2011深圳一模数学（理科）

2011年 深圳一模要到2011年3月份才考，试题及 状元源 http://zyy100.com/ 第一时间为大家更新，敬请关注。 绝密★启用前 试卷类型：A 2010年深圳市高三第一次调研考试 数学（理科） 2010.03 本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．设 ，若 （ 为虚数单位）为正实数，则 A．2 B．1 C．0 D． 2．设集合 ， ，那么“ ”是“ ”的 A．必要而不充分条件　 　 　B．充分而不必要条件 C．充分必要条件　 　　 　 D．既不充分也不必要条件 3．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是 由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形， 俯视图是一个半径为 的圆（包括圆心）．则该[来源:Z&xx&k.Com] 组合体的面积（各个面的面积的和）等于 A． B． C． D． 4．曲线 ， 与直线 ， 所围成的平面区域的面积为 A． B． C． D． 5．已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大小关系是 A． B． C． D． 6．若曲线 ： 上所有的点均在第二象限内，则 的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知三个正态分布密度函数 （ ， ）的图象如图2所示，则 A． ， [来源:学。科。网Z。X。X。K] B． ， C． ， D． ， 8．设 是 的一个排列，把排在 的左边且比 小的数的个数称为 的顺序数（ ）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A．48 B．96 C．144 D．192 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ． 10．已知 ，则 = ． 11．若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 ． 12．若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 13．图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得 辗转相除法．若输入 ， ， 则输出 ．（注：框图中的的赋值 符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”） （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （参数 ）， 以直角坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆 的极坐标方程为 ，则圆 心 到直线 的距离为 ． 15．（几何选讲选做题） 如图4，已知 是⊙ 的切线， 是切点，直线 交⊙ 于 、 两点， 是 的中点，连结 并延长交⊙ 于点 ．若 ， ，则 = ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 （其中 为正常数， ）的最小正周期为 ． （1）求 的值； （2）在△ 中，若 ，且 ，求 ． 17．（本小题满分12分） 如图5，已知直角梯形 所在的平面垂直于平面 ， ， ， ． （1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？请证明你的结论； （2）求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值． 18．（本小题满分14分） 已知 是二次函数， 是它的导函数，且对任意的 ， 恒成立． （1）求 的解析表达式； （2）设 ，曲线 ： 在点 处的切线为 ， 与坐标轴围成的三角形面积为 ．求 的最小值． 19．（本小题满分14分） 某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可 能亏损 ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 、 和 ． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据： ， ） 20．（本小题满分14分） 已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ， 是 的中点． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 （与 轴不垂直）与轨迹 交于 两点，与 轴交于点 ．若 ， ，证明： 为定值． 21．（本小题满分14分） 在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ． （1）分别计算 ， 和 ， 的值； （2）求数列 的通项公式（将 用 表示）； （3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ． [来源:Zxxk.Com] 2010年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准[来源:学科网] 说明： 1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．[来源:Z。xx。k.Com] 2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分 数． 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D A D D C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9． 27 ． 10． －8 ． 11． 6 ． 12． ． 13． 67 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14． ． 15． ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 （其中 为正常数， ）的最小正周期为 ． （1）求 的值； （2）在 △ 中，若 ，且 ，求 ． 解：（1）∵ ． ……………4分[来源:学科网] 而 的最小正周期为 ， 为正常数，∴ ，解之，得 ． ………………………6分 （2）由（1）得 ． 若 是三角形的内角，则 ，∴ ． 令 ，得 ，∴ 或 ， 解之，得 或 ． 由已知， 是△ 的内角， 且 ， ∴ ， ，∴ ． …………………………10分 又由正弦定理，得 ． …………………………12分 说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力． 17．（本小题 满分12分） 如图5，已知直角梯形 所在的平面垂直于平面 ， ， ， ． （1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？请证明你的结论； （2）求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值． 解：（1）线段 的中点就是满足条件的点 ．…1分 证明如下： 取 的中点 连结 ，则 ， ， …………………2分 取 的中点 ，连结 ， ∵ 且 ， ∴△ 是正三角形，∴ ． ∴四边形 为矩形， ∴ ．又∵ ，………3分 ∴ 且 ， 四边形 是平行四边形．……………………4分 ∴ ， 而 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． ……………………6分 （2）（法1）过 作 的平行线 ，过 作 的垂线交 于 ，连结 ， ∵ ，∴ ， 是平面 与平面 所成二面角的棱．……8分 ∵平面 平面 ， ，∴ 平面 ， 又∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ ， ∴ 是所求二面角的平面角．………………10分[来源:Zxxk.Com] 设 ，则 ， ， ∴ ， ∴ ． ………12分 （法2）∵ ，平面 平面 ， ∴以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，则 轴在平面 内（如图）． 设 ，由已知，得 ， ， ． ∴ ， ， ………………………8分 设平面 的法向量为 ， 则 且 ， ∴ ∴ 解之得 取 ，得平面 的一个法向量为 . …………………………10分 又∵平面 的一个法向量为 ． ．………………………12分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．（本小题满分14分） 已知 是二次函数， 是它的导函数，且对任意的 ， 恒成立． （1）求 的解析表达式； （2）设 ，曲线 ： 在点 处的切线为 ， 与坐标轴围成的三角形面积为 ．求 的最小值． 解： （Ⅰ）设 （其中 ），则 ， ………………2分 ． 由 已知，得 ， ∴ ，解之，得 ， ， ，∴ ． ………………5分 （2）由（1）得， ，切线 的斜率 ， ∴切线 的方程为 ，即 ． ………………7分 从而 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ， ∴ （其中 ）． ………9分 ∴ ． ……………11分 当 时， ， 是减函数； 当 时， ， 是增函数． ……13分 ∴ ． …………14分 说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力． 19．（本小题满分14分） 某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且 这两种情况发生的概率分别为 和 ； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 、 和 ． （1）针对以上两个投资 项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据： ， ） 解：（1）若按“项目一”投资，设获利 万元，则 的分布列为 （万元）. 　 ………………………2分 若按“项目二”投资，设获利 万元，则 的分布列为： （万元）. 　 ………4分 又 ， 　 …………5分 ，…………6分 所以 ， ， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ……8分 （2）假设 年 后总资产可以翻一番，依题意： ，即 ，………10分[来源:学科网ZXXK] 两边取对数得： ． 所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一 番． ……………13分[来源:学+科+网Z+X+X+K] 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．…14分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力． 20．（本小题满分14分） 已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ， 是 的中点． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 任意作直线 （与 轴不垂直），设 与（1）中轨迹 交于 两点，与 轴交于 点．若 ， ，证明： 为定值． 解：（1）设 ， ， ． ∵ 是线段 的中点，∴ ………2分 ∵ 分别是直线 和 上的点，∴ 和 ． ∴ …………4分 又 ，∴ ． …………5分 ∴ ，∴动点 的轨迹 的方程为 ． …………6分 （2）依题意，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 ．…………7分 设 、 、 ， 则 两点坐标满足方程组 消去 并整理，得 ， …………9分 ∴ ， ① ． ② ………10分 ∵ ，∴ ．[来源:Zxxk.Com] 即 ∴ ．∵ 与 轴不垂直，∴ ， ∴ ，同理 ． ………12分 ∴ ． 将①②代入上式可得 ． …………14分 说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力． 21．（本小题满分14分） 在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ． （1）分别计 算 和 的值； （2）求数列 的通项公式（将 用 表示）； （3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ． 解：（1）由已知，得 ， ， ， ． …………………………2分 （2）（法1）∵ 成等差数列，∴ ， ； ∵ 成等比数列，∴ ， ． 又 ， ， ，……； ， ， ，…… ∴猜想 ， ， ， …………………………4分 以下用数学归纳法证明之． ①当 时， ， ，猜想成立； ②假设 时，猜想成立，即 ， ，[来源:学科网] 那么 [来源:学*科*网] ， ． ∴ 时，猜想也成立． 由①②，根据数学归纳法原理，对任意的 ，猜想成立． ……………6分 ∴ ， ． ………8分 （注：如果用数学归纳法仅证明了 ， ， 则由 ，得 ； 如果用数学归纳法仅证明 ， ， 则由 ，得 ， 又 也适合，∴ ．） ∴当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ． 即数列 的通项公式为 ． ………9分 （注：通项公式也可以写成 ） （法2）令 ， ，则 ． ∴ ， ． 从而 （常数）， ，又 ， 故 是首项为 ，公差为 的等差数列，∴ ， 解之，得 ，即 ， ． …………………………6分 ∴ ， 从而 ．（余同法1）……………………8分 （注：本小题解法中，也可以令 ，或令 ，余下解法与法2类似） （3）（法1）由（2），得 ． 显然， ； …………………10分 当 为偶数时， ； …………………12分 当 为奇数（ ）时， . 综上所述， ， ． …………………………14分 （解法2）由（2），得 ． 以下用数学归纳法证明 ， ． ①当 时， ； 当 时， ．∴ 时，不等式成立． ………………………………11分 ②假设 时，不等式成立，即 ， 那么，当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ． ∴ 时，不等式也成立． 由①②，根据数学归纳法原理，对任意的 ，不等式 成立．……14分 说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩、差分、累积等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．