金刚坐飞机问题

写书评，赢取《编程之美——微软技术面试心得》www.ieee.org.cn/BCZM.asp 金刚坐飞机问题 国外有一个谚语： 问：体重 800 磅的大猩猩在什么地方坐? 答：它爱在哪儿坐就在哪儿坐。 这句谚语一般用来形容一些“强人”并不遵守大家公认的规则，所以要对其行为保持警 惕。 现在有一班飞机将要起飞，乘客们正准备按机票号码（1, 2, 3, …N）依次排队登机。突 然来了一只大猩猩（对，他叫金刚）。他也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后 随意地选了一个座位坐下了1。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应： 1. 乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志不遵守规定，为什么我要遵守？”他们也随意地找 位置坐下，并且坚决不让座给其他乘客。 2. 乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐 下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机地选择另一个位置 坐下，并开始闭目养神，不再挪动位置。 那么，在这两种情况下，第 i 个乘客（除去金刚同志之外）坐到自己原机票位置的概率 分别是多少？ 1 金刚的口头禅是——我是金刚，我怕谁？大家在旅途中可能看见过类似的事儿。 写书评，赢取《编程之美——微软技术面试心得》www.ieee.org.cn/BCZM.asp 与解法 这两个问题之间有一处小小的区别，这个区别是如何影响最后的概率的呢？ 【问题 1的解法】 我们可以用 F（i）来表示第 i 个乘客坐到自己原机票位置的概率。 第 i 个乘客坐到自己位置（概率为 F（i）），则前 i-1 个乘客都不坐在第 i 个位置（设 概率为 P（i-1）），并且在这种情况下第 i 个乘客随即选择位置的时候选择了自己的位置（设 概率为 G（i））。 而 P（i-1）可以分解为前 i-2 个乘客都不坐在第 i 个位置的概率 P（i-2），和在前 i-2 个 乘客都不坐在第 i 个位置的条件下第 i-1 个乘客也不坐在第 i 个位置上的概率 Q（i-1）。 于是得到如下的公式（合并结果）： F（i）= G（i）* P（i -1）= G（i）* Q（i -1）* P（i -2）= G（i）* Q（i -1）… Q（2）* P（1） 容易知道 Q（i）=（N-i）/（N- i + 1）, P（1）= （N-1）/ N, G（i）= 1/（N-i + 1） 代入公式得到，F（i）= 1/N。 【问题 2的解法】 可以按照金刚坐的位置来分解问题，把原问题从“第 i 个乘客坐在自己位置上的概率是 多少”变为“如果金刚坐在第 n 个位置上，那么第 i 个乘客坐在自己位置上的概率是多少”（设 这个概率为 f（n））。 现在金刚坐在了 n 号位置上。如果 n=1 或 n>i，那么第 i 个乘客坐在自己位置上的概率 是 1（因为大家会尽量坐到自己的位子上，2 号乘客将选择坐到 2 号位置上……）。如果 n=i， 那么第 i 个乘客是没希望坐到自己的位置上了（他还不至于敢和金刚 PK）。如果 1< n < i， 那么问题似乎并没有太直接的求解方式。我们来继续分解问题。当金刚坐在了第 n（1< n < i） 个位置上的时候，第 2, 3, …, n-1 号的乘客都可以坐到自己的座位上，于是我们可以按照第 n 个乘客坐的位置来继续分解这个问题。如果第 n 个乘客，选了金刚的座位，那么第 i 个乘 客一定坐在自己的位置上；而如果第 n 个乘客坐在第 j（n < j < = N）个座位上，就相当于金 刚坐了第 j 个座位。 把问题分解到这一步，应该可以进行问题解答的合并了。一般来讲，合并这个步骤，有 可能很简单，也可能很复杂，这主要取决于问题分解的结果。在这道题目里，合并问题的主 要工具是全概率公式，也即 ，这里 i 表示各种不同的情况， )(iP 表 示这种情况发生的概率， 表示在这种情况下事件 M 发生的概率。 首先求解 f（n）（1< n = ，另 1答案

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