高等数学大一上学期试题

示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积, 显然面积为1. (2) 表示由曲线 、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2y21的面积的 : . (3)由于ysin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[, ]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即 . (4) 表示由曲线ycos x与x轴上 一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为 , 即 . 4. 水利中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数, 且有p98h (kN/m2). 若闸门高H3m, 宽L2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 解 建立坐标系如图. 用分点 (i1, 2, , n1)将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为 (i1, 2, , n). 在第i个小区间[xi1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 Pi9.8x ilx i . 闸门所受的水压力为 . 将L2, H3代入上式得P88.2(千牛). 5. 证明定积分性质: (1) ; (2) . 证明 (1) . (2) . 6. 估计下列各积分的值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解 (1)因为当1x4时, 2x2117, 所以 , 即 . (2)因为当 时, 11sin2x2, 所以 , 即 . (3)先求函数f(x)x arctan x在区间 上的最大值M与最小值m. . 因为当 时, f (x)0, 所以函数f(x)x arctan x在区间 上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函数 在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m. , 驻点为 . 比较f(0)1, f(2)e 2, ,得 , Me 2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)0, 且 , 则在[a, b]上f(x)0; (2)若在[a, b]上, f(x)0, 且f(x)≢0, 则 ; (3)若在[a, b]上, f(x)g(x), 且 , 则在[ab]上f(x)g(x). 证明 (1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是 . 这与条件 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)0. (2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是 . 证法二 因为f(x)0, 所以 . 假如 不成立. 则只有 , 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此 . (3)令F(x)g(x)f(x), 则在[a, b]上F(x)0且 , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1) 还是 ？ (2) 还是 ？ (3) 还是 ？ (4) 还是 ？ (5) 还是 ？ 解 (1)因为当0x1时, x2x3, 所以 . 又当0x1时, x2x3, 所以 . (2)因为当1x2时, x2x3, 所以 . 又因为当1x2时, x2x3, 所以 . (3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以 . 又因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以 . (4)因为当0x1时, xln(1x), 所以 . 又因为当0x1时, xln(1x), 所以 . (5)设f(x)ex1x, 则当0x1时f (x)ex10, f(x)ex1x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)0, 即ex1x, 所以 . 又因为当0x1时, ex1x, 所以 .