第七章 线性变换练习题参考答案

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则在基下的矩阵＝而可逆矩阵T＝满足EMBEDEquation.DSMT4在基下的坐标为.2．设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换,则＝，＝，＝.3．复矩阵的全体特征值的和等于，而全体特征值的积等于.4．设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为__数乘__变换.5．数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为维线性空间，它与同构.6．设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为.7．设，则向量是A的属于特征值4的特征向量．8．若与相似，则=-1/2．9．设三阶方阵A的特征多项式为，则3．10．阶方阵A满足，则的特征值为0和1．11．线性空间上的线性变换为A，变换A在基下的矩阵为.二、判断题1．设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关.　　（错）2．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有　（错）未必有3．在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换.　　　（错）零向量的像是（1,0）4．若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当＝｛0｝.　　（正确）是可逆的当且仅当是双射.5．设为线性空间的一个线性变换，为的一个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间.（错）如平面上的向量全体在轴上的投影变换，为终点在与轴平行而不重合的直线上的向量全体，为轴上的向量全体，是的一个子空间，但不是的子空间.6．阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是．（正确）7．已知，其中为阶可逆矩阵，为一个对角矩阵．则A的特征向量与P有关．（正确），P的列向量为A的特征向量.8．为V上线性变换，为V的基，则线性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.9．为V上的非零向量，为V上的线性变换，则是V的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.解：先求矩阵的特征值与特征向量..矩阵的特征值为.当时，解方程组得矩阵属于特征值7的线性无关特征向量为.当时，解方程组得矩阵属于特征值-2的线性无关特征向量为.矩阵有三个线性无关的特征向量.因此矩阵可对角化，取矩阵有2．在线性空间中定义变换：（1）证明：是的线性变换.（2）求与（1）证明：.所以是的线性变换.（2）.3．设与相似．（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使．解：(1)由矩阵与相似可得，矩阵与有相同的迹与行列式，因此有所以.(2)先求矩阵的特征值与特征向量.特征值为.当时，解方程组得矩阵属于特征值-2的线性无关特征向量为.当时，解方程组得矩阵属于特征值7的线性无关特征向量为.因此可取矩阵，有.4．令表示数域上一切级方阵所成的向量空间，取定，对任意的，定义.证明是上的一个线性变换.证明：对任意的，有.因此是上的一个线性变换.PAGE5_1159078451.unknown_1159078484.unknown_1339355456.unknown_1339414942.unknown_1339415528.unknown_1339416049.unknown_1339416483.unknown_1339416741.unknown_1339416932.unknown_1339417163.unknown_1339417162.unknown_1339416822.unknown_1339416560.unknown_1339416586.unknown_1339416527.unknown_1339416350.unknown_1339416449.unknown_1339416080.unknown_1339415712.unknown_1339415764.unknown_1339415897.unknown_1339415713.unknown_1339415681.unknown_1339415691.unknown_1339415614.unknown_1339415325.unknown_1339415459.unknown_1339415476.unknown_1339415328.unknown_1339415054.unknown_1339415105.unknown_1339415015.unknown_1339414421.unknown_1339414814.unknown_1339414866.unknown_1339414887.unknown_1339414850.unknown_1339414608.unknown_1339414651.unknown_1339414572.unknown_1339356125.unknown_1339356320.unknown_1339414391.unknown_1339356162.unknown_1339355848.unknown_1339356098.unknown_1339355574.unknown_1339355046.unknown_1339355232.unknown_1339355316.unknown_1339355342.unknown_1339355270.unknown_1339355146.unknown_1339355199.unknown_1339355113.unknown_1159078649.unknown_1338531166.unknown_1339354918.unknown_1339354985.unknown_1338837221.unknown_1339354880.unknown_1338837399.unknown_1338532455.unknown_1338532487.unknown_1259828563.unknown_1259828583.unknown_1274099033.unknown_1291522835.unknown_1259828589.unknown_1255328652.unknown_1159078691.unknown_1159078769.unknown_1159078680.unknown_1159078569.unknown_1159078602.unknown_1159078615.unknown_1159078630.unknown_1159078557.unknown_1159078440.unknown_1159039583.unknown_1159039695.unknown_1159078211.unknown_1159078424.unknown_1159078374.unknown_1159078267.unknown_1159078323.unknown_1159078249.unknown_1159078170.unknown_1159078183.unknown_1159039748.unknown_1159039770.unknown_1159040075.unknown_1159040085.unknown_1159040099.unknown_1159039781.unknown_1159039758.unknown_1159039722.unknown_1159039736.unknown_1159039710.unknown_1159039646.unknown_1159039669.unknown_1159039683.unknown_1159039658.unknown_1159039608.unknown_1159039624.unknown_1159039595.unknown_1151445454.unknown_1151445700.unknown_1152121594.unknown_1159039539.unknown_1159039552.unknown_1159039527.unknown_1151445773.unknown_1151445897.unknown_1151445971.unknown_1151446219.unknown_1151445953.unknown_1151445896.unknown_1151445714.unknown_1151445560.unknown_1151445620.unknown_1151445653.unknown_1151445568.unknown_1151445603.unknown_1151445531.unknown_1151445553.unknown_1151445467.unknown_1151445273.unknown_1151445370.unknown_1151445397.unknown_1151445346.unknown_1151445154.unknown_1151445200.unknown_1151445121.unknown