应用MATLAB_的矩形时间窗频谱泄漏分析

示，此时没有频谱 泄漏；当 Ω0 和 (2 π κ)/(2q+1)中的任一个值 都不相等时，所有的 Xκ 都不和频谱图的零点重 合，值都不为 0（见图 4 和图 5），发生了所谓频 谱泄漏，x[n]的 N 点 DFT 和正弦信号 cosΩ0n 在 0≤Ω0≤π 区间的 DTFT 相差很大。从图中 可以清楚地看出频谱泄漏的原理。理论计算表明：x[n]的 N 点 DFT 为 0 0 2 1 2X ( ) [ ( ) 2 1 2 2 1 2 ( )] 2 1 X P q q P q κ πκ πκ πκ = = +Ω+ + + −Ω+ ，κ =0,1,2, …, 2q 图 5 q=10,Ω0=9π/21 的│X(Ω)│ Ω0 图 6 q=10,Ω0=10π/21 的│X(Ω)│ Ω0 图 3 q=10,Ω0=8π/21 的│X(Ω)│ Ω0 图 4 q=10,Ω0=8.5π/21 的│X(Ω)│ Ω0 式中： 0 0 0 0 1 2sin[( )( )] 2 2 2 1( ) 22 1 sin[( ) / 2] 2 1 2 exp[ ( )] 2 1 q qP q q jq q πκ πκ πκ πκ + ±Ω+±Ω =+ ±Ω+ − ±Ω+ 假设当 n 从 n=0 变化到 n=2q 时 cosΩ0n 经历 r 个完整周期（0≤r≤q），此时 Ω0=(2π r)/(2q+1)。那么： 0 0 0 0 1 2sin[( )( )] 2 2 2 1( ) 22 1 sin[( ) / 2] 2 1 2 exp[ ( )] 2 1 q qP q q jq q πκ πκ πκ πκ + ±Ω+±Ω =+ ±Ω+ − ±Ω+ 2 1 2 2sin[( )( )] 2 2 1 2 20 exp[ ]2 2 2 1sin[( ) / 2] 2 1 q r q rjqr q q πκ π πκ π πκ π + ± + ±= −± + + sin( ) 2 2exp[ ]2 2 2 1sin[( ) / 2] 2 1 r rjqr q q πκ π πκ π πκ π ± ±= −± + + ，κ =0,1,2, …, 2q 这样： 0 2 1 , r 2( ) 0, =0,1, ...,r-1,r 1,..., 2q 2 1 q P q κπκ κ + =⎧⎪−Ω = ⎨ ++ ⎪⎩ 0 2 1 , 2 1 r 2( ) 0, =0,1, ...,2q-r,2q 2-r,..., 2q 2 1 q q P q κπκ κ + = + −⎧⎪+Ω = ⎨ ++ ⎪⎩ 最后，由下式给出 DFT 的 Xκ： ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤≤ ++= r = , 2 1 2q= 0 0 r -12q= , 2 1 κ κκ κκ q qX 的所有其它， （1） 由于κ=r对应于频率点Ω0=(2πr)/(2q+1)，这表明，在频率范围从 0 到π这一区域的DFT， 频谱分量出现在预期的位置，所以，该 DFT 是正弦信号 cosΩ0n 的 DTFT 的一个真实表示。 假设 Ω0 是从 0 到π的任一不等于 2πκ/(2q+1)频率，此时 Ω0和基本频谱分量 2πκ/(2q+1) 不重合，（1）式不再成立，不仅 Ω0 两侧的两个最近基本频谱分量的值不为 0，附近的基本 频谱分量的值都不为 0（具体值的大小分布情况与 Ω0 和基本频谱分量 Xκ的偏移量有关）， 这种现象称为泄漏，意思是集中在 Ω0 处的频谱分量扩展（或泄漏）到 Ω0 附近的基本频谱分 量 2πβ/(2q+1)（β是整数）中，这和图中显示的结果是一致的。当 q=10,N=2q+1=21，且 Ω0=2πm/21（m=4.0,4.1,4.2, …,5）时，用 MATLAB 算出 DFT Xκ的值如表 1 所示。从表中 可见，当 m为整数（如 m 等于 4 和 5）时，Ω0 准确地出现在对应的位置上，基本频谱分量的 功率值为(q+0.5)2 ，其它基本频谱分量的值都为 0；当 Ω0 处于任何两个基本频谱分量之间（如 4书

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