递推式确定通项公式

对于由递推式所确定的数列通项问，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。下面分类说明。 一、 型 例1. 在数列{an}中，已知 ，求通项公式。 解：已知递推式化为 ，即 ， 所以 。 将以上 个式子相加，得 ， 所以 。 二、 型 例2. 求数列 的通项公式。 解：当 ， 即 当 ， 所以 。 三、 型 例3. 在数列 中， ，求 。 解法1：设 ，对比 ，得 。于是，得 ，以3为公比的等比数列。 所以有 。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得 ，因此，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列。 所以 ，所以 。 四、 型 例4. 设数列 ，求通项公式 。 解：设 ，则 ， ， 所以 ， 即 。 设 这时，所以 。 由于{bn}是以3为首项，以 为公比的等比数列，所以有 。 由此得： 。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、 型 例5. 已知b≠0，b≠±1， ，写出用n和b表示 的通项公式。 解：将已知递推式两边乘以 ，得 ，又设 ，于是，原递推式化为 ，仿类型三，可解得 ，故 。 说明：对于递推式 ，可两边除以 ，得 ，引入辅助数列 ，然后可归结为类型三。 六、 型 例6. 已知数列 ，求 。 解：在 两边减去 。 所以 为首项，以 。 所以 令上式 ，再把这 个等式累加，得 。 所以 。 说明： 可以变形为 ，就是 ，则可从 ，解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 斐波那契数列通项公式的推导 设常数 ，使得 ，则 n≥3时，有 …… 将以上 个式子相乘，得： ∵ 上式可化简得： 那么： = = …… = = （这是一个以为首项、以 为末项、 为公差的等比数列的各项的和） = = 的一解为 则