10.二次函数（一）

二次函数（一） 1.​ 知识点回顾 1．二次函数的概念：一般地，形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 3.二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ． ①当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ②当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小． （2） 一次项系数b和二次项系数a一起决定了抛物线的对称轴 （3） 常数项 ⑴ 当c＞0时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c＝0时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当c＜0时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 4.二次函数 （a≠0）的变化情况（增减性） （1）如图所示：当a＞0时，在对称轴左侧（x＜ ），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞ ），y随x的增大而增大。 （2）如图所示：当a＜0时，在对称轴左侧（x＜ ），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞ ），y随x的增大而减小。 5.二次函数的 （a≠0）的最值 （1）当a＞0时，抛物线 有最低点，函数有最小值，当x= 时，y = 。 （2）当a＜0时，抛物线 有最高点，函数有最大值，当x= 时，y = 。 6.二次函数的平移规律：任意抛物线 （a≠0）可以由抛物线y=ax²经过适当平移得到。 步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下图所示： 温馨提示：①平移后抛物线开口方向、开口大小不变，即a不变。 ②平移时“上加下减”“左加右减”。 ③在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” 二、经典例题 1.二次函数图象的画法 （1）通过配方法或公式法，将一般式化为 形式； （2）确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标； （3）在对称轴两侧，以顶点为中心，左右两侧对称描点。 Attention：在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点． 例1：请画出二次函数 的草图： 例2. 如图: 根据抛物线 的图象, 请你确定下列各式的符号: 例3. 函数 , 当 ___________时, 它是一次函数; 当 __________时, 它是二次函数. 例4. 抛物线 向左平移1个单位, 在向下平移2个单位, 所得到的抛物线是_____. A. B. C. D. 例5. 已知二次函数 的图象上有三个点 . 则 的大小关系为______. A. B. C. D. 例6.可能在同一坐标系 （1） 二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象可能是下图中的_____. （2）在同一坐标系中二次函数 和 的图象只可能是下图中的_____. 例7. 某玩具厂生产一种玩具狗, 每日最高产量为40只, 且每日产出的产品全部售出, 已知日生产 只玩具狗的成本为R元, 售价为每只为P元且R、P与 的关系分别为 、 求: (1) 当日产量为多少时, 每日获得的利润为1750元? (2) 当日产量为多少时, 可获得最大利润? 最大利润是多少? 三、小试牛刀 1．形如 中，（其中 是 ）的函数叫二次函数； 2．已知抛物线 ，且直线 经过一、二、三象限，则 的取值范围是 ； 3．已知二次函数 ，则 与 成 比例； 4．若 是二次函数，则 ； 6．若抛物线 开口向下，则 ； 7．若函数 的图象是抛物线，则 ； 8．函数 的图象若是一条不经过一、二象限的抛物线，则 的符号是 ； 9．若抛物线 和直线 都经过点P（2，6），则 ， ，直线不经过第 象限，抛物线不经过第 象限； 10．点A（ ， ）是抛物线 上一点，则 ，与点A关于原点对称的点B的坐标是 ，与点A关于 轴对称的C的坐标是 ，其中点B、点C在 图象上的点是 ； 11.若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k______. 12.二次函数y=－ x2，当x1表

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