关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性

第 8卷第 2期 l993年 5月 驻马店师专学报(自然科学版 ) Journal of Zhumadlan Teacher s College Vo1．8 No．2 M ay 1993 关于单调有界原理与其它实数 连续性定理的等价性 张 炳 汉 摘 要 末文直接证日月了单调有界敷列存在极限定理与其它实敷连续性定理的等件性 关键调 实敷连续性 单调有界数列 闭区间套 有限覆盖 ~uchy收敛堆则 买歌连续性定理常见的主要有如下8个； 蚀 巨 星 (1)单调有界数列存在极限定理(1lp单调有界原理)；如果数列{“)单调增加有上界，那么 {a )存在极限；如果数列{a )单调下降减少有下界，那么数列{“)存在极限． (2)Dedekind定理；如果(E， )是实数集 R的任意分划 ，则上组 E 中存在最小数． (3)闭区间套定理；若闭区间列{[ ，6，])满足；① ．，6 ]3[ ，62]3⋯3 ， ]⋯{②lim (6 一d，)一0，那么存在唯一的数 f使 露≤z≤6，(H一1，2’．．·，)且 I —limb，一f． (4)确界定理；如果非空数集 E有上界，那么数集 E存在唯一的上确界 }如果非空集 E有 下界，那么数集E存在唯一的下确界． (5)有限覆盖定理；如果开区间集 覆盖了有界闭区间 ，6]，那么 中存在有限个开区间 也覆盖了 ，阳，即 中存在有限覆盖． ． (6)Cauchy收敛准则；{“)存在极限的充要条件是V e>0，j N，当 n，m>N时 ，有 l“一口 1 O，使 对实数x／z为{ )的上界，记 d1一(c+ )／2．C。=c；若 (fj_ )／2不是{d )的上界，记 d 一d，c1一(f+ )／2．显然{n 中的无限多项含于[ ，d1]．再二等分[fl， ]为[c1，( + 1)／2]与[( + )／2， ．]．若 一 )／2是{n )的上界，记 d =(c1+ 1>／2． =c1；若(c1+d )／2不是{Ⅱ )的上界，记 ＆一(c + >／z，d =d ．对于[ d：]继续二 等分．这样无限进行下去，便得到一个闭区间列 f d ：¨．显然具有如下性质： (1)[f．did ，d ]]⋯][c⋯d J]⋯； 2) ，f 一 ((Z )／2 ，lira ( )=0(*)； f3)每个[“．， ]含有 {n )的无限多项、 眨证法 ．假如fn ，的极限不存在．即对于任一 z∈r-c． ]．z都不是 {n 1的极限．换句话 维普资讯 http://www.cqvip.com I 张炳攫 关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性 l7 说，存在某个闭区间[c ，d， ]，使 [ ，d， ]．因此存在以 z为心的开 区问4 ，使 n[c ， ]一 于是，开区间集 一{ Iz∈ ， ]}覆盖了 ， ]．根据有限覆盖定理 ，S中存在有限个 开 区间 ， ．．．·，△ 也覆盖了 ， ]，即 Ec， ]cU 另一方面，已知 △ n[ ，如 ]一 ( l，2，⋯， )，令 Ⅳ一max{ I 一1，2，⋯，n}．由性质 (1)，Ec～， ]c Ec ，d． ]( —l，2，⋯，n)，于是 。n[c～， ]一 i—l，2，⋯，n，即(U ．)n Ec ，d ]一 这与开区间集{ ．I 1，2’．．·， )，覆盖[c，d]矛盾．故 {n }存在极限，即单调有界数 列存在极限定理成立． 综合(1)、(2)本命题得证． [命题 5] 单调有界数列存在极限定理ti=~C．auchy收剑准则． 证明 (1)单调有界数列存在极限定理=~cauchy收敛准则．设 llma 一 ，则显然有V e>0， ]自然数Ⅳ，当m，n>N 时成立不等式 ln．一 I0，]N， 当 m，n>N 时有不等式 ln +n 1N1时 ，有 l 一 I<1．固定 m，对于任意的 自然数 n>N1，有 一l0， N：，当 n>N：时有 【 ，一‘IⅣ；时，同时有 l 一fJIⅣ ，使 ≤‰ ≤ >Na)，从而有 l‰ 一 I≤ I 一d．1<￡这样一来，当 n>N，时(对固定 的 m >Ⅳ，)，有 — I≤ la 一‰1I+ln 1一 I<2e，这表明 llma．=a．可见 Cauchy准则成立． (2)Cauchy收敛准则 单调有界数列存在极限定理．不妨设{n )单调增加有上界．任取 {a )的一个上界 d，记 c一Ⅱl，则 c