韩信点兵与孙子定理

nullnull文史学院2008级历史学一班 柴 银null 西汉开国功臣，齐王、楚王、上大将军，后贬为淮阴侯。公元前三世纪世界上最杰出的大军事家、大战略家。中国历史上伟大军事家、战略家、战术家、统帅和军事理论家。中国军事思想“谋战”派代人物。被后人奉为兵仙、战神。“王侯将相”韩信一人全任。“国士无双”、“功高无二，略不世出”是楚汉之时人们对其的评价。作为军事理论家，他与张良整兵书，并著有兵法三篇。null今有物不知其數 三三數之剩二， 五五數之剩三， 七七數之剩二， 問物幾何null韩信点兵简介： 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。 null三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。程大位null孙子,名武，字长卿。孙武，后人尊称其为孙子、孙武子。春秋末期齐国乐安（今山东广饶，另一说为惠民县）人。出生于公元前535年左右的齐国乐安（今山东广饶，另一说为惠民县），生卒年代不详，大约与儒学创始人孔子（公元前551--前479年）属于同时代而略晚。孙子是齐国贵族和名将的后裔.春秋末期军事家。后人尊称其为孙子、孙武子、兵圣、百世兵家之师、东方兵学的鼻祖。著有《孙子兵法》。null《孙子》的「物不知数」题，在我国学术界引起了很大兴趣，历代都有人研究，名称很多，如：宋代周密《志雅堂杂钞》卷下的「鬼谷算」、「隔墙算」。宋代杨辉《续古摘奇算法》中的「秦王暗点兵」。明程大位《算法統宗》中的「物不知总」、「韩信点兵」等。南宋秦九韶对它作了理论探讨，并定名「大衍求一術」。 null"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。 这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。null 按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得： 70×2+21×3+15×4=263， 263=2×105+53 所以，这队士兵至少有53人。null 在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是： 70是5与7的倍数，而用3除余1； 21是3与7的倍数，而用5除余1； 15是3与5的倍数，而用7除余1。 因而 70×2是5与7的倍数，用3除余2； 21×3是3与7的倍数，用5除余3； 15×4是3与5的倍数，用7除余4。null 如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足“用3除余2、用5除余3、用7除余4”的要求。一般地， 70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7) 能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。 思考一下？？？ 思考一下？？？ 我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？ 要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？null为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀"。 null 为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝"。 null 为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。 null例题1： 试求一数，使之用4除余3，用52，用7除余5。 null 解： 我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。 我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。 最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。null 利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解： 105×3+196×2+120×5=1307。 由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。 一般地， 105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7) 是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。null上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。 35+196×2+120×5=1027 就是符合题意的数。 1027=7×140+47， 由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。null例题2： 一个四位数，被131除余13，被132除余130，则此数字的各位数字和为多少？ null解： （1）.131跟132互质,所以最小公倍数为131*132=17292    （2）.17292/131=132-----实际余数是1    因为1*144-131=13所以132*144=19008 null （3）.17292/132=131 余数是131    因为131*2-132=130所以131*2=262    （4）.两个数相加19008+262=19270 所以符合条件的数为19270+17292K.K为整数 因为这个数为四位数,所以这个数为19270-17292=1978 null一点文学小知识： 金庸先生的《射凋英雄传》畅销全球，很多人也知道郭靖和黄蓉的故事，但原来在《射凋英雄传》内也有有关数学的名题，话说郭靖和黄蓉在离开泥沼时，黄蓉下了三道题目挑战号称“神算子”的瑛姑，当中的第三道题目，便是著名的《鬼谷算》。[引文] 　　……（瑛姑）顿了顿，说道：“这第三道题呢，说易是十分容易，说难却又难到极处。‘今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？’我知道这是二十三，不过那是硬凑出来的，要列一个每数皆可通用的算式，却是想破了脑袋也想不出。” 　　黄蓉笑道：“这容易得紧。以三三数之，馀数乘以七十；五五数之，馀数乘以二十一；七七数之，馀数乘十五。三者相加，如不大于一百零五，即为答数；否则须减去一百零五或其倍数。”瑛姑在心中盘算了一遍，果然丝毫不错，低声记诵道：“三三数之，馀数乘以七十；五五数之……”黄蓉道：“也不用这般硬记，我念一首诗给你听，那就容易记了：三人同行七十稀，五树梅花*一枝，七子团圆正半月，馀百零五便得知。” 　　（《射凋英雄传》第二十九回）null 1852年，《孙子算经》传入欧洲，人们发现孙子的解法和欧洲著名的数学家高斯的定理是一致的，而中国人的研究早了1000多年，于是大家便都称之为“中国剩余定理”。这个定理，不仅在古代数学史上占有重要地位，而且它包含了近代数学中许多不同问题所共用的一种思想方法。在插入理论、代数理论和泛涵分析中都有广泛的应用。在电子计算机的程序中设计中也是不可缺少的。null 上面的方法所依据 的理论，在中国称 之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。 null