liyiyanglyy 百度提问

已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示 悬赏分：0 | 离问题结束还有 14 天 20 小时 | 提问者：liyiyanglyy | 检举 给出下列四个命题： ①方程 f[g(x)]=0 有且仅有 6 个根 ②方程 g[f(x)]=0 有且仅有 3 个根 ③方程 f[f(x)]=0 有且仅有 5 个根 ④方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题是 求详解。我自己用导数大概判断了下是 1 3 4，只是不知道方向有没有问题。 所以越详细越好。 先叩谢—— --------※※※※※※※※※※※ 图形如下 方法见下页 ※※※※※※※※---- 方法 1： 正确的应该是 ① ③ ④ 涉及到的复合函数有：f[g(x)] g[f(x)] f[f(x)] g[g(x)] 简直组合全了，很不错的题目； 先考虑①：f[g(x)]=0 f(x)=0 有 3 个根，分别在 x∈(-2,-1)；而 g(x)∈(-2,-1) 有 2 次机会→大约在右图的 x＝－1.7、x＝＋1.5 →机会最重要 x=0 ； 而 g(x)＝0 有 2 次机会→大约在右图的 x＝－1.5、x＝＋0.5 x∈(1,2) 而 g(x)∈(1,2) 有 2 次机会→大约在右图的 x＝－1.2、x＝－0.5 这样①正确 接着考虑②：g[f(x)]=0 g(x)=0 有 2 个根，分别在 x∈(-2,-1)；而 f(x)∈(-2,-1) ≈－1.5 有 1 次机会→大约在 左图的 x＝－1.8 附近→注意机会重要 x∈( 0, 1) 而 f(x)∈(0,1)≈0.3 有 3 次机会→大约在 左图的... 这样 g[f(x)]=0 应该有 4 个根，可见②错误 再接着考虑③：f[f(x)]=0 f(x)=0 有 3 个根，分别在 x∈(-2,-1)；而 f(x)竖轴介于此范围的机会有 1 次→大约在 左图的 x＝－1.8 附近→关心的是机会次数 x=0 而 f(x)竖轴介于此范围的机会有 3 次→其中有个过原点的 0 根，因为 f(x)＝0 故 f[0]＝0 x∈(1,2) 而 f(x)竖轴介于此范围的机会有 1 次 这样 f[f(x)]=0 应该有 5 个根，可见③正确 最后考虑④：g[g(x)]=0 g(x)=0 有 2 个根，分别在 x∈(-2,-1); 而 g(x)竖轴在此区域的可能有 2 次→ x∈( 0, 1) 而 g(x)竖轴介于此范围的可能有 2 次 所以 g[g(x)]=0 应该有 4 个根，可见④正确 方法 2→偷梁换柱： 观察 f(x)曲线，可以认为是 3 次幂函数 g(x)可能是高次函数，但用 2 次幂函数应该不会影响多大，比如用 g(x)＝2-(x+1)^2 代替 这样考虑太粗糙，会不会有实根？重根怎么处理？-----估算可以用 方法 3： 观察并构造 f(x)＝(2x^3－5x)/3 g(x)＝－x^4/5＋x^3/2＋x^2/5－2x+1/2 详细验证→太麻烦，也没必要为一个选择题较劲