向量

资源网 高一“每周一练”系列试题（36） （命题范围:平面向量的数量积及其应用） 1．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 2．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 3．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a,4cosB)，n＝(cosA，b)满足m∥n. (1)求sinA＋sinB的取值范围； (2)若实数x满足abx＝a＋b，试确定x的取值范围． 4．己知向量a＝(cos x，sinx)，b＝(cos，－sin)，c＝(1，－1)，其中x∈[－，]． (1)求证：(a＋b)⊥(a－b)； (2)设函数f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)，求f(x)的最大值和最小值． 5．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2设实数t满足( )· =0，求t的值。 参考答案 1、解：由已知， ＝|e1|2＝4， ＝|e2|2＝1， e1·e2＝2×1×cos60°＝1. ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2t ＋(2t2＋7)e1·e2＋7t ＝2t2＋15t＋7. 由2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－. 由2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，得， ∴.由于2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角， 故(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)，故t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)． 2、解：(1)若a⊥b， 则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x) ＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， ∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)| ＝＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， ∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝＝2. 3、解：(1)因为m∥n，所以＝，即ab＝4cosAcosB. 因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得 ab＝4sinAsinB. 于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0. 因为0＜A＋B＜π.所以A＋B＝.故△ABC为直角三角形． sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)， 因为＜A＋＜， 所以＜sin(A＋)≤1，故1＜sinA＋sinB≤. (2)x＝＝＝. 设t＝sinA＋cosA(1＜t≤)，则2sinAcosA＝t2－1， x＝，因为x′＝＜0， 故x＝在(1，]上是单调递减函数． 所以≥.所以实数x的取值范围是[，＋∞)． 4、解：(1)证明：a＋b＝(cosx＋cos，sinx－sin)， a－b＝(cosx－cos，sinx＋sin)， (a＋b)·(a－b)＝(cosx)2－(cos)2＋(sinx)2－(sin)2＝0. ∴(a＋b)⊥(a－b)． (2)∵a＋c＝(cosx＋1，sinx－1)， b＋c＝(cos＋1，－sin－1)． |a＋c|2－3＝(cosx＋1)2＋(sinx－1)2－3 ＝2cosx－2sinx. |b＋c|2－3＝(cos＋1)2＋(－sin－1)2－3 ＝2cos＋2sin. ∴f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3) ＝(2cosx－2sinx)(2cos＋2sin) ＝4(cosx·cos＋cosx·sin－sinx·cos－sinx·sin) ＝4(cos 2x－sin x)＝4(1－2sin2x－sin x) ＝4(－2sin2x－sin x＋1)， ∴当sin x＝－时，y最大值＝4(－2×＋＋1)＝， ∴当sin x＝1时，y最小值＝4(－2×1－1＋1)＝－8. 5、（1）（方法一）由题设知 ，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为 、 。 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E（0，1） 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC= 、AD= ； （2）由题设知： =(－2,－1)， 。 由( )· =0，得： ， 从而 所以 。 或者： ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com