3.4 向量组的极大线性无关组

nullnull§3.4 向量组的极大线性无关组null一、极大线性无关组的概念上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其中线性无关也称为线性独立。系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，(1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？(2) 具体哪些向量是独立的？(3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？如果以线性方程组中各方程的null一、极大线性无关组的概念定义满足:无关组。null由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。 需要讨论的问题(1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？(2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？null1. 向量组之间的线性表示定义若向量组(Ⅱ)中的每个向量都能由向量组(I)线性表示，则称向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示。二、向量组的秩null其中 n 为向量的维数。则所谓的向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示意味着1. 向量组之间的线性表示二、向量组的秩null1. 向量组之间的线性表示二、向量组的秩null1. 向量组之间的线性表示定理二、向量组的秩null 上述定理的直观解释 三个性线独立的向量；线性相关的。显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。null1. 向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价定义线性表示 ，其中 n 为向量的维数。二、向量组的秩则称这两个向量组等价。null1. 向量组之间的线性表示二、向量组的秩性质(1) 反身性，(2) 对称性，(3) 传递性，即向量组自己与自己等价；2. 向量组之间的等价null1. 向量组之间的线性表示二、向量组的秩定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2. 向量组之间的等价个数相等。证明null1. 向量组之间的线性表示二、向量组的秩定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2. 向量组之间的等价个数相等。证明null1. 向量组之间的线性表示二、向量组的秩推论(1) 若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量2. 向量组之间的等价个数相等。(2) 在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含的向量个数相等。组的向量个数是惟一的。即一个向量组中各极大线性无关null1. 向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价二、向量组的秩定义一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为3. 向量组的秩向量组的秩。null1. 向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价3. 向量组的秩二、向量组的秩4. 向量组的秩与矩阵秩的关系null4. 向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩通常说，矩阵的秩等于行秩等于列秩 此定理给出了一种求向量组的秩的。null证明(1) 首先证明一个引理：一定存在null证明(1) 首先证明一个引理：可逆矩阵 P 和 使得若列向量 线性无关，则存在0null证明则存在可逆矩阵 R，使得null4. 向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩推论(1) 当 r = m 时，A 的行向量线性无关，当 r < m 时，A 的行向量线性相关；(2) 当 r = n 时，A 的列向量线性无关，当 r < n 时，A 的列向量线性相关；特别地，方阵 A 的行(列)向量线性无关的充要条件null三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 首先介绍几个引例，用来掌握在什么情况下，可以非常容易地知道一个列向量组的秩、极大线性无关组以及它们之间的线性组合关系。(1) 向量组的秩为 2;null(1) 向量组的秩为 2;(1) 向量组的秩为 3;null三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1. 原理矩阵 B 的列向量有相同的线性组合关系。则矩阵 A 的列向量与null三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1. 原理2. 方法(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量排列，并构成矩阵 A ；(2) 对矩阵 A 进行初等行变换得到行形矩阵 B ；(3) 根据矩阵 B 的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出原向量组的秩、极大线性无关组以及线性组合关系。nullnull(1) 向量组的秩为 2;nullnull 由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择不同的极大线性无关组，(1) 向量组的秩为 2;行变换，此时只需按要求对矩阵继续进行比如：null第一种选择null第二种选择