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开普勒问
-8.282
开普勒问题
一个质量为 m的天体围绕一个
比它质量大的多的天体 M进行非圆的
轨道运动。我们想要得出 r(t)和
θ(t)。
我们以在二维轨道平面应用 amF
= 开始。
0Fq = Þ 轨道角动量 L守恒,
但是,
22 r
dt
dmrmrrmrmvL ÷
ø
ö
ç
è
æ==== ^
q
ww
代换#1:从 Fr的方程中消去 ÷
ø
ö
ç
è
æ
dt
dq
项,得到现在的形式,含有 r,θ,和 t
2
22
22 dt
rdmr
mr
Lm
r
GmM
+÷
ø
ö
ç
è
æ-=-
或者 032
2
22
2
=-+
rm
L
r
GM
dt
rd
这个方程是很难解出的。因此我们用链式微分定则来找出 r(θ)而不是 r(t)的方程式。
这将会获得开普勒轨道的形状。
从角动量守恒
达式可得到
2r
dt
dmL ÷
ø
ö
ç
è
æ=
q
我们有 2mr
L
dt
d
=
q
因此, ÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ=
q
q
q d
dr
mr
L
dt
d
d
dr
dt
dr
2
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ=ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ=
qq
q
q d
dr
mr
L
d
d
dt
d
d
dr
mr
L
dt
d
dt
rd
222
2
2
22
2 dt
rdmr
dt
dm
r
GmMFr +÷
ø
ö
ç
è
æ-=-=
q
2
最后, úû
ù
êë
é=
qq d
dr
rd
d
rm
L
dt
rd
222
2
2
2 11
r(θ)现在能写为以下方程
代换#2 011 32
2
2222
2
=-+úû
ù
êë
é
rm
L
r
GM
d
dr
rd
d
rm
L
qq
或者 2 2
1 1 0d dr GMm
d r d L rq q
é ù + - =ê úë û
这个 r(θ)的方程比我们最初的 r(t)的方程要容易解,这点并不明显,但是的确如此!
这个小技巧是作变量替换
u
r 1º
代换#3: 01 2
2
2 =-+ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ u
L
GMm
ud
du
d
d
qq
或者
2 2
2 2
d u GMmu
d Lq
+ =
首先,令方程式右边等于零产生一个方程
02
2
=+ u
d
ud
q
这个方程的解的形式为:
( ) ( )bqq += cosBu (自己
这个解) ,
其中 B和β是由边界条件给定的常数。
为了找到方程式右边不为零的解,我们简单的把 2
2
L
GMm
加到上面得到的解的右边,
因此 ( ) ( ) ( ) 2
2
cos1
L
GMmB
r
u ++=º bq
q
q
3
如果我们调整 r(θ)的图形,使 r的最小和最大值在沿 x轴上,这要固定β≡0。
最终, ( )
q
q
cos1 2
2
2
2
GMm
BL
GMm
L
r
+
=
还要确定常数 B。
我们的 r(θ)的表达式是一个椭圆形式。因此,让我们来了解一下椭圆的一些性质。
左图显示了半长轴和半短轴长度分别是 a 和 b 的椭圆。右图显示了同一个椭圆的常见
的几何结构,这里一个固定长度的细绳围绕着两个固定点(定义为两个焦点)拉紧,铅笔在
p点。两个焦点之间的距离,被定义为 2ea,e是轨道偏心率。
现在我们推导 r、θ 坐标中的椭圆方程。容易得出绳子的长度是 2a+2ea=2a(1+e),
我们现在对右图应用余弦定理:
( ) qcos42' 222 earearr -+= ,
绳子的长度= arreaaearr 2'222' =+Þ+=++
( ) ( ) qcos222 222 earearra -+=-
( ) ( )qcos11 22 earea -=-
最终,我们得到椭圆的极坐标方程:
( ) ( )( )qq cos1
1 2
e
ear
-
-
=
这与从开普勒轨道运动方程得到的形式完全一样!令这两个方程的分子相同,我们得
到:
( ) 2221 GMmLea =-
4
因此,我们发现对于一组给定的质量,如果我们选择一个半长轴 a,和轨道角动量 L,
这就确定了轨道的偏心率。这就得出了开普勒第一定律的证明。
开普勒第二和第三定律容易证明如下:
还记得
2dL m r
dt
qæ ö= =ç ÷
è ø
常数,
但是, ( )1
2
rd rq =轨道扫过的微分面积
m
L
dt
dr
dt
dA
22
1 2 ==Þ q
最后,我们得到
2
1
r2
dA L
dt m
= = Ü常数 只是角动量守恒的结论,而不是 律的结论,
这是开普勒第二定律。
如果我们对轨道扫过面积的表达式进行积分,我们就能求出椭圆的面积。
0 2
P dA Ldt P ab
dt m
pæ ö = = = ¬ç ÷
è øò 椭圆的面积 用半长轴和半短轴表示的椭圆的面积
从图中我们可以看出 a,b和 e的关系:
2
2
2
1 e
a
b
-=
因此,我们能够得到下面的轨道周期 P和半长轴
a的关系:
( ) 2
232
242222
22
22
1
2 GMm
Laeaba
m
PL p
pp =-== ,
这里我们用了前一页的表达式 ( ) 22 21a e L GMm- = 。
最后只剩下
( ) GM
aP 3
2
2
2
=
p
或者
2
3
2
÷
ø
ö
ç
è
æ=
Pa
GM p
,偏心轨道的开普勒第三定律。
对于一个圆轨道来说,形式完全一样,除了这里的 a是半长轴以外。
5
轨道运动对时间的依从关系
回到最初的 r(t)的第二个轨道微分方程
2 2
2 2 2 3 0
d r GM L
dt r m r
+ - = ,力的方程
但是, 2
2
dt
rd
可以写为 ( )2
2
1
rvdr
d
,这里 vr是径向速度。利用这一点,我们可以对上面的
方程(关于力和加速度)积分得到一个能量方程:
2
2
2 2
1
2 2r
GM Lv
r m r
- + =常数
在近星点,vr=0,r=a(1-e),而且 L
2
=GMm
2
a(1-e
2
)(处处成立),
因此,
2
GM
a
= -常数
a
GM
rm
L
r
GMvr 222
1
22
2
2 -=+- 能量守恒
或者 22
22
rm
L
r
GM
a
GM
dt
drvr -+-==
或者
2
2
2 2
m
LGMrr
a
GM
rdrdt
-+-
=
现在替换 ( )22 1 eGMmaL -=
( )222 12 earar
a
GM
rdrdt
--+-
=
( )22 2
1rdrdt
GM a e r a
a
=
- -
这种形式的方程可以通过构造以下(非常
的)三角代换来进行积分:
令: ( ) cosr a ae u- = -
sindr ae udu=
6
( )( )
ueaea
a
GM
duuaeueadt
22222 cos
sincos1
-
-
=
( )
ae
a
GM
duueeadt cos1
2 -
=
还记得: 3
22
a
GM
P
=÷
ø
ö
ç
è
æ p
( )duue
P
dt cos12 -=p ,这很容易积分。
( )02 sint T u e u
P
p
f
-
º = - ,
其中f是平均近点角,u是偏近点角
还记得: ( )uear cos1-= (从上面的三角代换得到)
以上两个方程表示了 r(t)的参数解,也就是 r(u)和 u(t)。
要用开普勒轨道拟合观测的数据,我们通常把参数方程写成关于同样的 u(t)方程的
x(u)、y(u)的形式。我们可以用我们的椭圆轨道解
( )
qcos1
1 2
e
ear
+
-
=
来得到 x(u)和 y(u)。(注意分母中是+号,分母中是-号的比较容易导出。这是简单地在方向
上把椭圆翻转了 180°。)从椭圆的方程我们能得到
)1(cos 2earer -=+ q
或者 ( )[ ] ereaxr /1cos 2 --=ºq
用上面的 )cos1( uear -= 替换,得到:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) eeuaeeueaeaux /coscos11 2 -=---=
( ) ( )euaux -= cos
同样可得: ( ) ueauy sin1 2-=
7
我们已得到
( ) ueu
P
Tt sin2 -=-p
这些非线形方程被用来拟合轨道,其中 x(t)和 y(t)是已测量的。基本上,对于任意观
测时间 t,我们可以用牛顿的
来解最下面的表达式 u。然后 x[u(t)]和 y[u(t)]由上面两
个方程导出,再和观测作比较。
8
平面上的加速度
2
2
dt
rda
=
所以,使 rrr ˆ= ,这里 rˆ是径向的单位矢量。
因此,速度为 r
dt
drr
dt
dr
dt
rdv ˆˆ +==
,由链式规律
qq ˆD=D
r
r
或者 qwq
q ˆˆˆˆ =Þ
D
D
=
D
D
dt
rd
tt
r
,
所以, ˆˆdrv r r
dt
w q= +
,
最后,
dt
vda
= ,
或者 qwqwq
w ˆˆˆˆˆ2
2
dt
dr
dt
dr
dt
dr
dt
rd
dt
drr
dt
rda +÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ+=
从类似上面
dt
rd ˆ
的推导,我们得到
r
dt
d ˆ
ˆ
w
q
-=
rr
dt
dr
dt
dr
dt
drr
dt
rda ˆˆˆˆˆ 22
2
wqwq
w
qw -÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ+=
合并同类项,我们得到
2 2
2
2 2
ˆˆ 2d r d dr da r r r
dt dt dt dt
q q
w q
é ùæ ö é ùæ öæ ö= - + +ê úç ÷ ç ÷ç ÷ê úè øè øè ø ë ûë û
其中,第一项是向心加速度,第二项是科里奥利加速度。