2010石家庄市2

河北省石家庄市2010届高三第二次模拟考试（数学理）.doc 绝密★启用前 高☆考♂资♀源€网 试卷类型：A 2010石家庄市高中毕业班第二次模拟 数学（理科高☆考♂资♀源€） 说明：[来源:学科网ZXXK] 1．本试卷共4页，包括三道大，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 参考：高☆考♂资♀源€ 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 高☆考♂资♀源€网其中 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中。选出符合题目要求的一项． 1.​ 如图，已知全集为U，A，B是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是 A． B． C． D． 2. 在复平面内，复数 所对应的点在 A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知命题p、q,“非p为真命题”是“p或q是假命题”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[来源:Zxxk.Com] 4. 设向量 且a∥b，则 的一个值为 A． B． C． D． 5. 已知等比数列 满足 ，则 的值为 A． 8 B． 12 C． 16 D．32 6. 函数的反函数 高☆考♂资♀源€的解析式为 A． B． C． D． 7.已知双曲线 的一条准线方程为 ，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8.已知定义域为R的函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，且函数y=f(x+1)为偶函数，则 A． f(0) ＞f(1) B． f(0) ＞f(2) C． f(0) ＞f(3) D． f(0) ＜f(4) 9. 函数f(x)=(x+a) ·lnx在x=e处的切线与直线x+2y-5=0垂直，则a的值为 A ．0 B． 1 C． D． 10.若为一个四棱锥的顶点染色，定义由同一条棱连结的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色共有 A． 36种 B． 54种 C． 72种 D．120种 11.在正四棱柱 中， ，E为AB上一个动点，则 的最小值为 A． B． C． D． 12.如图，一条宽为a的直角走廊，现要一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b(0 )。则该平板车长度的最大值为 [来源:Z+xx+k.Com] A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 高☆考♂资♀源€．（用数字作答） ； 14．已知 为坐标原点，点 （3，2），若 满足不等式组 ； ，则 · ． 的最大值为 ． 15．以下四个命题： ①如果两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面内无数条直线； ②设 为两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 // ， // ，则 ； ③“直线 ”的充分而不必要条件是“ 垂直于 在平面 内的射影”； ④若点 到一个三 角形三条边的距离相等，则点 在该三角形所在平面上的射影是该三家形的内心． 其中正确的命题序号为 ． 16.直线 与曲线 的公共点最多时实数 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．（本小题满分10分） 已知 中，内角 的对边的边长为 ，且 （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 求 的最小值. 高☆考♂资♀源€ 18．（本小题满分12分） 某公司在“2010年上海世博会知识宣传”活动中进行抽奖活动，抽奖规则是：在一个盒子中装有8张大小相同的精美卡片，其中2张印有“世博会欢迎您”字样，2张印有“世博会会徽”图案，4张印有“海宝”（世博会吉祥物）图案，现从盒子里无放回的摸取卡片，找出印有“海宝”图案的卡片表示中奖且停止摸卡. （Ⅰ）求最多摸两次中奖的概率； （Ⅱ）用 表示摸卡的次数，求 的分布列和数学期望. [来源:Z_xx_k.Com] 19．（本小题满分12分） 各项都为正数的数列 ，满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）证明 对一切 恒成立.[来源:学|科|网Z|X|X|K] [来源:学科网ZXXK] 20．（本小题满分12分） 在长方体 中， 点 是 上的动点，点 为 的中点. （Ⅰ）当 点在何处时，直线 //平面 ，并证明你的结 论； （Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角 的大小. 高☆考♂资♀源€ 21．（本小题满分12分） 已知动圆 经过点 ，且与圆 内切. （Ⅰ）求动圆 的圆心的轨迹 的方程. （Ⅱ）以 为方向向量的直线 交曲线 于不同的两点 ，在曲线 上是否存在点 使四边形 为平行四边形（ 为坐标原点）.若存在，求出所有的 点的坐标与直线 的方程；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间. （Ⅱ）若 上恒成立，求实数 的取值范围. （Ⅲ）对任意的 高☆考♂资♀源€ 2009-2010年度石家庄市第二次模拟考试 理科数学答案 1、​ 选择题(A卷)：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1-5 B A B C C 6-10 A D C A C 11-12 B C 选择题(B卷)：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1-5 A B A C C 6-10 B D C B C 11-12 A C 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．20 14.10 15.①② 16. 三、解答题： 本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 解：(Ⅰ)由正弦定理可得： ， 高☆考♂资♀源€…………2分 即 ， 因为 ,所以 , ， . ………高☆考♂资♀源€…………………………………4分 (Ⅱ) 解：由(Ⅰ)可知 , , …………………高☆考♂资♀源€…………………………………6分 , ， ，…………………8分 所以 的取值范围为 ．……………高☆考♂资♀源€……………………………………………10分 18．（本小题满分12分） 解:（Ⅰ）第一次摸卡中奖的概率为： ， ………………2分 第二次摸卡中奖的概率为： ………………………4分[来源:Z。xx。k.Com] 则最 多摸两次中奖的概率为： .……………5分 （Ⅱ）由题意，摸卡次数 的取值为：1，2，3，4，5 …………………………7分 ； ； ； ； . 则 的分布列为： 高☆考♂资♀源€ 1高☆考♂资♀源€ 2高☆考♂资♀源€ 3 4 5高☆考♂资♀源€ 高☆考♂资♀源€ …………………………………………………10分 . ………………12分 19. （本小题满分12分） （Ⅰ）解：∵ ，∴ 为首项为1，公差为2的等差数列，………2分 ∴ ，又 ，则 ……… …5分 （Ⅱ）只需证： . 1​ 当 =1时，左边=1，右边=1，所以命题成立. 当 =2时，左边<右边，所以命题成立. …………………………………………7分 ②假设 =k时命题成立，即 ， 当n=k+1时，左边= . ………………8分 = .命题成立. …………11分 由①②可知，对一切 都有 成立. …………12分[来源:Z,xx,k.Com] 方法二：当n=1时，左边=1，右边=1，则命题成立. …………7分 当 时，∵ ……9分 [来源:学.科.网Z.X.X.K] 则 ∴原不等式成立. …………12分 20．（本小题满分12分） （Ⅰ）当 为 的中点时, ∥平面 . …………………2分 证明：取 的中点N，连结MN、AN、 ， MN∥ ，AE∥ ， 四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN 在平面 内 ∥平面 . ………………5分 （方法二）延长 交 延长线于 ，连结 . ∥ ，又 为 的中点, ∥ 平面 ∥平面 .[来源:Zxxk.Com] （Ⅱ）当 为 的中点时， , ,又 , 可知 ,所以 ,平面 平面 , 所以二面角 的大小为 ；…………高☆考♂资♀源€………7分 又二面角 的大小为二面角 与二面角 大小的和， 只需求二面角 的大小即可； 过A点作 交DE于F，则 平面 , ，[来源:学。科。网] 过F作 于H，连结AH，[来源:Zxxk.Com] 则 AHF即为二面角 的平面角， ……………… …………9分 ， ， ， 所以二面角 的大小为 ． …………………………12分 向量法：以 为原点，建立如图空间坐标系 ， 则 ……7分 设平面 的一个法向量为 ， 因为 所以 即 令 ，所以 ， 同理可求平面 的一个法向量 ，………………10分 所以 = ， 所以二面角 的大小为 ．高☆考♂资♀源€…………………12分 21．（本小题满分12分） 解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得| ，可知 到两个定点 、 的距离和为常数，并且常数大于 ，所以 点的轨迹为椭圆， ……………2分 可以求得 ， ， ， 所以曲线 的方程为 ．……………………………………………5分 （Ⅱ）假设 上存在点 ，使四边形 为平行四边形． 由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为 . 设直线 的方程为 ， ， . 由 ，得 ， 由 得 ，且 ， ，………………………7分 则 ， ， 　　 上的点 使四边形 为平行四边形的充要条件是 ， 即 ， 且 ， 又 ， ，所以可得 ，…………9分 可得 ，即 或 ． 当 时， ，直线 方程为 ； 当 时， ，直线 方程为 ．高☆考♂资♀源€……………………12分 22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 当 时， 恒成立，则函数 在 上单调递增；………2分 当 时，由 ，则 则 在 上单调递增，在 上单调递减.　　 …………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：当 时显然不成立；　　　　　　　　　　　　 当 时， , 只需 即可　.　　　　　　　　　　　　　　………………… ……….6分 令 , 则 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 　.　　　　　　　　　　　 　　　　　 则若 在 上恒成立， =1.　　　　　　　 高☆考♂资♀源€……………………8分 说明：22题(Ⅲ）对任意的 ，求证： .是在（Ⅱ）成立的条件下 才能成立.所以这一问应该改为 ： (Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的 ，求证： . 由此造成的不便，敬请各位老师谅解. (Ⅲ） ,　………10分 由 得 , 由（Ⅱ）得： , 则 , 则原不等式 成立　.　　　　　……高☆考♂资♀源€……………………12分