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考研数学概率笔记[1]...第一章事件与概率（一次半）基础班（8次学时8×3=24小时）概率论：它是研究随机现象统计规律性的一门数学科学。简史：起源于赌博。17世纪法国Pascal和Fermat解决Mere（公平赌博）问题等并提出了排列与组合的新知识。18世纪早期J.Bernoulli提出了概率论历史上第一个极限定理（贝努里大数定理），19世纪初Laplace提出了古典概率定义。20世纪30年代Kolmogorov建立了概率的公理化定义（19世纪末Cantor集合论和20世纪30年代Lebesgue测试论）。历史上Gauss、De Moirve...

第一章事件与概率（一次半）基础班（8次学时8×3=24小时）概率论：它是研究随机现象统计规律性的一门数学科学。简史：起源于赌博。17世纪法国Pascal和Fermat解决Mere（公平赌博）问题等并提出了排列与组合的新知识。18世纪早期J.Bernoulli提出了概率论历史上第一个极限定理（贝努里大数定理），19世纪初Laplace提出了古典概率定义。20世纪30年代Kolmogorov建立了概率的公理化定义（19世纪末Cantor集合论和20世纪30年代Lebesgue测试论）。历史上Gauss、De Moirve、、Chebeshev 、Liapunov 、Borel、Khinchine、Markov、K.Pearson、Fisher、Cramer、Wiener、Doob、Ito、许宝禄、Rao等人亦对概率统计发展作出了重要贡献。 1.1随机事件、样本空间 ①、②、③、④例子，称满足、、条件的试验为随机试验，记为E，基本事件（样本点）：用e表示;随机事件：用“A,B,…”表示;样本空间（必然事件）：用S表示。 Remark：（1）发生，ei出现了；（2）S引入意义。 1.2事件的关系与运算（两种语言刻划）一、六种关系：二、四个运算性质： Remark：（1）两个事件互斥（互不相容）两个事件互为对立事件；（2）A－B= =A－AB；（3）事件的假设与事件的相互表示是学好概率论与数理统计的基本功。例1 某人向一目标射击三次，Ai表示第i次命中（i=1,2,3）,Bj表示命中j次（j=0,1,2,3）,用Ai表示Bj。例2 设A,B,C为E中三个事件，用之表示：（1）仅C发生；（2）A,B,C至少有一个发生；（3）A,B,C仅有两个发生；（4）A,B,C中不多于两个发生；（5）A,B,C中不多于（或至多）一个发生；（6）A,B,C中不少于两个发生。 1.3古典概率 P（A）：事件A发生的可能性大小数值。它是抽象集函数且是客观存在的。例子（4个）定义（古典概型E）例子：例1（电话号码）. 从0~9中有重复抽取5个数组成五位数的电话号码，求：（1）的概率；（2）的概率；（3）的概率；例2（抓阄问题）．某袋中有6个白球，4个黑球，依次一个接一个摸出，求A=“第次摸得白球”概率。（实用范围：竞赛分组，两种手法）。例3（分配问题）．现有N个房子，n个人，每个房子足以容纳n个人，每人以等概率进入每个房子，今将n个人随机分配到N个房子中，求A=“指定n个房子各一人”概率；B=“恰有n个房子各有一人”的概率；求C=“某一指定房子恰有k人”概率。（分配

原则

组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则

；实用范围：分房、分球、分信、生日问题）。例4 （超几何概率与二项概率）袋中10个产品，其中6个正品，4个次品，从中按两种方式（不放回和有收回），任取3个产品，求其中恰有2个正品A之概率。（实用：产品检验。） Theorem：古典概率满足7条。利用古典概率性质计算概率的例子例5 （电话号码）从0~9中抽取5个数随机组成电话号码，求五个数的电话号码中至少有二个数相同A之概率。例6 某袋中有180件产品，其中次品8件，从中任取4件，求A=“次品数超过1”概P（A）=0.010。例7 从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出三个不同数字，B1不含0；B2不含5。求A1=“三个数中不含0和5”； A2=“三个数中不含0或5”； A3=“三个数中含0，但不含5”概率； 1.4几何概率定义（几何概型E）例1 （约会问题）甲乙两人约定在内会面，若一人先到，则等小时后即离去，求此两人在内会面的概率。例2 （三角形构成问题）将一根为之线段随机地截为三段，求三线段构成一个三角形A的概率。例3（Buffon投针问题（1777年））在一个平面上画一些距离为的平行线，然后再向此平面投一根长为的针（，求针与平面相交的概率。 Theorem：几何概率满足（1）~（7） 1.5 统计概率与公理化定义例1 掷硬币n次E；定义1（频率定义） Remark（1）.n充分大时fn(A)稳定性；（2）不确定性；一般。定义2（统计概率） P（A）=P (A)=p Remark（1）适合一切E；（2）无法定p但n很大时。 Theorem：满足(1),(2),(3)，利用Th及Def2，统计概率满足（1）~（7）。 1933年Kolmogorov 公理化定义（1~3）三个推论补充：例1 （1）r个人生日全不同概率；（2）教室里4个人至少有两人生日在同一个月概率；例2 6个人中生日在星期几等可能，求其生日在一星期中某两天但不在同一天A概率；例3 从编号为1~10任取三个，求（1）最小号码为5 这一事件A的概率；（2）最大号码为5这一事件 B的概率；例4 若A1,A2,A3同时发生必然导致A发生，则；例5 若，P（AB）=0=P（AC），P（BC）= ，求；例6 设P（A）=p，P（B）=q，，求。第二章条件概率与独立性（一次半） 2.1条件概率乘法定理发生的条件下，B发生的条件概率。例1 袋1（4个白球，2个黑球）；袋2（4个黑球，2个白球），掷硬币一次E，若出现正面（H），从袋1中任取一球；否则（T），从袋2中任取一球，A表示任取一球为黑球。求已知H信息条件下A发生的概率（两件事：几何概率—条件频率;条件统计概率）。定义（P（B）>0）比值为~. 记。 Remark：（1）；（2）一般意义。 Theorem1.条件概率满足三条公理（P（B）>0），由之推出(4),(5),(6),(7)； Theorem2.设P（A），P（B）>0，则，； Theorem3.设P（A1…An-1）>0，则。例1 某包装了器皿今扔三次，第一次扔下器皿损坏的概率为0.4；若第一次未损坏，第二次扔下器皿损坏的概率为0.6；若第二次未损坏，第三次扔下器皿损坏的概率为0.9，求A=“器皿损坏”概率（0.976）；例2 某袋中有10个球，其中6黑4白，从中任取3个，求第三次取到白球概率和第三次才取到白球概率。 2.2全概率公式例1 某袋中有10个球，其中6白4黑，甲,乙,丙三人依次摸一球，求甲,乙,丙三人分别摸到白球的概率。 Theorem1.设A1,…,An,…是可数无穷多个互斥事件，且，A S，则有：；例2 甲袋（3个白球，2个黑球）；乙袋（4个白球，4个黑球），从甲袋任取2个，放入乙袋，再从乙袋任取一球，A表示取到白球，求；例3 某袋中15个乒乓球，其中9个新球，第一次比赛时任取3个，然后放入原袋中，求第二次比赛时取出三个新球A的概率（0.089）； 2.3 Bayes公式 1763年英国牧师Bayes《论机遇理论中一个问题的解决》（普赖斯），Bayes 曾师从D.Moirve；例1 发射台发出“·”,“－”信号比例为5：3，由于干扰，发出“·”,“－”信号的失真率分别为，求接受到“·”信号时亦发出“·”信号概率； Theorem2.(Bayes)条件同Th1, P(B)>0,则 P（Ai）…先验概率，专门科学知识，后验概率。例2 上节例2中若已知A发生条件下，A1发生的概率。例3 设某袋中有m+n枚硬币，其中m枚为次品（两面均为国徽），从中任取一枚，掷r次均得到国徽，求它是正品这一事件的概率。 2.4 独立性一般，特殊，即P（AB）=P（A）P（B）定义1（两个事件独立） Remark：（1），（2） Th1 Th2 定义2（三个事件独立） A.B.C满足(1),(2),(3),(4).则称~; 两两独立（(1).(2).(3)） Remark: 1)一般地，由（1）（2）（3）成立推不出（4）成立；（Bernstain反例） 2）一般地，由（4）成立推不出（1）（2）（3）全成立例1.1)(Bernstein反例); 2)若一个均匀对称色子;若1点(红,白,黑),2点(红),3点(红,黑), 4点(红,白),5点(白),6点(黑)或红(1;2;3;4);黑(1;3;6);白(1;4;5); 用A,B,C分别表示色子出现红,白,黑事件,问A,B,C是否相互独立?为什么? 例2 几何概型E , M1,M2,M3是否两两独立？为什么？定义3 （n个事件独立性（n≥2））( ) 例3.甲、乙、丙三人各自向一飞机射击一次，他们命中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7;若飞机中一弹而被击落的概率为0.2；若飞机中两弹而被击落的概率为0.6；若飞机中三弹必然被击落。求飞机被击落的概率。例4（可靠性问题），每个同类型的元件可靠性为r，n个元件是否正常工作相互独立，试求下面两个系统（1）（2）的可靠性并比较两个系统的可靠性. 1 n … 1 n (2) (1) 例5 （图书馆借书）某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每个图书馆而言，有无此书概率相等；若有，能否借到的概率亦相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该考生能借到书的概率。 2.5 二项概率公式和泊松近似公式定义1（n次重复独立E）定义2（n重贝努里E） Remark： ①贝努里E：A—成功： —失败； ②n重贝努里E：； ③转化条件。 Theorem1：（二项概率），k=0,1,2,…,n 推论：例1 从一批次品为30%任取5件；求：（1）恰有2个次品概率（0.309）；（2）至少有2个次品概率（0.472）。例2 昆虫产卵k个卵的概率为；各个孵化为虫的概率为P；各个卵是否孵化为虫相互独立。求该昆虫下一代有条虫的概率。例3 某数字传输器：512×103个0或1/秒，由于干扰，每传送一次产生误码的概率为 p=10-7, 求10秒内产生一个误码概率（0.30）. n充分大， p很小， =p,A-稀有事件。这是一个计算的复杂性问题，这类问题是21世纪数学乃至是计算领域的重要问题（陈省生大师）。1837年法国人Possion解决了上述具体问题。 Theorem2. n重贝努里E，nPn= （常数）,成功概率为pn, 则对： Remark：例4 （保险问题）某保险公司有 2500人参加保险，每人交纳保险费 12元/年，假定每人在一年内死亡的概率为p=0.002，若一人在一年内死亡，其家属可领丧葬费2000元。求（1）保险公司亏本A之概率(0.000069)；（2）公司获利不少于10000元B之概率（0.986305）。补充：例1 考试时有四道选择，每题附4个答案，其中一个正确，一个考生随意地选择每题答案，求他至少答对三道A的概率；例2 设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件亦不合格的概率例3 从52张扑克牌中任取5张，求在至少有3张黑桃条件下，5张均为黑桃的概率例4 证：若A，B，C独立，则及A－B都与C独立。第三章随机变量及其布 3.1随机变量的概念与赌博有联系 S可能为数值集合亦可能不是，怎样利用数学分析中函数来刻划事件的概率，需要引入概念；随机试验结果的函数（一般有两类：一类随机试验的结果直接是数值；另外一类随机试验的结果不是数值（需要引入映射才可与数值对应）。）例1 掷硬币一次E，S={正面，反面} 建立：X： e r 正面 1 反面 0 （X=1）—“正面”；（X=0）—“反面” X：S → H对应例2 掷硬币两次E，S={（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）} e (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) X 0 1 1 2 X表示出现正面次数 X:S→ {0,1,2}单质对应定义：E—S—e，都有唯一实数X（e）与之对应，则称X（e）为随机变量，记 Remark ①X为定义于S上一个函数；②值域通常含两个or两个以上数集。事件A的示性函数：称为A之~ ； . 可用示性函数表述事件的6种关系： 3.2离散型定义1（分布列） Pi满足（1），（2）反之，亦成立（3）例1 （几何分布）在相继独立贝努里E中，每次成功概率均为p，求首次成功所需贝努里试验的次数X分布；并求当时例2 某袋中有a+b件球，其中a个白球，b个黑球，从中任取r个，求白球个数X的分布列；三个特殊分布：（1）两点分布（贝努里分布）；（2）二项分布；（3）泊松分布； 3.3分布函数例1 向（a,b）内掷一随机点，几何概型E，求落点坐标X的分布。，用离散型随机变量分布列的办法无法描述其概率分布。需考虑随机变数在一个区间上的取值的概率问题，何区间？利用Halmos 测度论 Halmos 测度论定义：设X为，称， ,为 X分布函数，记 Remark：（1）F（x）是R上实函数；（2） Real Analysis；例1．解： X 0 1 2 3 P 例2 设 X分布列为求 F（x） Remark（1）；（2）反问题：已知离散型 X的分布函数，可求其分布列。补充定理:已知 X的分布函数，则有：例3 设 X 为并且 X一切可能值有求 X分布列。 F（x）满足：（1） ; （2） ; （3） ; （4）反之，亦有。例4 设 X 求A,B=？ 3.4 连续型 X 例1 （上节例1）定义定义.设随机变数 X ，其，则称X为连续型，pdf f(x) f(x)满足：（1）f(x)≥0；（2）；反之，也成立。（3）；（4）是R上；（5）若f(x)在点连续，则；（6）；（7）f(x)在点连续时，则f(x)在此点函数值大小表明在点附近取值概率的大小。例2 设 Xpdf为：求（1）A=？；（2）F(x)；（3）P(1工程

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）一、离散型 X函数的分布： X 0 1 2 3 4 5 P 例1 求Y1=2X+1和Y2=(X-2)2之分布；二、连续型 X函数分布：两个

方法

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：（1）方法：Y=g(X) FY(y) 用X表示Y之分布 or （2）公式法：两个Th1,Th2 简述之例2 设X为连续型 pdf FX(x),Y=aX+b, ，则Y之pdf ；应用：X~N（），Y=aX+b，，则Y之pdf fY(y)且Y~N（a 。例3 设X~N（0,1），Y=X2，求Y之pdf 例4 设X~U（0，1），（1）求Y=eX 的pdf ；（2）求第四章多维及分布 4.1多维定义，分布函数，边缘分布函数背景：整体刻划分布之间关系定义1：（n维）n=2；定义2：（二维分布函数），几何意义 F(x,y) F(x,y)满足：（1），（2），（3），（4），（5）反之，亦成立；定义3：（边缘分布函数）。Remark：与 F（x,y）之间关系。 4.2离散型（X，Y）分布列（Pij） Pij满足三条，反之，亦成立 Remark：例1 某袋有10件产品，其中2件一级品，7级二级品，1件次品，从中任取3件，X,Y分别表示取到一级品，二级品个数，求（X,Y）分布列及联合分布列。例2 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的分布列及边缘分布列。 4.3连续型（X,Y）定义1：（二维连续型定义，pdf ）性质：（1）；（2）；（3）。（4）若处连续，则；定义2：（边缘概率密度）例1 设（X,Y）pdf为：例2 设（X,Y）pdf为：求（1）；（2）。两个特殊分布：（1）二维均匀分布（有限区域G）；（2）二维正态：（X,Y）之pdf为 Remark：（1）；；（2）表示X与Y相关系数；其中；（3）（X与Y独立）；则称 4.4 独立性意义：（X,Y）为二维，，是否独立？刻划联合分布与边缘分布联系。定义1（ X与Y独立）例1 设（X，Y）求X与Y是否独立？离散型（X，Y）：X与Ｙ独立连续型（X，Y）：X与Ｙ独立二元函数亦为（X，Y）之pdf X Y 1 2 3 1 2 例2 设（X，Y）分布列为：问（1）必须满足什么？（2）若X与Y独立？则 =？例3 设（X，Y）之pdf为：问X与Y是否独立？例4 设（X，Y）之pdf为：问X与Y是否独立？例5．设二维为：其中A，B，C为常数，求（1）A，B，C=？（2）（3）X与Y独立吗？为什么？（4） n维独立性概念类似 4.5（X，Y）函数分布问题提法：已知（X，Y）分布，求之分布 1、和的分布：（1）离散型和分布：例1 设 X与Y独立，Z=X+Y，求Z之分布；（2）连续型和分布：已知（X，Y）pdf f(x,y)，Z=g(x,y)，求Z之pdf 分布函数法：若则卷积公式例2 设 , ，X与Y独立，求Z=X+Y之pdf fZ(z)；例3 X~N（0，1），Y与X独立同分布，Z=X+Y，求Y之pdf fZ(z) 推广形式； 2、瑞利分布（Rayleigh）：若X，Y独立且同分布，，求， 3、max(X,Y)及min(X,Y)之分布：提法：M=max(X,Y)，N=min(X,Y)，X,Y之 FX(x),FY(y)且X与Y独立；求M，N之分布函数。推广到n维情形。例4 设电子仪器由两个相互独立的电子管装置及组成，方式有两种：（a） , 串联；（b） , 并联， , 寿命分别在，其中试在两种方式下，分别求出仪器寿命Zpdf。例5 设二维（X,Y）在上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S pdf f(s)。 4.6条件分布条件分布列; 条件概率密度例1．设在D上服从二维均匀分布问：是否独立？例2 ？；其它，均为0 例3．已知求（1），（2）的条件概率密度且问与Y 是否独立？例4.某袋中有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取两件，令表示第一次和第二次取到次品的个数，求（1）（2）已知 (3)已知。例5. 设随机变量的概率密度为记（1）求（2）求第五章随机变量的数字特征意义与作用：（1），（2），（3） 5.1数学期望一、定义： 1．离散型期望之定义：定义1； 2．连续型期望之定义：定义2；例1 ，求；例2 ，求；例3 ，求；例4 ，求；例5 ，求；例6 ，求；例7 取卡片例子。二、函数期望：Th5.1 Th5.2 例1 ，求，；例2 设在国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是 X（吨），它在[2000，4000]上服从均匀分布，每售一吨挣外汇3万元，若囤积一吨，需浪费保管费1万元，问需组织多少货源，才能使国家收益最大？例3 上均匀分布，求EX，E（-3X+2Y），EXY。例4 设X，Y独立同分布，X~U[0，2]，求。三、期望性质：（1）EC=C；（2）ECX=CEX；（3）；（4）若相互独立，则。例1 .X~B（n,p），求；例2． r个人底层，楼层n层，X…电梯停次数，求EX，r=10，n=10，EX=6.5；例3 X,Y独立，求。 5.2方差期望定义意义与不足：定义：（DX），均方差，

标准

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差：方差性质：（1）DC=0；（2）D(CX)=C2DX，C为常数；（3）DX=EX2-(EX)2；（4）X1,…,Xn独立，则；（5）常数a使。例1 X~（0,1），求DX=pq；例2 X~B（n,p），求DX（npq）(两种方法)；例3 X~P ，求DX= ；例4 X~U（a,b），求；补充一个结论。例5 X~E ，求；例6 ，求；例7 在长为线段上，任取两点，求两点间距离期望与方差；例8 设X,Y是两个独立同分布，，求 5.3协方差与相关系数协方差引入：逆否命题定义1（cov(X,Y)），5条性质不足与意义（1）其大小依赖于计量单位；（2）它与X,Y取值有关，也与X,Y和其自身期望的偏差有关，难以精确刻划X,Y关系。定义2（相关系数） Th1 满足（1）；（2）使。定义3（不相关）若 =0，则称X与Y不相关 Th2 与下面一条件等价（1）cov(X,Y)=0；（2）D(X Y)=DX+DY； Remark：(1)若 X与Y独立可推出X与Y不相关，但X与Y不相关也推不出（见下面的反例）。特别：当X与Y独立二维正态变量（X，Y）时或者均为二值随机变量时，X与Y独立（2）表明X与Y无线性依赖关系，但有别的函数关系；反例 X~N（0,1），Y=X2，则而且X与Y不独立；定义4（k阶原点矩，中心矩）例1 设X1,X2,X3为三个两两不相立的，求；例2 设X,Y,Z为三个，且EX=EY=1，EZ=－1，DX=DY=DZ=1，，，若W=X+Y+Z，求EW，DW（1，3）；例3 某箱中装有100件产品，其中一、二、三等品分别有80，10，10件从中随机取一件，记（i=1,2,3）求（1）（X1，X2）联合分布，边缘分布；（2）；例4 已知X~N（1，32），Y~N（0，42），且，设，求（1）DZ，EZ ；（2）。 5.4大数定律引言：事件频率稳定性可处理为大量随机现象的平均结果。在概率论中，这类平均结果的稳定性有关结论，统称为大数定律。例1 分析天平；（2）。 1、切此晓夫不等式： Th1 对，若方差DX存在，则对有： or 成立。 Remark：①钥匙；②粗略估计；例1 给定，利用切氏不等式估计；例2 若DX=0.004，利用切氏不等式估计概率。 2、大数定律： Th2（贝努里大数定律）定义 Th3 （切此晓夫大数定律）称满足（I），（II），服从大数定律。推论：（独立同分布序列，） Th4 （Khinchine大数定律）设独立同分布序列，具有有限期望则对有 5.5中心极限Th 独立和的极限分布问题。正态分布地位与作用中心极限Th及条件 Th1（独立同分布的中心极限Th）Lindberg—Levy近似 Th2（De Moirve—Laplace）近似推论1：n充分大时推论2：n充分大时；例1 独立同分布，Xi~P(0.03)，，用中心极限Th，计算P（Z≥3）（0.1103）；例2 重复掷硬币n=100次，设每次出现正反概率各为，求 Yn为正面次数。例3.辛钦大数定理应用的例子。例4. Lindberg—Levy的例子：设相互独立，，则据Lindeberg-Levy 中心极限，当充分大时，近似服从正态分布，只要（）（C）（A）有相同数学期望；（B）有相同方差；（C）服从同指数分布；（D）服从同一离散型分布。第6章数理统计的基本概念 6．1总体.与样本、统计量一、基本问题：概率论中问题的讨论，常常从已给的 X出发研究 X的种种性质，这进而事先假设 X的分布，数字特征已知。但在实际问题中，人们事先并不知道事件概率， X的概率分布和数字特征，对它们进行估计与推断构成数理统计的基本问题。数理统计 X 0 1 P 1-p p 例1 从2000个产品中随机地抽检一个产品，结果可能合格，也可能不合格，X表示合格品个数，（X=1）——合格；（X=0）——不合格；但是p=？事先未知即 B(1,p)未定。问题：①怎样求出或近似求出P值？②若人们根据以往生产经验，提出假设：“H0:P=0.65”，那么，是同意这个假设还是否定这个假设呢？应该用什么方法检验？（U-检验,x2-检验， t—检验，F-检验）。统计的基本手法（统计推断）：从总体中随机抽取一小部分进行观察（or试验），然后用观察得到的

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（or数据）为出发点，以概率论的理论为基础对上述问题进行估计或推断？称之为统计推断。二、三个基本概念： 1、总体：它是一个概率分布or服从某个概论分布的 X有限总体，无限总体。正态总体。 2、样本：从总体X中随机抽检n个个体，则得X的一组观察值，称此E为随机抽样，简称抽样。 n为样本容量。若离开特定的某次抽样即将抽样结果一般化，则抽得结果为n个，称这n个为来自总体X的一个容量为n样本or（）为来自总体X的样本。 n维（）之分布为样本的分布，对应样本值（）为样本点，样本点之全体，称之为样本空间。简单随机样本 3、统计量：定义（三个定语）例：构造统计量与非统计量，总体已知；；；；几个重要统计量：样本均值：样本方差： k阶原点矩（Ak）样本二阶中心矩 k阶中心矩（Bk） S*2 顺序统计量：最小（大）顺序统计量：X(1),(X(n)) 样本中位数：经验分布函数： 6.2三大分布（x2-分布，t-分布，F-分布）抽样分布Th 一、三大分布： 1．X2-分布：定义 X2变量性质：若x2~x2(n)，则有：（1）Ex2=n,Dx2=2n；（2）x2-分布之可加性；（3）n很大时，（4）x2(n)上侧分位数。 2．t-分布：定义（1）T变量pdf f(t)曲线近假标准正态pdf曲线（n≥30）；（2）T分布上侧 -分位数。 3．F-分布：定义（1）F(n1,n2)上侧 -分位数；（2） -分位数性质：；例：二、抽样分布：前提总体为正态总体，（）为来自正态总体X的简单随机样本。 Theorem1（样本均值分布）设为总体一个样本，则，推论：。 Th2（样本方差）设为总体一个样本，则样本方差S2与独立，且（略）。2 Th3设为总体一个样本，与S2分别为样本均值和方差，则：。 Th4设和分别是来自总体和，它们相互独立，则：其中，分别为两个样本的方差（利用Th1,x2-可加性Th2，t-分布定义）。 Th5设和分别是总体和两个样本，它们相互独立，则：，其中分别是两个样本方差（利用Th2）例1、设X1,X2,X3,X4是来自N(0,4)的简单的随机样本，，求常数a,b使得X~x2(2)。例2、设是分布容量为n+m的样本，求下列统计量之概率分布：（1）；（2）；例3．设是来自的样本，，，求统计量；例4．设总体中抽取一容量为16的样本，均未知，（1）求；（2）；例5 已知 , 求服从何分布。第七章参数估计总体分布类型已知或未知条件下，怎样用样本估计参数与特征。两类：点估计和区间估计 7.1点估计估计量：统计量；估计值；估计量与估计值：估计点估计。一、矩估计：定义：点估计时，若可把未知参数用总体矩函数表示为，则可用样本矩估计总体矩，进而用样本矩的函数作为未知参数的估计。二、极大似然估计：（MLE） 1．离散总体：似然函数。连续总体： 2．求偏导or定义方式：，解之得： or利用定义得之：例1 设总体X均值和方差未知，求矩估计；例2 设总体为来自总体X一个样本，求未知参数N,P矩估计例3 设总体，为其子样，求的极大似然估计；例4 设总体，未知，求的最大似然估计；例5 已知总体，是取自X的一个样本，求的矩估计和极大似然估计，（1）；（2）。三、鉴定估计量标准：三条（无偏性、有效性和一致性）定义1（无偏性）：设为之估计量，若，则称为 ~，表明（1）围绕摆动，，用估计时无系统误差；（2）N很大时大数定律。例1 总体为X一个样本则是无偏估计，是有偏估计，是u之无偏估计，无偏估计；例2 设，是来自X一个样本，，求k=？是无偏估计，。定义2 （有效性）设与均之无偏估计若对可能值都有：且至少对某个参数使小于号成立，则称较有效。目的：选择较集中估计量。例3 若取证明： , 均为无偏且较有效。 Cauch-Shwarz ∴ 较有效。。 , 比Xi有效。定义3 （相合性）称估计量是未知参数的相合（一致）估计量，若，即对有：。 Remark：（1）是，，是相合估计；（2）若为n元，则是相合估计；（3）相当广泛条件下MLE是相合估计；n充分大时值应趋于稳定在附近。例4．设总体，未知，是来自样本（1）求的矩估计和极大似然估计量；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效？ 7.2 区间估计点估计（区间）局限性。尚未对估计之精度和可靠程度并没有做明确回答。参数的区间估计：由子样给出参数的估计范围，这一随机区间包含未知参数具有固定（指定）的概率（），置信区间、置信度、置信上（下）限定义： Remark：① ； ② 随机区间，正确含义； ③具体样本为具体区间。 7.2.1 单个正态总体X参数区间估计：假设条件：，； 1．已知，求之置信区间：； 2．已知，求之置信区间：； 3．求置信区间：。 Remark：（1）区间估计两要素：置信度与置信区间选取合适，通常采用增大容量n之办法；（2）对于给定置信度和同一未知参数，使用同一亦可构造不同的置信区间（3中使 7.2.2 两个正态总体参数的区间估计：假设：，，；独立 1．已知；求置信区间：， 2．求置信区间：第八章假设检验 8.1 假设检验的基本概念 1．引言：例1 某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产条件下，每瓶抗菌素的某项指标服从均值为23.0正态分布，某日开工后，测得5瓶数据如下：22.30，21.5，22.0，21.8，21.4，问该日生产是否正常？用X表示该日生产的一瓶抗菌素某项主要指标，若已知，则问题就是要检验假设是否成立？例2 检验施肥功效，，施肥，未施肥小麦产量检验；例3 “X服从正态”检验之，齿轮加工中，其经向综和误差X共同点：先对总体分布中某些参数或对总体分布之类型某种假设，然后据抽取样本值作出接受还是拒绝假设的结论。 2．基本概念：（1）假设检验的问题：（2）统计假设：（3）原假设（零假设）与备择假设：H0（总体分布的假设）； H1（其它容许假设：备择假设）。（4）检验：在对假设H0检验中，需从样本出发，建立一个法则一旦样本值确定后，利用所制定的法则，即可作出接受或拒绝H0结论。这个法则亦称为一个检验。（5）显著性检验：例1~例3仅提出一个统计假设，而且目的也仅仅是判断这个统计假设是否成立，并不同时研究其它统计假设，称显著性检验。（6）假设检验之基本思想：小概率原理：依据：以小概率原理作为拒绝假设H0的依据。 -显著水平（ =0.01,0.05,0.1）。（7）假设检验中两类错误：基于小概率原理的概率性质的反证法，而非形式逻辑下绝对的矛盾。具体来说：小概率事件A是否出现由一次抽样结果来判断。第一类错误（弃真错误）：第二类错误（取伪错误）：基本原则：关系常控制第一类错误概率，寻求第二类错误概率最小之检验法——最小（优）检验。 8.2单个正态总体参数的显著性检验假设H0的一个检验法完全决定于小概率事件A之选择，下面将各种假设检验问题，分别通过各自选择的统计量，来构造相应的小概率事件A，从而给出具体的检验法：一、U检验： 1．已知，检验：选择统计量小概率事件；双侧检验 2．已知，检验：选择统计量，并令则，若H0成立，还有：，对于，查使：，而为小概率事件单尾检验 3．已知，检验：统计量，并令，H0成立，对于，查表：使而 ∴ 二、t检验 1．未知，检，统计量； 2．未知，检，统计量； 3．未知，检，统计量；单侧检验 Remark：给定，，对，而可不一样。三、检验： 1．未知，检H0：统计量双侧检验 2．未知，检H0：统计量单侧检验 3．未知，检H0：统计量 8.3 两个正态总体参数的显著性检验基本假设：，，，；两样本独立。一、t-检验： 1．未知，但已知，检统计量已知, 2．未知，但已知，检统计量 3．未知，但已知，检统计量二、F检验： 1．未知，检统计量 2．未知，检统计量 3．未知，检统计量例1.设总体 , 为未知参数，设为来自总体的样本，已知为较小的正数，为两个已知常数，求：（1）1）已知 = ，求的置信区间； 2）若未知，求的置信区间；3）若未知，求的置信区间；（2）1）已知 = ，检验；2）若未知，检验； 3）若未知，检验；例2．从N（3.4，62）中抽取容量为n样本，若要求样本均值位于区间（1.4,5.4）内概率不小于0.95，问样本容量n至少应多大？即例3．假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体的简单随机样本值，已知服从正态分布（1）求数学期望（记为b）；（2）求的置信度为0.95的置信区间；并检验，显著水平；（3）利用上述结果,求b的置信度为0.95的置信区间；概率统计考试注意事项 1.概率论与数理统计大题分布范围（1）统计部分：点估计（矩估计、极大似然估计及估计量标准判定），抽样分布定理及统计量的数字特征及分布，区间估计与假设检验；（2）概率论：及分布，数字特征，极限Th；（二维离散及连续随机变数、一维离散及连续、维随机变数及分布数字特征的计算）（3）选择填空：基本概念，极限Th，抽样分布，及分布，数字特征； 2.概率论与数理统计大题边缘问题：（1）利用离散型随机变量的分布函数计算分布列；（2）关于与泊松过程相关的计算问题；（3）一般随机变数的概率分布函数的计算；（4）一般分布与退化分布相关的计算；（5）离散型随机变数与连续性随机变数的和概率分布的计算；（6）条件密度与条件分布列的一般计算；（7）若问独立吗？（8）独立和不相关的关系如何？（9）不相关但不独立的反例。（10）相合估计结论。（11）极限Ths和大数定律条件与结论.

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