受压构件偏心距增大系数的计算

受压构件偏心距增大系数η的计算 高 　健 (浙江水利水电专科学校 ,浙江 杭州　310018) 摘 　要 :针对现行规范中受压构件偏心距增大系数η的计算公式在应用方面存在的某些不足 ,采用有限元迭代法并考 虑二阶弯矩的影响 ,得出在不同端弯矩和约束条件下偏心受压构件任意截面处侧向挠度 f 与相应的η计算公式. 经过校 核 ,证明该方法概念清晰 ,计算结果可靠、合理 ,可在实际工程中应用. 关键词 :受压构件 ;偏心距增大系数 ;有限元 ;弯矩 ;挠度 中图分类号 :TU375. 3 　　　　文献标识码 :A 　　　　文章编号 :1008 - 536X(2007) 0420055203 Calculation of Eccentricity Magnification Coefficientηof Compre ssed Member GAO Jian (Zhejiang Water Conservancy and Hydropower College , Hangzhou 310018 , China) Abstract :Targeting the insufficiencies of the computing formula about the eccentricity magnification coefficientηin current reinforced concrete standard ,the FEM with iteration method considering the influence of two order moments is introduced. The computing formula about the lateral deflection f and its corresponding coefficientηto the arbitrary cross2sections of the compressed member under different ending moments and constraint conditions are obtained. The results prove that this method is vivid in conceptions and rational calculated results can be obtained and it can proves to be an effective method and can be used in practical engineerings. Key s :compressed member ; eccentricity magnification coefficient ; FEM; moment ; deflection 0 　引　言 钢筋混凝土受压柱在偏心荷载作用下将发生纵向 弯曲 , 即产生侧向挠度 f . 侧向挠度 f 将引起附加弯矩 Nf . 以“基本长柱”(两端铰接 ,端弯矩为矩形分布) 图 1 为例 ,构件上的弯矩由初始弯矩 (一阶弯矩) M1 = Ne0 和由 f 引起的附加弯矩 (二阶弯矩) M2 = Nf 之和组成 , 即 M = M1 + M2 = N ( e0 + f ) . 取η= MM1 = N ( e0 + f ) Ne0 = 1 + f e0 ,用η来反映因二阶弯矩影响承载力低的效 应.η越大 ,明二阶弯矩影响愈大 ,一阶弯矩 M1 在总 弯矩中所占的比例愈小. 所以计算η值的实质就是求 长柱的侧向附加挠度 f 值. 《混凝土结构设计规范》1 及《水工混凝十结构设 计规范》2 中的η计算公式是基本长柱作为研究对 收稿日期 :2007211215 作者简介 :高　健 (1961 - ) ,女 ,浙江遂昌人 ,副教授 ,主要从事工程 力学教学及水工结构优化设计研究. 象 ,并假定柱为单向弯曲 , 因此最大变形 f max产生在最 大弯矩 Mmax 处 ,由最大变形引起的附加弯矩就可以直 接和外载相加. 由此可见 ,规范给出η值都是对控制截 面而言. 以图 2 为例 ,该典型排架柱下端固定 ,上端为 弹性约束 ,其弯矩图为梯形分布 ,对于柱底可能是一个 控制截面 ,用规范公式计算η是合理的 ,但对于柱上其 它截面ηC < ηA . 如 C截面ηC < ηA ,但该截面是柱进行 强度设计时的实际控制截面 ,若盲目取ηC =ηA ,将截面 弯矩无区别地按规范公式η公式计算 ,则会导致柱的配 筋过多 ,在抗震鉴定中还会认为柱强度不够需加固的后 果. 王志伟和朦智明[3 ] 从不同角度 ,提出存在此类问题. 笔者针对该问题 ,采用有限元迭代法并考虑二阶 弯矩的影响 ,得出在不同端弯矩和约束条件下偏心受 压构件任意截面处侧向挠度 f 与相应的η计算公式. 1 　计算方法 1. 1 　计算假定 由于所研究的长柱范围是η = L0/ h < 30 , 该类 柱属于材料破坏. 假定材料为均质、弹性体 ;并按弹性 　第 19 卷 　第 4 期 浙江水利水电专科学校学报 Vol. 19 　No. 4 　　2007 年 12 月 J . Zhejiang Wat. Cons & Hydr. College Dec. 2007 图 1 　　　　　　　　　图 2 　　　　　 稳定理论 ,求出该类柱的侧向挠度 f ,进而求得相应的 η值. 认为该柱的变形符合小变形的假定[3 - 4 ] . 钢筋混凝土是一个非均质的弹塑性复合材料 ,作 为钢筋混凝土柱 ,当承受的外载达到一定程度时 ,柱体 将产生裂缝 ,裂缝随外荷载的增加而加大. 故截面刚度 EI 的计算中 ,必须考虑混凝土σ- ε的非线性特征 ,及 裂缝的存在对 EI 的削弱等影响 , 因此要对截面刚度 EI 乘αe (刚度折减系数) 予以修正.αe 用文献[1 ] 中有 关αe 的表达式 ,即αe = 0. 10. 3 + e0/ h + 0. 143 ;经过大量 计算比较 ,可以认为αe 的考虑是合理的. 所以在按有 限元计算及解析法计算时应考虑αe 的影响. 1. 2 　微分方程的建立 某一偏心受压构件 ,见图 3. 该柱是下端固定 ,上 端按弹性支承考虑. 图 3 MB 为作用于杆件端点的弯矩 ,δ为杆端在 MB 、 N 、T作用下的挠度值 (δ= f max) , T为作用于杆端的横 向力 (正方向) , N 为作用于杆端的轴向压力. 符号规 定 :以微分段外受拉为正. 则得 : M ( x) = N (δ - y) + MB - T ( L - x) 柱弯曲时挠度曲线近似方程[4 ] : EIy″= M ( x) y″+ NEIy = 1 EI [ Nδ+ MB - T ( L - x) ] (1) 求解 (1) 式得 : y = f ( x) = - δ+ MB / N - TL/ N ]cos nx - ( T/ nN) sin x + δ+ MB / N - T ( L - x) / N ] (2) 当 x = L 时 , y = δ = f max ,有 : δ = MB N - ( T/ nN) sin nL cos nL - MB / N + TL/ N (3) 其中 n2 = NEI 1 . 3 　用有限元迭代法求柱的变形 首先将柱划分为若干单元 ,并建立基本坐标系 ,然 后输入结构模式 , 可输出各单元的杆端内力 ( N 、Q、 M) 和结点的位移值 ( U、V 、θ) . 在用有限元迭代法过程中 ,仅考虑弯矩作用引起 的位移 (一般柱结构剪力引起的位移可忽略不计) . 先 求出各柱单元在一阶弯矩 M1 i (初始弯矩) 引起的位移 U1 i ( x) , 再通过数次迭代求二阶弯矩下的位移 U2 i ( x) ,最后柱任一截面的总位移为 U ( x) = U1 i ( x) + ∑ n i =1 U2 i ( x) . 1 . 4 　算例 例 1 　某柱柱端作用有 M = 176. 8 kN ·m , N = 1 245. 4 kN , T = 9. 8 kN , b ×h = 0. 4 m ×0. 6 m , E = 25 497. 7 MPa , I = 7. 2 ×10 - 3 m4 ,L = 5. 3 m ,求侧向挠 度 f 值. 计算结果见表 1. 计算结果表明 ,考虑αe 的影响后 ,两种方法结果 相对误差为 4. 1 %. 其原因是解析法取各单元的刚度 平均值作为柱的刚度值. 而有限无迭代法则按各个单 元实际刚度计算. 通过上述两种方法计算比较 ,证明用有限元迭代 法计算结果是可靠的 ,该方法用于求解柱的侧向挠度 f 是可行的. 　56　　　 浙江水利水电专科学校学报 第 19 卷 表 1 　侧向挠度值 f 的计算结果 有限元迭代法 柱底截面 其它截面 解析法 柱底截面 其它截面 不考虑αe 的影响 U ( x) = f max = 11. 9mm x = 3. 5m 处 U ( x) = f ( x) = 5mm 由式 (3) δ = f max = 12mm x = 3. 5m 处 ,由式 (2) y = f ( x) = 5mm 考虑αe 的影响 U ( x) = f max = 40. 3mm x = 3. 5m 处 U ( x) = f ( x) = 19. 6mm 取平均刚度值为计算 的 EI 值 , EI = 1 000 δ = f max = 42. 1mm x = 3. 5m 处 , U ( x) = f ( x) = 21. 2mm 2 　柱端弯矩非矩形分布时η的校核 根据王伟志等[3 ] 理论 ,影响η的主要因素有 长细比L0/ h ,荷载相对偏心矩 e0/ h. (或 ei/ h) ,混凝土 强度等级 ,柱的截面及其配筋率的大小、钢筋型号 ,当 然还涉及长期荷载作用的影响. 2 . 1 　η的计算公式 η的表达式 　η = ei + f ei = 1 + f ei (4) 式中 : ei —计算偏心矩. 房建规范[1 ] , ei = e0 + ea , ea = 0. 12 (0. 3 h0 - e0) ;水工规范[2 ] , ei = e0 . 以 e0 = M/ N 、e0/ h 和混凝土强度等级为主要因 素 ,可得出任一截面所需的 f ,然后用式 (4) 可得出任 一截面所需的η值. 2 . 2 　结果的可靠性校核 通过有限元迭代法和规范的公式进行结果对比 (控制截面) 以校正采用有限元迭代法的可靠性. 下面 以两例作为比较. 例 1 　一矩形截面柱 , b = 400 mm , h = 600 mm , 混凝土为 C20 , 轴向设计值为 N = 2 560 kN , e0 = 26 mm ,L0 = 7 200 mm ,求η. 解 :按水工规范[2 ] 　η = 1 + 11 400 e0/ h (λ) 2ξ1ξ2 其中 , e0 = ei = 26 mm , 　　 ξ1 = 0. 5 f 0 A γdN = 0. 5 ×10 ×400 ×600 1. 2 ×2560 ×103 = 0. 39 ,ξ2 = 1. 0 , λ = L0/ h = 7 200/ 600 = 12 < 5 所以计算得 　η = 1. 86 按有限元迭代法 ,由 (4) 式计算得 　η = 1. 84 例 2 　某一纺织工厂的边柱. 边柱上的力示意见 图 2 ,柱截面尺寸为 350 mm ×450 mm ,采用二级钢筋 , L0 = 1. 5 ×5. 7 = 8. 55 m ,试分别用混凝土等级 C20 及 C30 ,求η值及相应配筋. 解 :该柱的控制截面有两个 ,一个为柱底截面 A , 而另一个为截面 C. 具体计算结果见计算对比见表 2. 表 2 　受压构件偏心距增大系数计算结果 混凝土 等级 规范公式 (房建) 柱底截面 A 截面 C 有限元迭代法 柱底截面 A 截面 C C20 ξ1 = 0. 5 ×f0 N = 1. 05 > 1 取ξ1 = 1 , ξ2 = 0. 96 ηA = 3. 01 e0 = 0 e = e ξ1 = 1 ξ2 = 0. 96 ηC = 1. 493 ηA = 2. 946 ηC = 1. 30 C30 ηA = 3. 01 ηC = 1. 493 ηA = 2. 45 ηC = 1. 132 由表 2 可看出 : (1) 按规范公式 :当混凝土等级为C20、C30时 ,同一 截面上η值是相同的. 其原因是规范公式中 ,当ξ1 < 1 时 ,取ξ1 = 1 ;该例中 ,在C20时 ,ξ1 > 1 ,取ξ1 = 1 ;在C30 时 ,ξ1 > 1 ,而只能是ξ1 = 1. (2) 两种方法在计算柱底截面 A 时 ,其结果是一 致的. 而计算柱其它截面时 ,则相差较大. 经过对不同 的长细比 ,荷截相对偏心距及混凝土等级 ,柱截面等大 量计算说明了这一点. 以该柱为例 ,经比较截面 C 为 配筋计算的控制截面. 当采用混凝土为C30且对称配筋 计算时 , 按有限元迭代法配筋量 (每侧) 比规范节省 50. 6 %. 由此可见 ,用规范计算柱任一截面结果过于保 守 ,偏于安全 ,而用有限元迭代法计算η是合理的 ,可 靠的 ,具有很大实用性. 3 　结 　语 (1) 针对现行规范中η公式在运用中的缺陷 , 本 文提出的考虑二阶弯矩影响的有限元迭代法 ,计算值 (下转第 60 页) 　第 4 期 高 　健 :受压构件偏心距增大系数η的计算 57　　　 离调水等. 我国城市供水大约 70 %来源于地表水 , 30 %来源于地下水 ,而北方城市供水则主要来源于地 下水. 由于过度开采 ,北方城市的地下水位以每年 0. 3 ～3 m 的沉降速率向下沉降 ,已从原来的 10 m 下降到 了 30 m3 . 过度开采城市地下水容易导致的水位的大 幅度下降 ,形成大面积的漏斗区 ,从而使许多水井枯 竭、草木枯萎 ,严重破坏了地面生态环境 ,尤其是沿海 地区可能因海水的入侵而严重污染地下水资源. 所以 城市无限制的开采地下水不如选择利用城市中水更容 易保护稀缺可用的水资源. 解决城市水资源短缺如果进行海水淡化需要采用 复杂的处理工艺 ,初期投资和运行费用会远远高于处 理污水的费用. 相比而言 ,城市污水再生利用的成本应 比其更低. 远距离调水是耗资巨大的工程. 在当前和今后很 长时间都必须面对水质和水量问题进行有效解决. 相 比而言 ,城市中水利用更经济 ,且更容易保证输水水 质. 经过比较看出在城市推广使用中水是可行的. 3. 3 　使用中水 ,可降低企业成本 目前 ,北京居民用水价格 2. 9 元·m - 3调整为 3. 7 元·m - 3水价 ,浙江的杭州城市居民用水 1. 5 元·m - 3 , 宁波是 1. 65 元·m - 3 ,温州目前是 2. 3 元·m - 3 ,经营性 用水 2. 75 元·m - 3 ,特种行业用水达到 6. 6 元·m - 3 . 北京自从宣布从 2004 年 8 月 1 日上调水价以来 , 洗车业每吨水的价格由 21 元调整到 41. 5 元 ,洗车业 的用水成本几乎翻了一番. 水价的杠杆作用在高耗水 的洗车行业“立竿见影”, 成百家的洗车行向京城中水 公司咨询购买中水事宜 ,该公司已与 5 家签订了合同 , 每天供应洗车行的中水由原来的几乎没有上升到了 30 t ,而且这个数字在近期内还将大幅上升. 4 　结　语 解决城市水危机的优先战略选择应是节水战略 , 节水不仅可以有效地减少对水资源的需求 ,同时也可 以相应地降低城市排污负荷 ,减轻城市对区域水环境 的水量和水质上的双重压力. 世界各国越来越多的实 践表明 ,在规范的技术保证下 ,再生水是一种安全可靠 的替代水源 ,是解决城市水危机的重要战略选择 4 - 7 . 我国作为水资源匮乏的国家 ,目前还没有中水利 用专项工程和专项资金 ,只是政策上引导 ,各城市的中 水利用量是根据此城市的缺水程度不同而定的. 为此 , 在城市系统大量地使用中水应该尽快提到日程上来. 参考文献 : 1 　刘昌明. 中国 21 世纪水问题方略M . 北京 :科学出版社 ,1998. 2 　钱正英. 中国可持续发展水资源战略研究综合及各专题报告 R . 北京 :中国水利水电出版社 ,2001. 3 　水利部国际合作与科技司. 水资源及水环境承载能力———水资源 及水环境承载能力学术研讨会论文集 C . 北京 :中国水利水电出 版社 ,2002. 4 　姜文来. 水资源价值论M . 北京 :科学出版社 ,1998. 5 　阮本清 ,刘婴. 流域水资源管理M . 北京 :科学出版社 ,2001. 6 　张　岳. 中国水资源与可持续发展 M . 广西 :广西科学技术出版 社 ,2000. 7 　陈吉宁. 可持续的城市水环境建设策略N . 中国环境报 ,2003 - 10 - 14. (上接第 57 页) 结果可靠 ,运用性广 ,可直接在工程中运用. (2)本方法适用于 8 ≤L0/ h ≤30 的长柱 ,且端弯 矩为非矩形分布的情况. 对于端弯矩为异号分布时 ,同 样可按此方法处理. 参考文献 : 1 　中国建筑科学建设部. GB 50010 - 2002 混凝土结构设计规范 S . 北京 :中国建筑工业出版社 ,2005. 2 　中华人民共和国电力工业部. DL/ T 5057 - 1996 ,水工混凝土结构 设计规范 S . 北京 :中国电力出版社 ,1997. 3 　王伟志 ,朦智明. 钢筋混凝土结构理论M . 北京 :中国建筑工业出 版社 ,1985. 4 　孙训方 ,方孝淑 ,关来泰. 材料力学 M . 北京 :高等教育出版社 , 1994. 　60　　　 浙江水利水电专科学校学报 第 19 卷