不定积分_x_ln_nxdx的公式

不定积分∫xαln nxdx 的公式 Ξ 葛 　洵 　(苏州科技学院数学系 　江苏苏州 　215009) 摘 　要 　对于被积函数为 xαlnnx ( n 是非负整数) 的不定积分 ,可有一个初等形式的公式。 关键词 　不定积分 ,对数函数 ,幂函数 ,MR(2000) 　　中图分类 　O17212 在[1 ]中 ,对于被积函数为对数函数正整数的不定积分的计算 ,给出了一个初等方法。本文推 广了这一方法 ,对于被积函数为幂函数与对数函数非负整数幂的乘积的不定积分∫xαln nxdx ,给出 了一个初等公式。为了叙述方便起见 ,本文忽略所有不定积分中的积分常数。 定理 1 　设 f ( x) = xαln nx ,其中α≠- 1 为实数 , n 为非负整数。则有公式 : ∫f ( x) dx = x α+1 α+ 1 (ln n x - nln n - 1 x α+ 1 + n ( n - 1) ln n - 2 x (α+ 1) 2 - ⋯+ ( - 1) nn ! (α+ 1) n ) (1) 　　证明 　对 n 用数学归纳法。当 n = 0 时公式 (1) 成立。假设当 n = k 时公式 (1) 成立 ,即 ∫xαln kxdx = x α+1 α+ 1 (ln k x - kln k - 1 x α+ 1 + k ( k - 1) ln k - 2 x (α+ 1) 2 - ⋯+ ( - 1) kk ! (α+ 1) k ) (2) 则当 n = k + 1 时 ,使用分部积分法 ,得 ∫xαln k +1 xdx = x α+1ln k +1 x α+ 1 - k + 1 α+ 1∫xαln kxdx (3) 　　将 (2) 式代入 (3) 式右端积分式 ,得 ∫xαln k +1 xdx = x α+1ln k +1 x α+ 1 - k + 1 α+ 1 ( x α+1 α+ 1 (ln k x - kln k - 1 x α+ 1 + ( k - 1) ln k - 2 x (α+ 1) 2 - ⋯+ ( - 1) kk ! (α+ 1) k ) ) = x α+1 α+ 1 (ln k +1 x - ( k + 1) ln kx α+ 1 + ( k + 1) kln k - 1 x (α+ 1) 2 - ⋯+ ( - 1) k +1 ( k + 1) ! (α+ 1) k +1 ) 所以当 n = k + 1 时 ,公式 (1) 成立。证毕。 令α= 0 , n 为正整数 ,并设 f ( x) = ln nx ,由定理 1 即可得到[1 ]的结果 1 下面给出两个例 ,说明本文公式的应用。 例 1 　计算 :∫x3ln3 xdx 解　在定理 1 的公式 (1) 中 ,令α= - 3 , n = 3 ,得 : ∫x3ln3 xdx = x 4 4 (ln 3 x - 3ln2 x 4 + 3ln x 8 - 3 32) 　　例 2 　计算 :∫x - 3ln3 xdx。 解　在定理 1 的公式 (1) 中 ,令α= - 3 , n = 3 ,得 : 51 Vol16 ,No ,4 Dec. ,2003 　　　　　　　　　　 高等数学研究 STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS Ξ 收稿日期 :2003 - 02 - 25 ∫x - 3ln3 xdx = - 12 x2 (ln3 x + 3ln 2 x 2 + 3ln x 2 + 3 4 ) 。 　　类似于定理 1 ,我们自然会问 :当 m 为负整数时 ,∫xαlnmxdx 是否也有类似的初等形式 ? 回答 是否定的 ,除非α= - 1。 定理 2 　设 f ( x) = xαln - nx ,其中α≠- 1 为实数 , n > 1 为正整数。则我们有公式 : ∫f ( x) dx = - xα+1 ( ln - ( n - 1) x n - 1 + (α+ 1) ln - ( n - 2) x ( n - 1) ( n - 2) + (α+ 1) 2ln - ( n - 3) x ( n - 1) ( n - 2) ( n - 3) + ⋯+ (α+ 1) n - 2ln - 1 x ( n - 1) ! ) + (α+ 1) n - 1 ( n - 1) !∫xαln - 1 xdx (4) 　　证明　对 n 用数学归纳法。首先对于 n > 1 ,由分部积分法 ,容易算出 : ∫xαln - nxdx = - x α+1ln - ( n - 1) x n - 1 + α+ 1 n - 1∫xαln - ( n - 1) xdx (5) 当 n = 2 时 ,由 (5) ,∫xαln - 2 xdx = - xα+1ln - 1 x + (α+ 1)∫xαln - 1 xdx ,公式 (4) 成立。假设当 n = k 时 公式 (4) 成立 ,即 ∫xαln - kxdx = - xα+1 ( ln - ( k - 1) x k - 1 + (α+ 1) ln - ( k - 2) x ( k - 1) ( k - 2) + (α+ 1) 2ln - ( k - 3) x ( k - 1) ( k - 2) ( k - 3) + ⋯+ (α+ 1) k - 2ln - 1 x ( k - 1) ! ) + (α+ 1) k - 1 ( k - 1) !∫xαln - 1 xdx (6) 则当 n = k + 1 时 ,由 (5) , ∫xαln - ( k +1) xdx = - x α+1ln - kx k + α+ 1 k ∫xαln - kxdx (7) 将 (6) 式代入 (7) 式右端积分式 ,得 ∫xαln - ( k +1) xdx = - x α+1ln - kx k + α+ 1 k ( - x α+1 ( ln - ( k - 1) x k - 1 + (α+ 1) ln - ( k - 2) x ( k - 1) ( k - 2) + (α+ 1) 2ln - ( k - 3) x ( k - 1) ( k - 2) ( k - 3) + ⋯+ (α+ 1) k - 2ln - 1 x ( k - 1) ! ) + (α+ 1) k - 1 ( k - 1) !∫xαln - 1 xdx) = - x α+1 ( ln - k x k + (α+ 1) ln - ( k - 1) x k ( k - 1) + (α+ 1) 2ln - ( k - 2) x k ( k - 1) ( k - 2) + (α+ 1) 3ln - ( k - 3) x k ( k - 1) ( k - 2) ( k - 3) + ⋯+ (α+ 1) k - 1ln - 1 x k ! ) + (α+ 1) k k ! ∫xαln - 1 xdx 　　所以当 n = k + 1 时 ,公式 (4) 成立。这就证明了对于一切实数α≠- 1 及一切整数 n > 1 ,公式 (4) 成立。证完。 注 1 我们已经知道 ,当α≠- 1 时 , ∫xαln - 1 xdx 不能用初等函数来示 ,所以由定理 2 可知 ,对 于一切实数α≠- 1 及一切负整数 m , ∫xαlnmxdx 没有初等形式。 参考文献 [1 ] 　周国盈 1 对数乘幂的积分法[ J ] ,数学通讯 ,1955 ,54 :31 - 311 读者·作者·编者 　·评刊摘录·施吉林 (大连理工大学应用数学系) :“高等教学研究”是全国可以 发表高等数学研究的期刊之一 ,本刊内容丰富 ,很有特色和成效。特别是对数学教学改革动 态、数学家、数学史、教学研究等方面介绍与报导 ;对数学思想、理论、方法、技术等方面的 (下转 21 页) 61 高等数学研究 　　　　　　　　　　　　　　2003 年 12 月