梯形典型题

梯形典型题（小题写过程） 1、​ 几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式： 类别 定义 性质 判定 面积公式 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形 中位线平行于两底且等于两底和的一半 根据定义判定 两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积 等腰梯形 两腰相等的梯形 1.​ 两腰相等； 2.​ 同一底上的两角相等； 3.​ 两条对角线相等 4.​ 等腰梯形是轴对称图形 1.​ 根据定义判定； 2.​ 同底两角相等的梯形。 直角梯形 一腰垂直于底的梯形 具有梯形的一切性质 根据定义判定 2、梯形经常划分成平行四边形（矩形）和三角形而加以探索。常用的辅助线如下 典型例题 1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是 ． 2．梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，则此梯形面积为 ． 3、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积。 4、已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，求此梯形的面积 5、梯形ABCD中，∠B=40°, ∠C=50°,E、F分别是AD、BC的中点，若EF=3, BC=8,求AD的长。 6、①梯形一底为10，高为12，两腰分别为15和20，则梯形面积为 ②若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4cm，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为 ． ③\直角梯形ABCD，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，则梯形面积为___________ 7、等腰梯形下底与对角线都是10，上底与梯形的高相等，则上底的长是（ ） A、5 B、6 C、 D、 8、梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠AOB=60°，E、F、G分别是DO、AO、BC的中点。（1）判断△EFG的形状并。 （2）若AB=3, CD=7, 求梯形ABCD的周长。 （3）若△EFG的面积与△AOD的面积比是7︰8，求梯形的上下底之比。 9、作一条垂直于直角梯形两底的直线，使该直线平分梯形的面积。 10、作一直线平分下列图形的面积。 11、四边形ABCD是一个任意的四边形。试过点A做一条直线平分其面积。 12、如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC. 由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形． （1）求四边形ABCD四个内角的度数； （2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由； （3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出示意图． 针对性练习 1、等腰梯形两底差的一半等于高，则上底上的角度数为________ 2．如图，在梯形ABCD中，AD=BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD的面积为 ． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为( ) A． B．2S C． D． 4．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则作对角线所用的竹条至少需( ) A．30 cm B．30cm C．60㎝ D．60 cm 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC＝30°，求证：AC=MN． 6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值?若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围． 7．如图，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA＝ ，QB= ，∠RPA=75°，∠QPB=45°，则AB= ． 8．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC＝BD，AD=AB＝4cm，∠A=120°，则梯形ABCD的面积为 ． 9．用4条线段a=14，b=13，c=9， d=7作为4条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为( )A．13．5 B．11．5 C． 11 D．10．5 10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝35°，∠C＝55°，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF的长。 11．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题： ①如果AB+DC=BC，则∠BEC=90°；②如果∠BEC＝90°，则AB+DC=BC； ③如果BE是∠ABC的平分线，则∠BEC=90°， ④如果AB+DC=BC，则CE是∠DCB的平分线，其中真命题的个数是______ (简要证明) 12．如图，在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB并且AD=12，则A到BC的距离为( ) A．12 B．13 C． D．10．5 13．如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD， (1)求BC、AD的长度． (2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以lcm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t 的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 15．将一直角梯形放在如图所示的正方形网格(图中每个小正方形的边长均为一个单位长)中，请你按照以下要求进行合理设计﹙说明：直接画出图形，不要求写分析过程． ⑴在图1中画一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，分别设计出两种不同的分割方法； ⑵在图2中将直角梯形进行适当分割后拼接成一个与所给直角梯形面积相等的正方形，用虚线画出分割线，再用实线画出拼接而成的正方形． 16、如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。 （1）​ 求证：BE=AD； （2）​ 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3）​ △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。 17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ） A、 B、 C、 D、3 18．如图所示，在梯形 中， ，点 是线段 上一定点，且 =8．动点 从 点出发沿 的路线运动，运动到点 停止．在点 的运动过程中，使 为等腰三角形的点 有 个． 19．如图，在等腰梯形 中， ， =4 = ， =45°．直角三角板含45°角的顶点 在边 上移动，一直角边始终经过点 ，斜边与 交于点 ．若 为等腰三角形，则 的长等于 ． 20、 (1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由． (黄冈市中考题) 21．如图，要剪切如图①（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm（如图②）；第二种长600mm，宽250mm（如图③）可供选用． （1）填空：为了充分利用材料，应选用第____种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共___个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是____mm2． （2）画图：从图②或图③中选出待用的铝板示意图，在图上画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．