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1 PP 毕奥-萨伐尔定律： 电流元在空间任一点电流元在空间任一点PP产生的磁感应强度产生的磁感应强度 的大小与电流元的大小与电流元 成正比，与距离成正比，与距离rr的平方成的平方成 反比，与电流元反比，与电流元 到场点到场点PP的矢径之间的夹角的矢径之间的夹角 的正弦成正比。其方向与的正弦成正比。其方向与 一致。一致。 Bd  lId  lId  rlId  2 sin 4 r IdldB o   2 ˆ 4 r rlIdBd o     dBdB IdlIdl rr 真空中的磁导率：真空中的磁导率： oo= 4 = 4 1010--7 7 TT··mm··AA--11   L rL r elIr rlI 2030 d4d4B      2 0 3 0 d 4 d 4 d r elI r rlI r       磁感应强度的矢量式：磁感应强度的矢量式：  kBjBiBB zyx   实际计算时要首先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 、 、 ，然后再对各分量积分。d d dx y zB B B 2、再由毕-萨定律写出电流元 在所求点处的磁感 应强度，然后按照磁感应强度的叠加原理叠加原理求出所有电 流元在该点磁感应强度的矢量和矢量和。 lI  d 1、先将载流导体分割成许多电流元 lI  d       zz yy xx BB BB BB d d d 三、毕奥—萨伐尔定律的应用—计算载流 导体激发的磁感应强度 例8-1. 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流 直导线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的 P点的磁感应强度。 解：建立坐标系，取Z轴沿载 流导线，如图所示。 O  P B  d 1  2  I L l a r Idl 3 0 d 4 d r rlIB     按毕奥—萨伐尔定律有： O  P B  d 1  2  I L l a r Idl 任取电流元 lI  d 方向根据右手螺旋定则确 定。 B  d 由于直导线上所有电流元 在该点 方向相同B  d  L BB  d   LL rlIBB 20 sindπ4d  矢量积分可变为标量积分   LL rlIBB 20 sind4d  由几何关系有： secr a  cossin  2d sec dl a  tanl a  2 1 0 cos d 4 I a        L rlIB 20 sind4   0 2 1sin sin4 I a     O  P B  d 1  2  I L l a r Idl 2 考虑三种情况： 0 2 IB a   (1)导线无限长，即 (2)导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线 0 4 IB a   (3)P点位于导线延长线上，B=0  0 2 1sin sin4 IB a     21   22   O  P B  d 1  2  I L l a r Idl O R I 例题8-2. 载流圆线圈轴线上的磁场 设有圆形线圈 L，半径为R，通以电流I。求轴线上一点磁感应强度。 3 0 d 4 d r rlIB     P Idl r  //d B  B  dB  d x  在场点P的磁感强度为Idl   sind 4 2 0  L r lI//dBB L sindBL  R lrI    2 02 0 d 4 sin R r I   2 4 sin 2 0 各电流元的磁场方向不相同，可分解为 和 ，由于圆电流具有对称性，其电流元的 逐对抵消，所以P点 的大小为 B  d B  d//dB  B  B  dB  d O R I P Idl r  //d B  B  dB  d x  R r IB   2 4 sin 2 0 2 1)( sin, 22 222 xR R r RxRr   2 3 2 3 )(2)(2 22 0 22 2 0 xR IS xR IRB    2( )S R Idl //d B  B  dB  d 方向：与电流I呈右手螺旋关系！ O R I P Idl r  //d B  B  dB  d x  R I B 2 0（1）在圆心处 2 3 2 3 )(2)(2 22 0 22 2 0 xR IS xR IRB    讨论：讨论： rxRx  ,（2）在远离线圈处 0x 3 0 3 0 22 r IS x ISB      neNISm   3 0 π2 r mB   定义载流线圈的磁矩： 等效磁偶极子 I ne  试与电偶极子轴线上远处的电场强度公式比较： 3 0π2 r pE    neISm   若线圈有N匝: 3 例题８-3 载流直螺线管内部的磁场.设螺线管的半 径为R，电流为I，每单位长度有线圈n匝。计算螺线 管内轴线上P点的电磁感应强度。 S l I I 在螺线管上任取一小段dl。由于每匝可作平面线 圈处理，ndl匝线圈可作Indl的一个圆电流，在P点产 生的磁感应强度： 2/322 2 0 )(2 dd lR lnIRB     LL lR lnIRBB 2/322 2 0 )(2 dd    . ... ...........   I        B  .  P l dl R1  2 dB  1A 2A cotRl  2222 cscRlR    L lR lnIRB 2/322 2 0 )(2 d  dcscd 2Rl      dsin2 2 1 0   nI )cos(cos 2 12 0   nI 因 所以 又因   . ... ...........   I        B  .  P l dl R1  2 dB  1A 2A B  d nIB 0 2/0nIB  实际上， L>>R 时，螺线管内部的 磁场近似均匀，大 小为 。nI0 )cos(cos 2 12 0   nIB （1）螺线管无限长 （2）半无限长螺线管的端点圆心处 0,π 21   nI0 B O1A 2A 2 0 nI 讨论： P x  R o 例题例题 88--44、、一个半径为R的塑料薄圆盘，电量+q均匀 分布其上，圆盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直 的轴匀速转动。求圆盘中心处的磁感应强度。 解：解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流 dr r R dB 22 dd2 2 d R rqrrr R qI     r IB 2 dd 0  R rR qB 020 d2 0 2 qB R    穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零--高斯定理。 一、稳恒磁场的高斯定理 0d S SB  因为：磁感应线是无头无尾的闭合曲线. 二、稳恒磁场的安培环路定理： 在磁场中，沿任何闭合曲线B矢量的线积分等于 真空的磁导率0乘以穿过以该闭合曲线为边界、 所张任意曲面的各恒定电流的代数和。   i iL IlB 0d   4 2.式中右端的电流是指闭合曲线所包围并穿过的电 流，不包括闭合曲线以外的电流。 说明 1.安培环路定理是描述磁场特性的重要规律。磁场 中的环流一般不等于零，说明磁场属于非保守场 （涡旋场、有旋场）。 3.闭合路径L上每一点的B是所有电流（包括闭合曲 线外的）产生的磁感应强度的矢量和。 5、安培环路定理仅适用于恒定电流产生的稳恒磁场。 4、B和B的环流是两个不同的概念。 )(d 31200 IIIIlB L i L    内  NIlB L 0d   如右图所示： I4 I3 I1 I2 L  7. 同一电流与闭合回路N 次链套时： 6、电流的符号规定：当电流方向与积分回路的绕 行方向构成右手螺旋关系时电流为正,反之为负。 ）（ 210 II   3I2I 1I L 1I 1I )(d 21110 IIIIlBL   2）若 ，是否回路 上各处 ？ 是否回路 内无电流穿过？ 0BL0d  lBL  L 问 1） 是否与回路 外电流有关？LB  ?L ldB 如图求 三.安培环路定理的应用 当电流分布具有对称性时（无限长、无限大、柱对 称等），可应用安培环路定理求磁场分布。 (2)过场点选择适当的路径； (1)根据电流分布确定磁场分布是否具有对称性； (3)求出环路积分； (4)用右手螺旋定则确定所选定回路包围电流的正负； （5）最后由安培环路定理求出磁感应强度的大小。 求：无限长圆柱面电流的磁场。 解：对称性分析—磁感应线是躺在垂 直轴的平面上的一系列同心圆。 选环路L 均匀密绕细长直螺线管电流强度I 、n匝 /m.求：管内磁感应强度。 I P ba d c 解：对称性分析——管内垂轴平面 上任意一点B--垂直平面——与轴 平行！ 过场点P做闭合回路abcda     dacd bcab lBlB lBlBlB   dd ddd lB ab  d  abB  nIab0 nIB 0 5 求：均匀密绕螺线环的磁场（已知中心 半径R，总匝数N，电流强度I） 解：对称性分析——管内任意一个垂 轴平面都是对称面——磁感应线是一 组同心圆 与环的横截面形状无关。 一无限大薄导体平板均匀地通有电流，若导体平板垂 直屏幕，电流沿平板垂直屏幕向外，设电流沿平板横 截面方向单位宽度的电流为 j ，试计算空间磁场分布。 解：如图，由对称性分析：P 点处合磁场的方向必然 平行平板指向左方，其下半部分空间磁场方向必然平 行平板指向右方。 O P1 Bd  1ld  2Bd  2ld  Bd  取矩形回路abcda作积分回路L，由安培环路定理得 BlldBldBldBldBldB dacdbcabL 2   即 ljBl 02  所以得 jB 2 0 结论：无限大均匀平面电流两侧为匀强磁场，即大 小相等，方向相反，与离板的距离无关。 La c b d O PBd  1Bd  1ld  2Bd  2ld  j j    思考题：思考题：两无限大薄导体平板通有同向或反向电 流，如图所示。求两板之间和两板之外的磁场分布。 两板之间： jjBBB 0021 2 12   两板之外： 021  BBB 解：（1）反向电流： j j    （2）同向电流： 两板之间： 021  BBB 两板之外： jjBBB 0021 2 12   一、洛伦兹力 由前面对磁感应强度的定义知：        sin3 2 01 max qBvqBvFBv qvBFBv FBv x    时，为当 时，当 时，当   ∥ 矢量式： BvqF   —— 洛伦兹力公式 X Z YO B F q  v yv  xv  6 sinqBvF  方向：垂直 和 组成的平面， 指向：由右手螺旋定则决定。 v B 0, 0, q F v B q F v B         当 与 同向； 当 与 反向。 BvqF   大小： B  v F   qq 说明：1、洛仑兹力F的方向垂直于v和B所确定的平面。 2、 洛仑兹力F不能改变带电粒子速度v的大小， 只能改变其运动方向。--洛伦兹力不做功 带电粒子在磁场中所受作用力带电粒子在磁场中所受作用力--洛伦兹力洛伦兹力 1879年，霍尔（E.H.Hall）发现，把一载流导体 放在磁场中时，如果磁场方向与电流方向垂直， 则在与磁场和电流两者垂直的方向上出现横向电 势差。这一现象称为“霍耳效应”，这电势差称 为“霍耳电势差”。 霍尔效应： 21H 21H 00 00 .2 VVRq VVRq   1. 实验确定霍耳系数RH，就能定出载流子浓度n。 可用于研究半导体内n的变化。 可用于判定半导体内载流子的类型。 讨论 一、载流导线在磁场中的受力---安培定律 安培力：安培力： 磁场对电流的作用力 安培定律：对电流元Idl在磁场B中所受的作用力为 BlIdFd   磁场对一段任意形状的载流载流导线的作用力：   L BlIdF  B  lI  d  F  d lI  d B  F  d 安培力方向判断： （右手螺旋） 例例1 1 计算长为L的载流直导线在均匀磁场均匀磁场BB中所受的力。 II B 解：解：   L BlIdF   L dlIBF sin sinILBF  sinILBF   LdlIB sin 合力作用点在长直导线中点，方向是 。 二、载流导体在磁场中的受力 a）载流直导线 r x I1 I2 例例22、、无限长直载流导线通有电流I1 ，在同一平面内 有长为L的载流直导线，通有电流I2 。（如图所示） 求：长为L的导线所受的磁场力。 dxx l 解：解： x IdlIdlBIdF o  2 1 22  coslrx  coslrx  cos dxdl    cos2 21 dx x IIdF o r LrIIo    cosln cos2 21  dl Fd  BlIdFd   由安培定律：  dFF dxxII 1cos2 210   r cosLr  7   yx FjFiF dd  例3：在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径为 R的半圆导线中的电流为I。若导线所在平面与B垂 直，求该导线所受的安培力。  I F  d F  d xF  d xF  d yF  d yF  d x y 由电流分布的对称 性分析导线受力的 对称性  yFF d 解：  sindsindd  lBIFFy dd Rl  由安培定律 由几何关系 上两式代入  yFF d BIR BIRF 2 dsin 0    合力F的方向：y轴正方向。 结果表明：结果表明：半圆形载流导线上所受的力与其两个 端点相连的直导线所受到的力相等。  I F  d F  d xF  d xF  d yF  d yF  d x y II a b b）任意一段载流导线                                           B   LL BlIdFdF    ba BlId  BldI b a    )( BrI ab   abr  由本题结果可推论： 一个任意弯曲载流导线上所受的磁场力等效于弯曲 导线始、终两点间直导线通以等大电流时在同样磁 场中所受磁场力。 例例33、、半径为R的铜丝环，载有电流I。现把圆环放在 均匀磁场中，环平面与磁场垂直。求（1）圆环受到 的合力。（2）铜丝内部的张力。 解：解：（（11）） II oo xx yy                                     d dlIBRddF   dIBRdFx cos  dIBRdFy sin dFdFxx dFy Fd  BlIdFd   由安培定律：由安培定律： B  II oo xx yy                                     d dl Fd  0sin cos 2 0 2 0        IBR dIBRFx   0cos sin 2 0 2 0        IBR dIBRFy 结论：匀强磁场对闭合载流导线的作用合力为零 B  dFdFxx dFy （（22））铜丝内部的张力。 0cos 0    dIBRFx     0 0 2cossin IBRIBRdIBRFy TF y 2 IBR F T y  2 IBR F T y  2 T  T  yF  I                                    B  8 l1   sin )sin( 1 13 BIl BIlF   sin14 BIlF  43 FF  2F  3F  4F  1F  结论：  I I I I bb l2 aa cc dd   B  n c) 载流线圈 21 BIlF  22 BIlF  21 FF  线圈所受合力为零线圈所受合力为零 l1  I I I I bb nnl2 aa cc dd   2F  3F  4F  1F  磁力矩：磁力矩：  sincos 1111 lFlFM  2F  1F   B  n l1 043  MM 其中S=l1l2为线圈平面的面积 注：注：上式虽是从矩形闭合载流线圈推出，但适合于 任意形状的闭合载流线圈。 N匝线圈的磁力矩：  sincos 1111 lFlFM   sinsin12 BISlBIlM  sinNBISM  21 BIlF  l1 M m B  sinM mB  载流线圈在磁场中受到的磁力矩： neISm  定义载流线圈的磁矩： neNISm  若线圈有N匝: 讨论：讨论： （1）=0时，M=0 。 （2） =90时，M = Mmax= NBIS （3） =180时，M=0 m II SS M  任意形状不变的平面载流线圈作为整体在均匀外 磁场中，受到的合力为零，合力矩使线圈的磁矩 转到磁感应强度的方向,即磁力矩力图使线圈正 向磁通量达到最大。 结论： 例1 如图半径为0.20m，电流为20A的圆形载流线圈（o- xy面内）放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大小为0.08T， 方向沿 x 轴正向. 线圈所受的磁力矩又为多少？ I B  R y z Q J K P o x  x d sinddFd lBxIxM   dd,sin RlRx  以 为轴， 所受磁力矩大小Oy lI  d  dsind 22IBRM   π20 22 dsin IBRM 2πm ISk I R k   iBB   2 2π πM m B I R Bk i I R Bj        2π RIBM  法一 法二 1. 磁场力对运动载流导线做的功 F                                    I B a bc d L a b x 磁场力：F = BIL 磁场力的功： A = Fx = BILx 其中 BLx=BS=  ΦIA  磁力的功： 设回路中的电流I保持恒定 9 2.载流线圈在磁场中转动时磁力矩的功 力矩的功：   dMA 磁力矩： 　sinBISM 　     2 1 2 1 2 1 d)cos(d dsin Φ Φ ΦIBSI BISA       )(Φ 12 ΦΦII  注：1. 也适合于非匀强磁场中的载流线圈。 2. 有 正负。 Φ 总之： 一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形 状时，如果保持回路中电流不变，则磁场力或磁 力矩所作的功都可按A=IΔΦ 计算。 例、例、有一半径为R的闭合载流线圈，通过电流I。今把 它放在均匀磁场中，磁感应强度为B，其方向与线圈 平面平行。求：（1）以直径为转轴，线圈所受磁力 矩的大小和方向。（2）在力矩作用下，线圈转过 90°，力矩做了多少功？ 解：解： 法一  dIBRIBdldF sinsin  作用力垂直于线圈平面 sinRdFdM   dIBR 22 sin R  dl I B  Fd   2 0 22 2 1 sin IBR dIBRdMM       力矩的功： 2 0 sinA Md mB d mB        IBRA 2 2 1 力矩： 2 2 Rm I  R  dl I B  Fd   法二： M m B   sinM mB  2 90 2 Rm I      2 2 1 IBRM  线圈转过90°时，磁通量的增量为： BRm 2 2 IBRIA m 2 2 R  dl I B  mp  有介质存在时的高斯定理有介质存在时的高斯定理 磁介质 0B 磁 化 磁化电流 SI 附加磁场 B 作用 BBB   0 叠加 磁感应线均为闭合曲线，都属于涡旋场磁感应线均为闭合曲线，都属于涡旋场 0S SdB 高斯定理仍然成立： ——普遍适用 有介质存在时的安培环路定理有介质存在时的安培环路定理 当外磁场 由传导电流产生时，磁场中任一 点的磁感应 强度 应为传导电流和磁化电流共 同产生。磁场中安培环路定理为 0B  B   0 ( )SL B dl I I       LL ldMIldB  0改写上式为 磁感应强度 沿任一闭合回路 L 的环流，等于穿 过回路所包围面积的传导电流和总磁化电流的代 数和的 倍。 B  0 10 定义磁场强度矢量： MBH   0   IldHL  H  磁场强度 沿任一闭合回路的环流，等于闭 合回路所包围并穿过的传导电流的代数和，而在形 式上与磁介质中磁化电流无关。 有介质存在时的安培环路定理为       IldMB L  0 或 （2） 此式普遍适用。表示在磁场中 任一点处， 三个物理量是点点对应的关系。 MBH   0 BMH  ,, HM m   比例系数 ——磁介质的磁化率， 大小仅与磁介质性质有关，是无单位的纯数。 m  11   mA米安（1）单位（SI）： （4）由实验，对各向同性均匀磁介质，有 （3） 是为研究介质中的磁场提供方便而不是反 映磁场性质的基本物理量， 才是反映磁场性质的 基本物理量。 H  B   0,0,mm  顺磁质抗磁质 （5）由 得MBH    0 MHB  00    HHHMHB mm    100000 rm  1 HHB r    0 ——适用于各向同性磁介质 则有令 HM m  将 代入上式得 磁介质中安培环路定理的应用磁介质中安培环路定理的应用 对称性分布的传 导电流和磁介质   IldHL  H  HB   B  各向同性均匀 磁介质 例题8-8 在均匀密绕的螺绕环内充满均匀均匀的顺磁介 质，已知螺绕环中的传导电流为 ，单位长度内匝 数 ，环的横截面半径比环的平均半径小得多环的横截面半径比环的平均半径小得多，磁介 质的相对磁导率和磁导率分别为 和 。 求环内环内的 磁场强度、磁感应强度、磁介质的磁化强度。 I n r  r NIlH   d 解解：（：（11）先求）先求HH。。 式中 为螺绕环上线圈的总匝数。N 在环内环内任取一点，过该点作一 和环同心、半径为 的圆形回路。r 分析：由对称性可知，在同一圆形回路上各点的 磁感应强度的大小相等，方向都沿切线。 NIrH π2 nI r NIH  π2 当环内是真空时，由于 HB  00  环内充满均匀介质 r 0  B B  r 1r  故 则 （（22）再求）再求BB。。 讨论：讨论： HHB  r0 故 可见，当环内充满某种均匀磁介质，环内磁感应强 度变为环内是真空时的 倍。r 0 0   HBM （（33）再求）再求MM。。 ,B H M   和 的方向: 沿着圆周切线方向！ 11 例题 8-9一电缆由半径为 的长直导线 和套在外面单位内、外半径分别为 和 的同轴导体圆筒组成，其间充满相对磁导 率为 的各向同性顺磁质。电流 I 由中心 导体流入，由外面圆筒流出。求磁场空间 分布和紧贴中心导线的磁介质表面的磁化 电流。 1R 2R 3R r 解：由对称性分析， 线和 线都是在垂直于轴线的平面内，并 以轴线上某点为圆心的同心圆。取 距轴线距离 r 为半径的圆为安培环 路 L ，顺时针绕行，则有 H  B  1R 2R 3R r 1R 1R 2R 2R 3R 3R r r O O B  H  12 R I  2 1 1 1 2 1 : 2 L Ir R H dl H r r R        2 1 1 2 R IrH  21 0 101 2 R IrHB    1 2 2 2: 2LR r R H dl H r I       r IH 22  r IHB r  2 0 22     2 22 3 3 3 22 23 2: 2L IR r R H dl H r I r R R R           2 2 2 3 22 3 3 2 RR rR r IH    2223 22 30 303 2 RR rR r IHB     3 4 4: 2 0Lr R H dl H r I I        04 H 04 B （2）由安培环路定理得  2 2 02 SL B dl B r I I         r I r IIB rS     22 00 2    III mrS   1 1R 2R 3R r 1R 1R 2R 2R 3R 3R r r O O B  H  12 R I  所以 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 数学表达式： 导体回路中感应电动势的大小与穿过回路的磁通 量的变化率成正比。 d d k ti  法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 d dti   , , id Wb dt s V如果 的单位是 的单位是 的单位是 ， 则比例系数k=1 关。无关，与回路的材料无有关，与与  dt d i 与回路是否闭合有关。 的存在无关，而的存在与回路是否闭合 ii I 式子中的负号反映了电动势的方向。 注意：注意： tt N t Ni d d d )d( d d  其中：其中：为磁通量匝数（又称为磁通量匝数（又称 磁链）磁链） 若回路有多匝导线，则 12 楞次定律 楞次出：闭合回路中感应电流的方向闭合回路中感应电流的方向 ，总是使它所激发的磁场来反对（或阻止，总是使它所激发的磁场来反对（或阻止 ）回路中磁通量的变化）回路中磁通量的变化。 N S G 直接判断感应电流方向的方法！ 例题9-1 一长直导线中通有交变电流 ，式 中 表示瞬时电流， 电流振幅， 角频率， 和 是 常量。在长直导线旁平行放置一矩形线圈，线圈平面与 直导线在同一平面内。已知线圈长为 ，宽为 ，线圈 近长直导线的一边离直导线距离为 。求任一瞬时线圈 中的感应电动势。 tII sin0 a bl I 0I  0I  a b lI x dx 解： x IB π2 0 某一瞬间，距离直导线x处 的磁感应强度为 选顺时针方向为矩形线圈的绕行 正方向，则通过图中阴影部分的 磁通量为 在该瞬时t，通过整个线圈的磁通量为  ΦΦ d 0 0 sind ln2π 2π a b o a I lI t a bl x x a           由于电流随时间变化，通过线圈的磁通量也随时间 变化，故线圈内的感应电动势为 t a balI  coslnπ2 00     感应电动势随时间按余弦规律变化，其方向也随余 弦值的正负作顺、逆时针转向的变化。 0d cos 0 d d 2 IΦ B S l x x      t ta balI t Φ  sin d dlnπ2d d 00 i     动生电动势的计算动生电动势的计算:: 两种方法：两种方法：    Li ldBv  dt d i  例例11、、一长直导线中通电流一长直导线中通电流I=10AI=10A，，有一长为有一长为L=0.2mL=0.2m 的金属棒与导线垂直共面。当棒以速度的金属棒与导线垂直共面。当棒以速度v=2m/sv=2m/s平行平行 于于长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。 解：解： x IB o  2 xdBvd i   )( x dxIvla a o i    2 a laIvo    ln 2 BA VV  BA VV  00 xx 动生电动势方向：动生电动势方向：BBAA II laa AA BBv  dxdxxx Bv  Bvdx ld  xdld                                                   例例22、、一根长为一根长为LL的铜棒，在均匀磁场的铜棒，在均匀磁场BB中以角速度中以角速度 在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两 端之间的感应电动势大小。端之间的感应电动势大小。 解：解：  ll ddll   Li ldBv0 )(   L vBdl0   L ldlB0 2 2 1 LB oo aa 动生电动势方向：动生电动势方向：aaoo Bv 选选 如图所示如图所示ld l  d 13 讨论：讨论： （（11）电动势得到负值说明电动势与）电动势得到负值说明电动势与ddll的方向相反的方向相反 （（22）若为铜盘转动，）若为铜盘转动， （（33）用法拉第定律直接求解：）用法拉第定律直接求解： ti d d 设想回路设想回路oabooabo（如图）（如图）                             SSOO bb aav ioabo ioa  视为铜棒视为铜棒并联并联。。                                                 法二、法二、 SS LL  2 2 1 LS ioabo d dt    BS  2 2 1 BL oo aa 选选ll的绕行正方向如图所示的绕行正方向如图所示 l  动生电动势方向：动生电动势方向：aaoo bb dt dBL  2 2 1 ioabo ioa   221 BL 例例33、、在均匀磁场在均匀磁场BB中导体形状如图所示，以角速度中导体形状如图所示，以角速度 在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动且在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动且OM=MN=aOM=MN=a。。 求棒的两端求棒的两端ONON之间的感应电动势大小。之间的感应电动势大小。 解：解：                                                  oo aaMM NN aa 6060°° 连接连接ON,ON,对于对于OMNOOMNO回路回路 dt d i  0 iOMN iNO iON      iON    22 1 ONB 2 2 3 aBiOMN  aON 3 动生电动势方向：动生电动势方向：NNOO 由上题结论得：由上题结论得： v                     B  BA aL a  O 若铜棒绕如图的 O 点转 动，那么 A、B 两点的电势 差 的计算如下：在铜棒 上任取 dl ，则 ABU   ldBvd i       0 2 0 1 2 L a OB i L a d v B dl l Bdl B L a                     OB 方向 同理有 21 2AO Ba  OA方向 v ld  电势差为     221 2 1 2 2 AB A B A O O B AO OB U U U U U U U U U B a L a BL L a                   A B AO OB 例例44、、已知导体运动如图，已知导体运动如图，求导体中的感应电动势。求导体中的感应电动势。 L + + + + + + + + + ++ + + B  Bv  vα 解：解： lBv lvB lBvi dsin )cos(90dsin90 d)(d α α ε      α αε sin dsin 0 BvL lBv L i    l  d AA BB 方向：由方向：由AA→→BB 选选 如图所示如图所示l  d 14 例例55、、圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动 求：动生电动势求：动生电动势 解：解： Bv θ v + + + + + + + + + + + + + + + + R B  lBvi  d)(d        2 2 2dcos cosd RvBRvB lvBi θ dθ l  dcosdsin90 lvB  ii方向：由方向：由AA→→BB AA BB选选 如图所示如图所示l  d 总之：总之：动生电动势与切割磁力线的动生电动势与切割磁力线的有效长度有效长度有关有关。。 18611861年，麦克斯韦提出了感生电场的年，麦克斯韦提出了感生电场的假说假说 变化的磁场在其周围空间要激发出电场，称为感变化的磁场在其周围空间要激发出电场，称为感 生电场。感生电流的产生就是感生电场作用于导生电场。感生电流的产生就是感生电场作用于导 体中的自由电荷的结果。体中的自由电荷的结果。 感生电动势： i L E dl    i 产生感应电动势的非静电场产生感应电动势的非静电场 正是感生电场。正是感生电场。kE 一、感生电动势 根据法拉第电磁感应定律： i S B d S t       L S BE dl dS t        i 该式表明：变化的磁场能激发电场！该式表明：变化的磁场能激发电场！ 所以：所以： 由变化的磁场在其周围激发由变化的磁场在其周围激发涡旋状涡旋状的感生电场，电场的感生电场，电场 线是一系列线是一系列闭合线闭合线。。 感生电场的性质: 表明感生电场为表明感生电场为无源场无源场，所以又称为，所以又称为““涡旋电场涡旋电场”” 0 S E dS   i B t    E  i L S BE dl dS t        i BE E I t    i i i i由上式 与 构成左螺旋关系，且 与 、 方向一致。 0B t    E  i 感生电场、感生电动势和感生电流的方向关系感生电场、感生电动势和感生电流的方向关系:: 所以：感应电场的方向可直接由楞次定律来判断。 L S BE dl dS t       i E  i b i a E dl   i dt d i  （二）磁场具有对称性，导体闭合（或可加辅（二）磁场具有对称性，导体闭合（或可加辅 助线使其闭合）助线使其闭合） （一）磁场具有对称性，导体不闭合（一）磁场具有对称性，导体不闭合 感生电动势的计算：感生电动势的计算： 例一 如图，有一局限在半径为 R 的圆柱 形空间的均匀磁场，方向垂直屏幕向里，磁场的 变化率 为常数， 求距圆柱轴为 r 处 P 点（0＜r ＜∞）的感生电场场强。 dt dB          dB dt R O 内P 分析：分析：由对称性分析， 线 为一系列同心圆。 E  i L解：解：作半径为 r 的圆形回路 L 设回路沿顺时针方向设回路沿顺时针方向，L 所包围 的 S 的法线垂直屏幕向内，则 15 （1）0＜ r ≤R ，P 点在圆柱内，有 L S BE dl dS t        i 22 , 2 dBrE r dt r dBE dt      i i 则：          dB dt R O LE dli设 与 同向 （2）r＞R， P点在圆柱外，同理有 2 2 2 2 dBrE R dt R dBE r dt      i i          dB dt R O RO dt dBR 2 Ei r 外P 方向判断： 0, 0, 0, 0, i i i i dB l dt dB l dt E E E E          若 则 说明： 与 方向相反。 若 < 则 说明： 与 方向相同。 2 2 2 r d BE r R d t d BE r R r d t R       i i 与由楞次定律判断结果一致。 例二 在半径为 R 的圆柱体内存在均匀磁场， 且 ，有一长为 l 的金属棒放在磁场中，位置如 图所示。求棒两端的感生电动势。 0dB dt         a b l c d o R abca ab bca E dl E dl E dl               i i i 即 ab ab abca bca E dl E dl E dl             i i i 解一：取回路 abca 为顺时针 方向， 线为逆时针方向。则Ei LE  i 其中 2 2 21 2 2 2 abcaabca S d B dBE dl dS S dt t dt l l dBR R dt                          i 所以 2 2 2 2ab abca bca l l dBE dl E dl R dt                 i i 2 cos 2 1 2 2 bca bca R BE dl dl t R dB dBR R dt dt              i － 0ab  说明：电动势的方向与选定的说明：电动势的方向与选定的LL的方向一致。的方向一致。 所以：电动势的方向从a到b,即a为负 极，b为正极。 16 解二：取回路 aboa 为逆时针方向，则 2 2 0 0 2 2 aboa ab ab aboa bo oa S aboa E dl E dl E dl E dl B dS t dB l l dBS R dt dt                                            i i i i E oa bo  i与 、 处处垂直        a b l c d o R 解三：积分法：在棒 上任取 ，由于ld  2 r dBE dt i dt dBlRll dt dBddl dt dBd dl r d dt dBrdl dt dBrldE b a b a b a b aab 2 2 2222 2 cos 2         所以        a b l c d o R E  idl r   思考题：思考题： a b 'a b 同一根金属棒在同一根金属棒在abab和和aa’’bb’’ 位置时，棒内的感应电动位置时，棒内的感应电动 势的大小关系为：势的大小关系为： ' 'ab a b          o R a b 'a 'b        a b l c d o R 思考题：思考题： 在闭合回路中，用楞次 定律判断ab棒中电动势 的方向： 在回路oabo中，ab中电动势的方向由b到a 在回路abca中，ab中电动势的方向由a到b 到底哪一个正确？为什么？到底哪一个正确？为什么？ 0dB dt 若        a b l c d o R 'a 'b c d 一般情形，任意形状的回路： t IL t I I Ψ t Ψ L d d d d d d d d  I ΨL d d 回路自感的回路自感的一般一般定义式定义式 （1）L称为自感系数简称自感。是表征回路线 圈产生自感应能力的物理量; （2）L的大小仅取决于回路线圈自身的性质:回 路大小、形状、线圈匝数、周围介质等; （3）式 中的负号表示：自感电动势总 是阻碍回路本身电流的变化。t ILL d d 说明：说明： 17 自感系数（自感）的计算： 假设线圈通有电流 I 确定线圈内的磁场分布 求通过线圈的全磁通 dΨL dI 例 1、长为l的螺线管，横断面为S，线圈总