专题52巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板Word版含解析

专聲巧解圆锥曲线中的定点和定值问题高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知椭圆C:—+^-=l（a>b>°）的左右焦点分别为F，F，椭圆C过点P1，｛-，直线PFa2b2i22i交y轴于Q，且PF=2QO,O为坐标原点.2（1）求椭圆C的方程;（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率分别为ki，k2，且ki+k2=2，证明：直线AB过定点・【答案】（1）㊁+y2=1；（2）证明见解析.【解析】_1试题分析：（1）因为PF=2QO，所以PF丄FF，c=1，将P11^^|代入椭圆得丄+丄=1，解得2212I2Ia2b2b2=1,a2=2，椭圆方程为亍+y2=1；（2）设AB方程为y二kx+b代入椭圆方程，写出根与系数关系,y—1y—1k=a,k=—b，求得k+k=2，所以k=b+1，代入y=kx+b得：y=kx+k-1所以,MAxMBxMAMBAB直线必过(―1,—1)(2)设AB方程为y=kx+b代入椭圆方程(1)-+k2x2+2kbx+b2—1-0,v2丿x+x=AB—2kb+k22b2—1y—1k=乙,kMAxMBAy—1=—xBk+k=MAMBy—1丄y—1A+BxxAByx+xy—lxABABA2，.・・k=b+1代入y=kx+b得：y=kx+k—1所以，直线必过(—1,—1)考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【变式演练1】已知椭圆C过点M(1,丄6)，点F(-J20)是椭圆的左焦点，点P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、QF成等差数列.(1)求椭圆C的方程;(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.【解析】⑴设椭圆c的方程为飞+专=1(心0上皿儿1分abr6由已知，得*尹+寺=12分a1—=2解得;二:■4分•••椭圆的标准方程碍+¥"⑵证明：设巩耳胁,0花宀)，由楠圆的标准方程为三+{=1，42可知|朋|=血+毎+彳=吕分同理㈣=2+才花,阿F|=J(l+Q+(少=2+半,常2迹|=『F|+|QF|…〔2匸十牛)"+牛舗+切,££(i)当西h可时，由［得寸-对+如-从汕+2y-=4.旳—尹a=_1西+可西一花2旳+旳设线段刊3的中点対陀垣,由疋=也二些=—丄,jq_花2n11分得线段PQ的中垂线方程为y-H=2^x-l)?-■(2x-l>-^=0,该直线恒过一定点町30)・〔ii）当西二花时，律-％QQ净或珂普）,5a-线段PQ的中垂线是x轴，也过点绘®•£综上，线段PQ的中垂线过走点屍30）.14分〔2）问【解法二】（i）若PQ斜率存在时:设PQ直线为y=kx+b学科网1y=kx+bTOC\o"1-5"\h\z/y1，消用：（1+切宀4遜+0—斗=05分—+—=1HYPERLINK\l"bookmark113"42设点P（兀yJ.Qg.y」，则:、⑶⑷_购I2b2-^厂存一由于|PF|+|QF|=2|星F|且画已[-2,2],花已[-2,2]所以|阳=2+半吗,|的=2+半花4X-又因为|倔|=小岳+左，其中总二丰卫二二為=1*故|倔|=2+*可得西+花=2*从而y^y2=2k+2b由（3）式及画+花=2得丹=1+/10分11分所臥直线FQ的中垂线为y-^4^=-y英—还耳2疋2化简得k2故：直线刊2的中垂线过定点以斗①）412分14分Cii）若鬥9斜率不存在时：同解法一・方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【例2】已知抛物线E:y2=2px（p>0），直线x=my+3与E交于A，B两点，且OAfB=6，其中O为坐标原点._（1）求抛物线E的方程；（2）已知点C的坐标为（-3,0）,记直线CA、CB的斜率分别为k，k，证明：丄+亠-2m2为定值.12k2k212【答案】（1）y2=x；（2）详见解析【解析】试题分析：设曲丸片）,0（花'旳）；联立方程组2"消元得y2-2pr^-6p=Q?所以.[x=my+3+=2pm?:yM=fp•又加-OB=轧+尹讥=聲单~+护讥,所以._?=*,从而求出结果.（2）因为椅=丄一=—巴—,為=乃=—巴一、因此4+丄玄一2肿=（衲+仝亍+如+仝尸一2???珂+3附1+6花+3佬旳+6占焉Viy2=2朋，+12砂"+旳+3~—2卅，XJi+Ji=2pm=m?y1y2=—6p=-3?代入即可求出定值.\y2=2px试题解析：（1）解：设A（x,y）,B（x,y），联立方程组\，消元得y2-2pmy-6p二0,ii22[x=my+3所以人+叮2pm,yi叮-6p(yy)2又OAOB-xx+yy-也+yy=9-6p=612124p2121所以p-，从而y2-x(2)因为妬二丄_焉珂+3+6吃+3住旳+6所丄耦+二l=m+£因此—2-+-^y—2m1=(m+—)2+(m+—)2—2m3g1111,=2ffi2+12m(—+—)+36(—+—)-2ffi2Ji旳M旳=2肿+12林泌些+3&®+叫号咖—2/m1J1J2Jiyi又y+y二2pm二m,yy=_6p=-312121所以k211+-k22—2m2=2m2+12mx+36x3—2m2二24即+-2mi为定值.k2k212考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.C:乂+兰=l(a>b>0)週Epi，【变式演练2】如图，椭圆a2b2的离心率是【答案】(1)扌+y2=1；(2)①是定值:②(°，2J2]【解析】，点I2丿在椭BFi圆上，设点A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点名，B引椭圆C的两条弦A1E、求椭圆C的方程；若直线AE与BF的斜率是互为相反数.①直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；②设AA严、ABiEF的面积分别为试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求.i和S2，求Si+讨的取值范围.111+12试题解析:j--椭圆方程為—+b=1・b—\斗<2）①设点E（^y1）3F{x1y2},直线y=k（x-2）,直线易吐尹=—Ax+l,联立方程组d消去煨'8k2—2—4k2、j4k2+194k2+1丿（4^+1）^-16^+16^_斗=O32jq=曙十：,画=薯吕，时=夙画-鸟=活答，\y=—kx+1()8k，联立方程组)x2+4y2二4，消去y得：(4k2+1)x2—8kx=0,x2=如y=—kx+1=4—斗，点F224k2+1(8k21-4k2)4k2+l‘4k2+1丿，故k=2^=1EFx—x212,消去y得：x2+2bx+2b2-2=0A=(-2b)②设直线EF:y=*x+b,联立方程组<-4(2b2—2)=8-4b2>0,—迈b>0)的长轴长为4,焦距为2&.(I)求椭圆C的方程；1B(II)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N交C于点A,P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.设直线PM、QM的斜率分别为k、k',证明为定值.求直线AB的斜率的最小值.X2y2J6【答案】(I)才+今=1・(II)(i)见解析；(ii)直线AB的斜率的最小值为亍解析】试题分析：（I）分别计算口上即得.（II）⑴设巩和％）魚"風A0）,利用对称点可得尸（兀，2稠）卫（兀，-2m）.得到直线珊的斜率，直线QM的斜率，即可证得.Qi）设班西包分别将直线區的方程y=kx+m,直线他的方程y=-3Ax+m与椭圆方程应用一元二次方程根与系数的关系得到皆如、y2-y,及％用疋表示的式子，进一歩应用基本不等式即得.试题解析:（D设椭圆的半焦距为S由题意知2口=斗:2c=2-^/2：所以，£1=20=Jii，—F=?所以椭圆C的方程為兰+疋=1.斗2(II)(i)设尸〔為此)〔兀>03j0>0),由Af{037M),可得尸(為加)卫(兀,-2朋)一所以直线珊的斜率氏=如』=巴,士s；亠厶—T.—2/ii—ni3m直线QM的斜率k'==一一.2（/-2）同理为_（18於+1）兀1旳_°詔+1）兀+朋'（辽）设耳曲'月厲、直线PA的方程为J=Ax+m,直线QB的方程为y=-3Ax+tm・y=Ax+tm联立&整理得(2^+1)*+47辰+2/??—斗=0..2/h2-4_zb2（/-2）宙糾=亦？可侍驾（2/+1）遍'所血訴+和-6k（秫丄2）=耳6疋+丄斗I由m>0^>0,可知疋>0,所以.6疋+££2&,等号当且仅当k=^-时取得.此时农認=净即代学符号题竜所以直线AB的斜率的最小值为2厶考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题解答此类题目，利用a,b,c,e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.3.【2016高考四川文科】（本小题满分13分）已知椭圆E：—+鸽=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点PG'3,1）在a2b22椭圆E上.（I）求椭圆E的方程；仃I）设不过原点O且斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C，D,证明：|MA・|MB—|MC•|MD.x2【答案】（1）4+y2—1；⑵证明详见解析.解析】试题分析：〔I）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得a=椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（II）首先设出jL-直线/方程为戸=斗兀+稍，同时设交点忒把J方程与椭圆方程联立后消去y得兀的二次jL-方程，利用根与系数关系，得码+耳轨,由=求得M'l^l（用耕表示），由0M方程y=具体地得出C,D坐标，也可计算出从而证得相等.jL-试題解析：（I）由已知，'4-T—又椭圆尹+話=1（"心仍过点尺点訐故耐+荒=1,解得宀1一所以椭圆E的方程是—+y1=1.斗〔II）设直线』的方程为卩=*兀+用（朋HO）,罚％,JO,由方程组£—+y=L4得汙+2际+2宀2=0,①V=—x+m,2方程①的判别式为』=4<2—用》由A>0?即2-^>0?解得—^2b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0,b)，0(0,0)，AOAB的面积a2b22为1.求椭圆C的方程；设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|-|BM|为定值.【答案】(1)+y2=1;(2)详见解析.4【解析】试题分析：⑴根据厲心率为爭，即+的面积为1,即椭圆中占=甘+孚列方程求解；(2)根据已知条件分别求出\BM\的值，求其乘积为定值一'C=週a2'试题解析：(1)由题意得］1ab=1,解得a=2,b=1.2a2=b2+c2,所以椭圆C的方程为才+y2=1.(2)由(I)知，且3出3,设P(兀血),则分+知；=斗一当兀工0时，直线岛的方程^y=^-U-2).兀_2令—0,得沧=—鵲-从而腳>|1—血|=1+备直线的方程为y=—~英+1一x——0—y0-1令y=0，得二_一.从而|an|二2_xj二yo所以|AN|-BM|二2+4xy—4x—8y+8—^-e00xy—x—2y+20000x2+4y2+4xy—4x—8y+4000000xy—x—2y+20000当x0二0时，y0=—1,|BM|二2,|AN|二2,所以|AN|・|BM=4.综上，|AN卜|BM|为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.5.【20XX年高考四川理数】(本小题满分13分)x2y2已知椭圆E:+]=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线a2b2l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.求椭圆E的方程及点T的坐标；设O是坐标原点，直线l平行于OT与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线1交于点P.证明:存在常数九，使得|PT卩二九|pA卜|pB|，并求九的值.x2y24【答案】(I)丁+?=1，点T坐标为(2,1)；(II)k二二.635【解析】试题分析：〔I)由椭圆两个焦点与矩轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得a=从而可得a=^b｝椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；(II)首先设出直线厂方程^y=^x+m?由两直线方程求出点尸坐标，得|円f,同时设交点心心(衍毎把『方程与椭圆方程联立后消去7得工的二次方程，利用根与系数关系，得珂+乓轨,再计算\PA\-\PB\?比较可得兌值一试题解析：⑴由已知，a2+a2=(2c)2，即a=41c，所以a=<2b，则椭圆E的方程为J+y=1x2y2+=1,2b2b2由方程组<2b2b2'得3x2—12x+(18—2b2)=0.①y=—x+3,方程①的判别式为A=24(b2-3)，由A=0，得b2=3此方程①的解为x=2，x2y2所以椭圆E的方程为+=163点T坐标为(2,1).(II)由已知可设直线的方程为y二2x+m(m丰0)22mx=2——32my=1+.3厶1y=—x+m,2可得0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且IAF=3.求抛物线E的方程；已知点G(-1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.【答案】(I)y2=4x；(II)详见解析.【解析】解法一：（!＞由财戦的定义得|AF|=2+?因为|AF|=3*即2+解得p=2?所臥抛物线E的方程为/=4jc.（ID因为点A（2z）在抛辆线吐於=4丸上，所如二±2岳由抛物线的对称性，不娠设A（Z2血）.由A（2,2旋），日口°）可得直线AF的方程拘『=朋（一1）.：=节（”一％得2壬七+2",解得兀=2或jc二从而E（了”―J5）”又G（T.O）,20-0_2血M=i)=~M-0Fh)所以也+咯"，从而ZAG2ZBGR,这表明点B到直线GA,GB的距离相等，故以J为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GR相切一解法二：（I）同解法（II）设以点为圆心且与直线GA相切的圆的半径为.由抛物线的对称性，不妨设A因为点A（2,m）在抛物线E:y2二4x上,所以m=±2p2F（1,0）可得直线AF的方程为y=2^2（x-1）由；y=2皿-1),得2x2-5x+2=0,y2=4x解得x=2或x=1从而b[2,12XG(-laO),故直线GA的方程为2屆—3尹+活=0,b从而f=LH隅4血^8+9丽'又直线GB的方程为2屆+3尹+厶扭=0,所以点B到直线GB的距离川=这表明以■点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切・【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题．直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明ZAGF=ZBGF即可,这样可以把问题转化为判断%+kGB=0，高效解题的过程就是优化转化的过程.x2y27.【2015高考陕西，文20】如图，椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1)，且离心率为a2b2⑴求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ【解析】试题分析：①由题意知扌=¥力=1：由/=/+宀解得a=^2?继而得椭圆的方程为手+於=1：(II〕设尸(砂1),0(可旳力贝由题设知，直线鬥3的方程为，=弑兀一D+1住H2),代Ay+/=1；化简得(1+塚疋-低仗-X+2砂-2)=0,贝I］码+花=斗善仃F①,=^(k~?①，由已SnA>o,从而直线/尸与/Q的斜率之和％+乜总=也也+北出1+2kjqXj化简得％+乜总=加+(2—肪三静,把①①式代入方程得％+乜总=2一试题解析：①由題意知扌=¥力=1，综合扌"+宀解得a=^2?所儿椭圆的方程为y+/=l.(II)由题设知，直线理的方程为P=Q—1)+1如2),代入斗+宀1,得£(1+如)/—屯弍疋一1)兀+2就疋一2)=0,由已知AaO,设尸彷乃)湮(花旳)，兀西工0ml4*(*-1)2*(*-2)从而直线AP与AQ的斜率之和__Vn+1yg+1Ax]+2—A;ha+2—A;%+%二一+——=—+—=2fc+(2—A)—+—|=2fc+(2—fc)I西花丿轨=2jt+(2-jt)^^—^=2*-(2*-1)=2.2fc(A7—2)【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果.【反馈练习】11.【安徽省示范高中20XX届高三第一次联考、理】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为2，1它的一个焦点恰好是抛物线x二4y2的焦点。⑴求椭圆c的方程；⑵设AB为椭圆C的一条不垂直于轴的弦，且过点（1,0）。过A作关于的对称点A'，证明：直线AB过轴的一个定点。【答案】（1）邑+21=1；（2）证明详见解析.43【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质等基础知识，考查学生的分析问题解决冋题的能力、转化能力、计算能力•第一问，利用椭圆的标准方程求出禽心率，再利用抛物线的焦点求出5结合2个方程，求出玄和》从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线AB的方程，点扒4、M的坐标，先利用乩A.啦三点共线，得出兀与川乃的关系,再联立椭圆和直线方程消参得出旳+旳、旳旳，代入兀的表达式中，得出兀，即得出M点坐标一试题解析：（I艰设椭圆c的方程为和召=1（%叭则★斗又抛物线*钗的焦点为（1®,所^e=l?所以./=电/=3,所以■椭圆C的方程为手+斗=1.（II）证明：设直线曲的方程为：兀=即+1"（画$）空（込旳）/（耳直线/记与兀轴的交点为Mg®・丁丛月应三点共线，二』_=堂空仁_=先5,%-叫比一旳码一级一1乳儿—yJ化简整理可得兀=如堂+1…①旳+旳联立］石+葺=1，消去X得：（4+3/*）^+6?v-9=0.--Jl+^=4^1^1=4+1?…②\x=/j/+l+将②代入①得：Jb_2/4+37+i_3+i_4.即直线/记过％轴的另一个定点Af（4®.，:4+护考点：椭圆的标准方程及其几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质.2.【云南省、四川省、贵州省20XX届高三上学期百校大联考数学，20】已知抛物线E:y2=2px（p>0）,直线x=my+3与E交于A，B两点，且OAfB=6，其中O为坐标原点.右+右-2m2为定值.121）求抛物线E的方程；（2）已知点C的坐标为（-3,0）,记直线CA、CB的斜率分别为k，k，证明:12【答案】（1）y2=x；（2）详见解析解析】试题分析：设A（x1，y1），BW，y2），联立方程组］y2=2px亠小，消元得y2—2pmy—6p=0，所以x=my+3y+y=2pm12（yy）21y1y2=—6p•又OA-O=xx+y1y2=加+y1y2，所以p=2，从而求出结果.（2）12因为丁说3my+61L，k二亠2x+3my+6221166因止匕+—2m2=（m+一）2+（m+一）2—2m2k2k2yy1212=2m2+12m吕^1y2+y（y+y）2—2yy2+36i2i2—2m2，又y+y=2pm=m，yy=—6p=—3y2y212"~y2y21212代入即可求出定值.消元得y2-2pmy-6p=0试题解析：⑴解：设A%yi），B（X2,y2），联立方程组仁囂3所以人+叮2pm,人叮-6p2分(yy)2又OAOB=xx+yy=丛+yy=9—6p=612124p2126分1所以p=-，从而y2二x5分（2）因杯=」4="上，妬=丿一=旳上,珂+3卿1+6花+3卿a+6所以1=m+-?-=m+-?因此4+—2?n2=(th+—)2+(fli+—)2—2/h=+12服丄+丄)+36(4+A)—2m旳yi旳旳=2肿+12碎泌吃++曲—如又人+叮2pm二m,yy9分11所以k21—mm2+6+—2m2==2m2+12mx+36x—2m2=24k239211分即1+丄—2m2为定值.k2k212考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.3.【江西南昌市20XX届摸底考试，20】（本小题满分12分）12分x2y2已知椭圆C:+=1（a>b>0）短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.a2b2（1）求椭圆C的方程；（2）过圆E:x2+y2=2上任意一点P作圆E的切线，与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.x2y2【答案】（1）+=1（2）坐标原点63解析】试题分析：（1）由题意得直角三角形为等腰直角三角形，所以b=c,再根据面积得S二2a2二3，解得a=^6,b（2）先探索：以AB为直径的圆过坐标原点，再以算代证：设A（x,y）,Bq,y），则只需证明xx+yy二0，设方程y=kx+m，则只需证（1+k2）xx+km（x+x）+m2=0，由直线与圆相12121212切可得m2=2+2k2，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理给予证明.试题解析：（I）因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c4分122S二a2二3,•••a=76,b故椭圆C的方程为-+琴=1263（ID圆E•的方程为d+设。为坐标原点当直线I的斜率不存在时、不妨设直线趾方程为英=近,则罠払尽肌狂-逅）?所以.厶。月=彳5分所以.AB为直径的圆过坐标原点当直线J的斜率存在时，设其方程设为戸=心+朋，设/（画（可因为直线与相关圆相切，所以d=1+k2=莎m2=2+2k2y=kx+m联立方程组\x2y2-得x2+2(kx+m)2=6,—^―=1I637分即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,D=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=8(6k2-m2+3)=8(4k2+1)>0,4kmx+x=-9分121+2k22m2-6xx=121+2k2(1+k2)(2m2-6)4k2m23m2-6k2-6Mxx+yy=(1+k2)xx+km(x+x)+m2=-+m2==011分121212121+2k21+2k21+2k2OA丄OB所以AB为直径的圆恒过坐标原点O12分考点：直线与椭圆位置关系方法点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关【湖北省黄石市20XX届高三年级九月份调研，20】本小题满分12分)x2y2已知椭圆C:五+b；=1过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与轴交于点N，求证:四边形ABNM的面积为定值.【答案"宁+y2=1，e弓⑵面积为2解析】试题分析：(1)求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即只需列出两个独立条件，解出盘=20=1.求离心率一般根据离心率定义，分别求出4=2*=需匸产=0，即得总=£=史⑵由于四边形两对角线a2垂直，所以_用=勻的卜|駆|,因此关键求出M川坐标，设P{^y^直线嘶方程如詈川令y=0，得xN=一一，从而IANI=2一xN=2+一Ny—1Ny—00所以四边形ABNM的面积：S=2anhbm=212+占八0x2+4y2+4xy一4x一8y+4=—00000e2\xy一x0002xy-2x-4y+4=eeee=2xy一x一2y+2eeee从而四边形ABNM的面积为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.x2y2【山东省实验中学20XX届高三第一次诊，20】已知椭圆C:+=l（a>b>0）的右焦点F（l,0）,a2b2过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60。.求椭圆c的方程；设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T(t,0)，使得QP-TP=PQ•TQ?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由._【答案】(1)兰+聖二1(2)te(0,；)434【解析】试题分析：(1)求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，即列两个独立条件c=1，-=tan60=爲解c。出b2=3，a2=b2+c2=4(2)先化简等式：QP-TP=PQ-TQ得PQ・(TQ+TP)二PQ-(2TR)二0其中R为线段PQ的中点为，即所以直线TR为直线fQ的垂直平分线，直线PQ的垂直平分线过点T(t,0)以下转化为中点弦问题，可利用韦达定理，也可利用点差法，得出t的函数解析式，根据对应参数(直线斜率或中点坐标)的取值范围确定实数的取值范围TOC\o"1-5"\h\z试题解析：⑴由题意知*1,又£=1那60°=击，所以沪=3,2分a2=b2+c2=4?所以椭圆的方程为：-+^=154分斗3⑵设直线鬥2的方程為：尸g—r)心®,代=b得：43(3+4^-8^+4^-12=0,设P(西仍)卫8宀)，线段也的中点为斑兀必)，呱=宁=為疏g—L為'访由QP.TP=PQ-TQ得：PQ-(TQ+TP)=PQ-(2TR)=0所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,9分直线TR的方程为：y+时k2t==TOC\o"1-5"\h\z令y=0得：T点的横坐标3+4k22*4，10分k231HYPERLINK\l"bookmark257"因为k2e（0,+Q,所以+4e（4,+Q，所以te（0,二）.12分HYPERLINK\l"bookmark44"k24所以线段OF上存在点T亿0）使得QP.TP二PQ・TQ，其中te（0,4）.13分考点：椭圆标准方程，中点弦问题【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求,关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法,列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k,利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.【2016广东广州综合测试一，理20】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为A，左焦点为F（-2,0），点BQ•迈）在椭圆C上,直线y=kx（k丰0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，1AF分别与y轴交于点M，N.（I）求椭圆C的方程；（II）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.【解析】（I）设椭圆C的方程为4+^=1因为椭圆的左焦点为耳（—2,0）,所臥/—沪=4.因为点e（z在椭圆c上，所以—+卩=1■由①②解得，a=2^2,b=2.所叹椭圆C的方程为y+^=l.（II）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为（-^-2；0）x2y2因为直线y=kx（k丰0）与椭圆+=1交于两点E，F84设点E（x,y）（不妨设r〉0），则点F（-x,-y）.00000y=kx,联立方程组0)，M为抛物线C上一动点，A(a,0)(a丰0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18.(1)求抛物线C的标准方程；(2)记t^—771^—77，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”,AMAN若没有，请说明理由.【解析】（I）由题鼠5心=牛|血卜|阿=孑孑绥=今=—=心抛物线c的标准方程为/=m.(II)设y^?Ngy)设直线MN的方程为x=my+口〉联立A=144fl?+48a>0、^+^=12^1,必旳=一1加，由对称性，不妨设(i)a<0时，*/yy=-12a>0l2•:y，y同号,12ll又t=+」+二1—:IAM11ANI<1+m2|y|<1+m2|y|12=丄fl-1(y+y)21144m21…12=2=g1+m2(yy)21+m2144a2a212不论a取何值，t均与m有关，即a<0时，A不是“稳定点”;〔ii）口>0时厂・了|旳=一12fl<0,:n异号.11・,+—」：41^11^1d十汩I如Tt+wi2i^2i+_L=1gyjl+w?OmF1+用1CV|+y丁_4旺冏].144?孑+斗甌=11+ff?144^2a1-fl-1（刃为）二仅当匸-1=0；即口=?时；t与m尢天：&【20XX届福建省龙岩市一中高三下学期考前模拟】如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为上；的椭x2y2圆C:+=1（a>b>0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P,Q两点,a2b2(II)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论.【解析*I'设P賦电—L•■直线瑰斜率为乎时击人站+(¥观)—3』对二亠J宀於=厲.齐钮=2■椭圜c的标冶方财'+〃=]aa242~2~时，PQ直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点•若直线PQ斜率为(n)以泗为直径的圆过走点用士运①”设p(和弘),刚片〉，且=l即TOC\o"1-5"\h\z424+^=4,•”N—2®,二直线皿方程毎尸』_(“2)…•.敲①吕,直线如方稈心+2心+2为：F=-(x+2),以洌为直径的圆为观-2花-2。-臥―仍+O「伞X胪-単沪4即三于旷-学**卑2=0,斗=-2元,花+2x^-2規一4砌-4二2+於十冬$-2=0，令T,^+/-2=0,解得x=±^2t「.以阿为直径的IS经过定点:(士屈臥9.【20XX届辽宁省师大附中高三模拟】已知抛物线C:y2=2px上一点M(3,y丿到其焦点F的距离为4y2x2椭圆+b210=1(a>b>01的离心毂吟’且过抛物线的焦点•⑴求抛物笔和椭圆C2的标准方程;(2)过点F的直线交抛物线C于A、B两不同点，交y轴于点N,已知NA=九AF,NB=卩BF，求证:九+卩为定值．⑶直线交椭鲨于P,点S满足：OS=OPPQQ两不同点，P,Q在轴的射影分别为'，Q,OP-OQ+OP・OQ+1=0，若，证明：点S在椭圆C上.一—.—.—.2【解析】〔I)抛物线G：戸=2尹上一点施〔3毗)到其焦点F的距离为斗；抛物线的准线为*川X-物线上点M(33风)到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离H,所以.H=3+彳=斗，所以p=2,抛命X-线q的方程加h椭圆Q：4+^=i(«>&>0)的离心率总=舟,且过抛物线的焦点巩®ab2所以“1,V22宁，解得齐2臧椭圆的标准方程为尹宀】•.(II)直线£的斜率必存在，设协,设直线J与椭圆G交于心心％旳),则直线J的方程为y=k(x-l)，MO-fc),联立方程组：F=4x所以fcV—(塚+伽+疋=0,y=k(x-l)TOC\o"1-5"\h\z‘_需+斗___A=16A?+16>0,所以J兀+花=亡〔*)由雨=£S巨丽=左丽得:兀花=1久(1一西)=码説(1一程)=花得：久=严」屮=仝」、所以.1—珂1—Xj兄+#二珂|可=码(1一花)+花(1一画)=码+花一2珂花1—jq1—西(1—jq)(l—Xj)1_(画+花^+画花HYPERLINK\l"bookmark295"将g代入上式，得乂+¥=严严=_]1—(jq+jk^)+x1x2〔III)设gy/gM所以.肌吟+海片+吆)，则由hhiq2OPOQ+O?+\=Q得2k丹+h吃=T⑴^+jc/=1,(2)莹+勺2=1(3)22（1）+⑵+（3）得：5+临）+（衍+花尸=1,即应吟+窖片+&）满足椭圆召於+*=144J.的方程，命题得证.（黑龙江省大庆第一中学20XX届高三下学期第二次阶段考试数学理试题）（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，过点C（p,0）的直线与抛物线y2二2px（p>0）相交于A、B两点.设Ag,y,，B（x,y）22（1）求证：yy为定值12（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由.【答案】（I）见解析；（II）见解析【解析】试题分析：⑴采用不同的直线设法，会有不同的难易之分，本题解法一：当直线AB垂直于孟轴时，必二屁，旳=-屁'因此旳旳=-2戸丄症值当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为p=冷一壬）由；严?得Ay》-2刖-2卫址=0一一yxy2=-2p2因此有yYy2=—2,为定值，解法二：设直线AB的方程^）my=x-p由厂;:Py1-Ipmy-lp1=0..yYy2=-2p2[y=2四因此有”旳=-为定值,（2）先假设存在，看是否有解或导出矛盾，设存在直线J：x=a满足条件，则AC的中点坯筈亘申,AC=辰-pf+yf,AC为直径的圆的半径r=^AC=^JO]-戸尸+尹（=++才,E点到直线兀=a的距离d斗西；卩-a\；所法所截弦长为2丿/_/=2百（x^+p1）-（竺孑-a）1=-2xx（p-2a）+4ap-4a2当尹_2a=0艮卩"訓弦长打-彳-4耳*为定值，学科网这时直线方程为工迸试题解析：（1）（解法1）当直线AB垂直于x轴时，y=v/2p,y=—Y2p，因此yy=—2p2（定值）2分1212当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为卩=Kx-p）由『理:;T得b-2刃-2p2k=0-■-陀2=-2p2因此有旳旳=-2p2为定值4分宙7另因此有円乃二―2严’为定值<2>设存在直线山工二口满定条件，则E点到直线北"的距离注=1曲W_Oi+p_2o）=J-2西（严_2a）~t~仙p_斗口皿分当p-加=0艮卩应二兰8寸，弦长垃分所臥所裁弦长为2肿_¥=2J*（宀小_（鱼尹—学科网酬直彩程为”；因此以AC为直径的圆的半径尸=^C=1血-訝+代J后匚？去j«LJbr箕;*得八T2宀0一皿F（解法2）设直线AB的方璨为my=x-沁的中和岁牛心辰”常考点：与圆锥曲线有关的定值问题【江苏省泰州中学、扬州中学、靖江中学20XX届高三下学期期初联考数学试题】（本小题满分14分）X2y2J2如图，椭圆C:+：=1（a>b>0）和圆C:x2+y2=b2，已知椭圆C过点（1,），焦距为2.1a2b2212（1）求椭圆C的方程；1（2）椭圆C的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线与圆C相交于点A、B，直线12kEA、EB与椭圆C的另一个交点分别是点P、M•设PM的斜率为k，直线斜率为k，求戸的值.112k1x2k3【答案】（1）+y2=1;（2）2=；2k21【解折】试趣分析：门）将点代入方程，法履，=护+*可得方程组求得标淮方程，或利用椭园的定又先求出3（R因为曲为圆的亘径，所以血丄他，由此应设厢威腿〕的斜率，得直线方陰再与歐榊圆方程分别眠立方稈组，求交点得斜率$试趙鮮析：<1）解法一:将点代人桶圆方程”解方程组，求得，=2M=1，所以橱圈G的方程为刍十护=1.解法二：曲極的定义求得2*2屈所以椭眄的用呈为y+/=[.（2）由题憲可知直线吧遊的斜率存在目不为gPELENffy=Ax-t畑J不妨设直线F百的斜率为^>0）,贝]附牛・航-1,r4JtX=2^7\'\澎「1或1y~2^Ut用-1去代，得M（k—4k2-k22+k2‘2+k2则k=k1PMk2-13ky=kx-1,得'x2+y2=1,x=y=2kk2+1fx=0,k2-1]y=-1,k2+1‘2kk2-1)k2+1，k2+1)k2-1=k=OA2kk3所以左=21【天津市南开中学20XX届高三第三次月考(理)试题】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为2，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y3y的焦点.求椭圆C的标准方程；若A,B是椭圆C上关轴对称的任意两点，设点P(-4,0)，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与轴相交于定点M；设O为坐标原点，在(II)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求OS-OT的取值范围．【答案】(I)X-+22=1；(II)M(-1,0)；(III)[-4,-1]【解析】试题分析：(I)由抛物线云=4书y得焦点(Q击)・设椭圆方程为三+卷=1(4A&aO)・由题意可得"腐,再利用C=扌=J1—負及/=护+丁即可求出椭圆的标准方程.(id由題意可知直线氏的斜率存在，设直线氏的方程为汽m与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系.设点A(kl,yL)；E(gy)则B(kl,~yL).直线EE的方程为y+”=巴芒也(葢一画)，yLjya分别用社，&表示，在代入直线班的方程即可求出直线月E与兀轴相交于定点取的坐标；学科网〔III)当过点M的直线的斜率为0时,s(-20),r(2a0),此时丽厉一■当过点M的直线的斜率不為0时；设直线ST的方程为沪m厂1,且设点J1),丁區旳)在椭圆c上；与椭圆的方程联立得到根__]I]I抛物线x2=4运y的焦点为C,朽)与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积osOT?即可得出OSOT的取值范围.试题解析：(I)解：设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)a2b2卜a2-b2=1仏=2,由题意，可得1a2，・1厂lb朋V=3.x2y2・•・椭圆C的标准方程为忆+丁二1（II）证明；由题意可知直线PA存在斜率丿设直线PA的方程为尸灿工+4）,代入椭鬪方程可得（4^+3）^+3^+64^-12=0由A=32喏一4（诃+3）（64泾一12）A0“<-!<*