1-2节 概率的定义

null1.3 随机事件的概率1.3 随机事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义三、概率的公理化定义1.频率的定义与性质 1.频率的定义与性质 定义 一、概率的统计定义性质设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则null实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大, 频率呈现出稳定性null这种试验历史上曾有不少统计学家做过null从上述数据可以看出：(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 频率不一定相同;null重要结论　　频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 概率.２．概率的统计定义２．概率的统计定义在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随定义概率统计定义的性质null 说明： 　　　概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。二、概率的古典定义二、概率的古典定义1.古典概型定 义如果一个随机试验E具有以下两个特征： 1、样本空间的元素(基本事件)仅有有限个； 2、每个基本事件出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型。例如抛掷一枚质地均匀的骰子null 设试验 E 有n 个等可能的基本事件, A为 E 的任意一个事件,且包含m 个不同的基本事件, 则事件 A 出现的概率记为: 2.概率的古典定义称此为概率的古典定义. null3. 古典概型的基本模型:摸球模型(1) 无放回地摸球问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?样本点总数为A 所包含的样本点个数为解设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球null(2) 有放回地摸球问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率.解第1次摸球6种第1次摸到黑球4种第3次摸到红球null样本点总数为A 所包含样本点的个数为课堂练习1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位数字互不相同的概率. 2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.null4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4个球放到3个杯子的所有放法null因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为null(2) 每个杯子只能放一个球问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为null2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. 课堂练习1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.null5. 古典概型的概率的性质(1)对于任意事件A , 6.典型例题6.典型例题解null在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 例 1.6（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)某指定 间房中各有一人 ;(2)恰有 间房，其中各有一人； (3) 某指定一间房中恰有 人。 解 先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。null(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 (a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数， 即可能的的分法为 (c)某指一间房中恰有m人，可能的分法为 null进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :（1） （2） （3） 上述分房问题中，若令 则可演化为 生日问题.全班学生30人， (1) 某指定30天，每位学生生日各占一天的概率； (2) 全班学生生日各不相同的概率； (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为 : 由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率等于1－0.294=0.706, 这个值大于70%。由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率等于1－0.294=0.706, 这个值大于70%。（1） （2）（3）7.备份题7.备份题例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率.解(1)总的选法种数为最小号码为5的选法种数为null(2)最大号码为5的选法种数为故最大号码为5的概率为故小号码为5的概率为null例2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.解 将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有64 种 放法.因而所求的概率为null例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有null 因此所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为null例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日 故一周内接待 12 次来访共有null小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四 12 次接待都是在周二和周四进行的共有故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为null例5 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为故64 个人中至少有2人生日相同的概率为解null三 概率的公理化定义 概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.而统计定义虽然简单直观但从数学角度讲却不严密，因为做理论研究时不可能去做大量试验去找那个频率的稳定值。为了克服上述缺点，1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概率论有了迅速的发展.三 概率的公理化定义null概率的可列可加性1. 概率的公理化定义：null证明由概率的可列可加性得2. 性质null证明null证明null证明由图可得又由性质 3 得因此得null推广 3个事件和的情况n 个事件和的情况null解nullnullnullnull思考题. 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ? 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”则所求概率为解null于是所求概率为四、小结四、小结2. 最简单的随机现象古典概型 古典概率3. 概率的主要性质