质数的性质

你的我已经收到，证明非常好，这个证明展示了你雄厚的数学实力，高超的数学技巧，为兄自愧不如 质数性质的几证明方法 第一种方法 引理1：质数的个数公式π(n)是不减函数 证明： 当n+1为合数时，π(n+1)＝π(n) 当n+1为素数时，π(n+1)﹥π(n) 故无论n+1为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n) 所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n) ≥0 引理2：若 为大于2的自然数，则 到 之间至少有一个素数。(伯兰特猜想，已经被切比雪夫证明。) 引理3：设n为正整数， 为n的前部素数，那么 。 证明：设n为正整数， 为n的前部素数，若 , 是 的剩余类。不难知道，所有整数均匀分布在这 个剩余类中，若在1，2，…………，n内任取一个整数a则 ∣a的概率定义为 ,那么 不整除a的概率即为 ，若 是素数，每一个 能否有 不整除a可视为独立事件，故在1，2，…………，n内，任取一数 b 不能被 整除的概率为 。在1，2，…………，n内，不能被 整除的就是后部素数和1，因为前部素数 是能被 整除的，即 。所以 等于后部质数的个数加1，又因为前部素数的个数为m，所以我们有，不超过正整数n的素数的个数为 。 引理4：若 为正整数，则 到 之间至少有一个素数。 证明：证明：用反证法，假设存在,使 到 之间没有一个素数。 即： 又因为 ，由引理1知 ，根据假设可以得到 。 ⑴当 时，也就是说 有相同的前部质数。 根据质数的个数公式 ， ，所以 ，也就是 ，又因为 ，所以 故 ,所以可以得到 ,这与n为正整数矛盾，故假设错误。 ⑵当 时，也就是说 ，此时n+1必为质数。 根据质数的个数公式 ， ， 所以， ，也就是 ，又因为 ，所以， ，也即是 ，所以， ，又因为 ，所以n为负数，这与n为正整数矛盾，故假设错误。 综上所述，命题 成立。即： 到 之间至少有一个素数。 引理5：当 时， 到 之间至少有一个素数。 证明：当 时， ，所以 ，展开可以得到 ，所以 ，也即是， 。 又因为 ，所以 ， 又因为在 和 之间至少有一个素数。(引理4) 所以在 之间也至少有一个素数。 引理6： 已知： ，m为整数，质数p为不超过m的最大素数。 求证： 证明： 由引理2， 到 之间至少有一个素数。设质数p为不超过m的最大素数，则必有 由引理5，当 时 到 之间至少有一个素数， 到 之间至少有一个素数。 当 时， 时， 到 之间至少有一个素数。 当 时，可逐项验证命题成立。 综上所述， 第二种方法 引理：质数的个数公式π(n)是不减函数 证明： 当n+1为合数时，π(n+1)＝π(n) 当n+1为素数时，π(n+1)﹥π(n) 故无论n+1为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n) 所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n) ≥0 引理2： 已知质数p是不超过n 的最大质数。 求证 证明：当 时，即 假设结论不成立， ，那么 。又因为p是不超过2k的最大质数，所以 ，所以可以得到 。又因为 ，根据质数的个数公式是不减函数，所以 再根据假设可以得到 。根据质数的个数公式， ， ， 分别是k和2k的前部质数，所以 ，因为 ，又因为 所以 当 时， 这与 矛盾。 当 时，设 ，那么 ， 所以， ，又因为 ， ，所以， 又因为 所以 故 ，所以 这与 矛盾，故假设错误，命题成立。 当n为奇数时，则n+1为偶数，同理可证。 ，又因为 所以 。 引理3： 已知 表示不超过正整数2m的质数个数，质数p表示不超正整数m的最大的质数。 那么， 证明1：假设 。 因为 ,根据假设知道 。当它们的前部质数相同时，即 ， 又因为根据质数的个数公式 ，其中x为n的前部质数的个数。那么把 代入公式可以得到 ， ，又因为 ，所以我们可以得到 ， ,故 ，又因为 ，所以 也即是 这与p是不超过m的最大质数矛盾。故假设错误，也就是说 命题成立。 当它们的前部质数不同时，即 ， ， ，又因为 ，所以， 因为 ，所以， ， 所以， ，所以， ， 所以， ， 所以， ， 所以， ， 所以， ，即 ，根据引理2也就是说p不是不超过m的最大质数，故假设错误。命题成立。 第三种方法 已知： 为大于1的整数，质数 为不大于 的最大素数。 求证： 证明：首先给出两个引理。 引理1：若 为大于2的自然数，则 到 之间至少有一个素数。 引理2：若 为自然数，则 到 之间至少有一个素数。 以上两个引理均已被证明，此处不再给详细证明过程。下面我们给出引理3： 引理3：当 时， 到 之间至少有一个素数。 证明：当 时， 又 （ 表示不超过 的最大整数。） 由引理2， 和 之间至少有一个素数， 和 之间至少有一个素数。 又 当 时， 到 之间至少有一个素数。（引理3证毕） 由引理1， 到 之间至少有一个素数。若 为不大于 的最大素数，则必有 由引理3， 到 之间至少有一个素数， 到 之间至少有一个素数。 即当 ， 时， 到 之间至少有一个素数。 当 时，可逐项验证命题成立。 综上所述，