7.9 (1)

nullnull二重积分的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算 二、二重积分在极坐标系下的计算null一、二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有null由定积分的几何应用：设一立体满足 ，在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面 与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体 积null 设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式示为(1)null 在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.null故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为(2)将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.null 同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为(3)null 在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则null因此(4)即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.null 在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上，上述结论并不受此限制. 如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分.null 为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：(1) 画出积分区域D的图形.(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.null 而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间[a,b]，a是下限，b是上限，即 如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.null例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.解 即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分null解法1 先对y积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为 ，作为积分上限.null解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积 分下限，出口曲线为 ，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，nullnull例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：解 像这样的正方形区域可以不必画，即得null例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.null解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 .D在y轴上的投影区间为 .故null 例4 计算积分 ，其中D由 y≥0确定.解法1 先对y积分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为 ，因此null 解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为 ，因此null 比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.null解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即null例6 计算 ，其中D由不等式 及 所确定.解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.nullx轴上的积分区间为[1,2].null解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子区域.null 当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时，沿x轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2. 当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.null 显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.null例7 计算积分 ，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成的区域.null将积分区域D投影到x轴上，投影区间为[0,1].故null例8 计算二次积分(1) 先依给定的二次积分限，定出积分区域D的范围，并依此作出D的图形. (2) 再依区域D的图形，依前述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.null由给定的积分限可知积分区域D的范围为例8通常又称为交换二重积分次序问题.null例9 交换二次积分 的符号分次序.解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示：null 如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2–x，因此 在D中 ，null例10 交换二次积分的积分次序.解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.null由于 的解为(1,1)，null二、二重积分在极坐标下的计算 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系：null因此，在极坐标系中这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式. 公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.null现在分三种情形讨论：(1)若极点在区域D之外. 为了确定θ的变化范围，过原点作两射线：θ=α和θ=β，使D恰好被夹在 此二射线之间，且α<β. 那么，便知θ取值范围是 ；再确定r的取值范围.则D可以记为null (2) 极点在区域D的边界线上，D的边界曲线为 , 又设射线 刚好夹住区域D，且 , 则D可以表记为null(3) 若极点在区域D的内部，D的边界曲线为 .则D可以记为null 如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.null例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2=2y及x=0围成的第一象限内的区域.解区域D为第一象限内的圆心为(0,1)，半径为1的右半圆，极点在D的边界线上. D的边界曲线为x2+y2=2y，nullnull例12 计算二重积分其中D为nullnull例13 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成的区域.null例14 计算二重积分 ，其中D是单位圆域：null例15 计算积分null例16 用极坐标计算例4中的二重积分.积分区域同例4中的D.null例17 计算二重积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.nullnull例18 计算积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.nullnull例19 设f(x)为区间[a,b]上的连续函数，证明：对任意 ，总有null 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=b.因此 区域D上有 .可得知故原命题成立.