初三数学求多项式最值问题十法

初三求多项式最值问题十法 初三数学求多项式最值问题十法 高俊元 多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常用方法加以汇总，供大家参考。 一、配方法 例1. 已知x，y，z都是实数，且 ，则 （ ） A. 只有最大值 B. 只有最小值 C. 既有最大值又有最小值 D. 既无最大值又无最小值 解： 即m有最小值 而 三式相加 即m有最大值1 故应选C 二、参数法 例2. 若 ，则 可取的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 解：设 则 所以 ∴当 时 的值最大为 ，应选B 三、消元法 例3. 已知x，y，z为3个非负实数且满足： ， ，设 ，s的最大值与最小值的和为_________。 解：由 得 则 ，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。 四、分类讨论法 例4. 设 均为正整数，且 ，则当 的值最大时， 的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解：由 ，知 由<1>得 ，从而 得 ，与题设矛盾 由<2>可取 使 取到最大值，且 也可取到最大值，此时取 可全部满足条件，因而 的最小值为 。 五、枚举法 例5. 设整数a、b、c满足 的个位数依次为x、y、z，当 为最小时，求乘积abc的最大值。 解：依已知需把x、y、z、a、b、c求出 ∴（x、y、z）有10种可能： （1，8，7），（1，8，4），（1，8，5），（1，7，4），（1，7，5），（1，4，5），（8，7，4），（8，7，5），（8，4，5），（7，4，5） 那么 的值依次为： 故 的最小值是 此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5） 相应的 或 故abc的最大值是10 六、等值代换法 例6. 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足 那么 的最大值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 解： ，即 代入 得 等号成立当且仅当 时，此时 的最大值是 ，应选B。 七、放缩法 例7. 设 为自然数，且 ，又 ，则 的最大值为__________。 解：由题设有 同理 的最大值为19，取 则 ，从而 取 ，则 从而 ，依次可得符合条件的7个数为19，20，22，23，24，25，26 故知所求最大值为61 八、和差代换法 例8. 实数x、y、z满足 ，则z的最大值是________。 解：设 ，代入已知式可得 由<1>得 代入<2>得： 化简得 即 解得 故z的最大值为 九、分析判断法 例9. 已知a、b、c都是整数，且 ，则 的最小值是_________。 解：由 知 a、b、c中必有两负一正 不妨设 此时 ∵a、b、c为整数 ∴当 时，a取最大值1990 的最小值是： 十、逐步调整法 例10. 已知 都是正整数，且 ，若 的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。 解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故 的最小值和最大值是存在的。 不妨设 ，若 则 ，且 所以，当 时，可以把 逐步调整到1，这时 将增大； 同样地，可以把 逐步调整到1，这时 将增大。于是， 当 均为1， 时， 取得最大值 即 若存在两个数 ，使得 ，则 这说明在 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时 将减小。 所以，当 取到最小时， 中任意两个数的差都不大于1。 于是当 时 取得最小值 即 故A＋B＝494