢ )( 0ty ¢ ))(,)(,)(( 000 tttT wyj ¢¢¢=  0=× nT   即 G在点M的切向量 å在点M 的法向量 切平面方程 法线方程 )(MFy )(MFz 第八章 15 解: 3),,( -+-= xyzezyxF z 所以曲面在点 (2 , 1 , 0) 处切平面方程为 )2(1 -x 042 =-+ yx即 法线方程 012 -=-=- zyx )1(2 -+ y 0)0(0 =-+ z 1 2 0 令 )0,1,2()0,1,2( ),,( zyx FFFn =  )0,2,1(= )0,1,2(),,( y= x 1- ze 即 ïî ï í ì = - = - 0 2 1 1 2 z yx 例3. 求 3=+- xyze z 在点(2 , 1 , 0) 处的切平面 及法线方程. 第八章 16 ),( yxfz = 曲面在M处的切平面方程为 ,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx -=-+- 曲面在M处的法线方程为 . 1),(),( 0 00 0 00 0 - - = - = - zz yxf yy yxf xx yx ,),(),,( zyxfzyxF -=令 则 ,yy fF = 1-=zF,xx fF = 例4. 求空间曲面 (显式): 在点 处的切平面及法线方程. ),,( 000 zyxM 解 假定法向量方向向上, 法向量 )1,,( yx ffn --=  第八章 17 法向量 221 1cos yx ff ++ =g 法向量的方向余弦： , 1 cos, 1 cos 2222 yx y yx x ff f ff f ++ - = ++ - = ba )1,,( yx ffn --= 