24第二十四章 抽屉原理

为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米．边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.在1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少要取出多少个数，才能保证在取出的数中有两个数的和是20？从1，2，3，4，„，1994这些自然数中，最多可以取多少个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出多少个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．从1，3，5，7，„，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中每一个数都不是另一个数的倍数?在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米．从1，2，3，„„49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，(1)为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？(2).为保证取出的球中,三种颜色的球都有,至少要取多少个小球?要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离为2：3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。49•在8X8的方格纸中，每个方格纸内可以填上14四个自然数中的任意一个，填满后对每个22“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同？并说明理由．如下图①，A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，„，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．“走美”主试委员会为三〜八年级准备决赛试题.每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备道决赛试题．有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个这时，两袋中各有多少个球？一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个．如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？在100张卡片上不重复地编写上1~100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？答案及解析1.首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。2.扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。答：至少有11个人。3.我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{20,8},{19,7},{18,6},{17,5},{16,4},{15,3},{14,2},{13,1}。另外还有4个不能配对的数{9},{10},{11},{12},共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1,2,3,„,12）,那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉（显然,它们具有上述性质）：{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。按照被3除所得的余数,把全体自然数分成3个剩余类,即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中,至少有3个数在同一个抽屉,那么这3个数除以3得到相同的余数r，所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）。如果每个抽屉至多有2个选定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2个，2个，即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数那么这3个数除以3得到的余数分别为0、1、2.因此，它们的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况（0,1,2，”，n-1）数都是n，还无法用抽屉原理。然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次•不管是前一种状态0、1、2、„、n-2，还是后一种状态1、2、3、”、n-1，握手次数都只有n-1种情况•把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。8•对•因为9.8不能被5整除，10.8除五等于1余3所以有一个鸽笼大于两只鸽子.9.730^366=1（人）364（人）1+1=2（人）答：至少有2个学生的生日是同一天.证明：略（1）、假设数学小组有等于或大于20名同学，则最少有一名朋友，最多有等于或大于20名朋友，这时候每个人朋友人数一至少有20种情况，也就是说每个的的朋友数可以不一样多。、假设数学小组有19名同学，则最少有一名朋友，最多有不到19名朋友，这时候每个人朋友人数一可以19种情况。但是数学课外共有20名同学所以至少有两名同学他们的朋友人数一样多。人的性别只有两类：男性和女性。我们把两种性别当作两个“抽屉”，把三个小朋友比做三个“苹果”。按照抽屉原则，至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上“苹果”，也就是说，至少有两个小朋友性别相同。他俩只认识对方一个人。任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成三类；这三类型就是要制造的三个”抽屉“。我们把4个数看作”苹果“，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有2个是同类。既然是同类，那么这两个数被3除的余数一定相同。所以，任意4个自然数，至少有两个数的差能被3整除。除数是3，那么它的余数只能是0、1、2。所以，三个自然数被3除，有三种情况，因此第四个自然数被3除后，它的余数肯定和前三个数中的某一个数被3除的余数相同。分析：如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数．这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同．可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类．也就是7个抽屉．任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．解答：如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差ab是m的倍数。根据这个性质，这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同。把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类。也就是7个抽屉。任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。故任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。所谓能被6整除的数,即能被3整除的偶数；据此我们把正整数分为2大类6小类.一、奇数；除以3分别余(0,1,2)不妨称之曰：奇0,奇1,奇2.二、偶数；除以3分别余(0,1,2)同理称之曰：偶0,偶1,偶2.看到这里相信你已经明白原理了,接下来就是穷举数数了.我们数数的方法是考量最多取几个正整数,让其中任意6个之和都不能整除6,而再增多一个任意小类,则满足必有6个之和能被6整除.、不妨先考虑5个奇0,那么对应的偶0就只能有1个(如果有2个偶0,则4个奇0加两个偶0已满足)、此时优先考虑奇1最多2个(否则3奇1+3个奇0满足),偶1只能是0个；优先考虑偶1,亦最多2个,奇1同样0个,不影响总个数、不论2为何种情况,偶2和奇2都只能取0.此时总数字为：5+1+2=8个.、此时我们数了其中一种情况,相信原理方式什么的你都明白了,接下来只要利用穷举法和各种耐心,迟早得把它所有情况数完,得出正确结论.不过我的建议是,采用另外一种穷举,不妨采用先大胆假设,再找反例的方法.即：假设任取9（即8+1）个正整数,题设满足.那么这九个数总共可能含有2~6类数字；再对其不同分类,逐一验证.例如先假设只有两类,考察下去会发现：5个奇0,4个偶2不满足题设,甚至5个奇0,5个偶2亦不满足；当然在5个奇0,5个偶2的情况下,任一小类的数字都不能再加.（5）、故重新假设,任取11（即5+5+1）个正整数,题设满足.那么这11个数字包含2~6类数字.当然如果是2类,会出现6个相同小类数字,已满足.故从3类开始找反例.17.把这2008个自然数先排成一行：a,a,a,a,a12320072008第一个数为a;1前2个数的和为a+a；12前3个数的和为a+a+a；123前2007个数的和为心一七一七；；前2008个数的和为■一工；如果这2008个“和”中有一个是2008的倍数，那么问题就已经解决。如果这2008个“和”中，没有一个是2008的倍数，那么就用2008去除这2008个“和”，必有两个和的余数相同。它们的差（仍然是a,a,a,a,a中若干个数的和）被2008整除，结论同样成立。1232007200818.取500个数：1,11,111,…,111-1（500个1）.用499去除这500个数，得到500个余数A1,A2,A3,…，A500.由于余数只能取0,1,2,…，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是O:11・TOO—O.又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499人倍数将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数。19.设最多分给个同学。由题意得：±12x12xW100x<120=235述33答：最多能分给8个同学。20.105=3X5X7，只要证明(a-b)(c-d)(e-f)分别是3、5、7的倍数即可求解；先由抽屉原理，8个自然数中一定有两个的差能够被7整除，记为a和b；再考虑剩下的6个数，同理可知其中一定有两个的差能够被5整除,记为c和d.再考虑剩下的4个数，同理可知其中一定有两个的差能够被3整除，记为e和f，从而得出(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数.解答：105=7X5X37的剩余系为｛0，1，2，3，4，5，6｝有7个数任意8个数必有两个对于7剩余相同设为a，b,则7^(a-b)同理：5的剩余有5个数剩下8-2=6个数必有两个对于5剩余相同设为c，d，则5|(c-d)对于3的剩余同理可得有两个数对3剩余相同设为e,f,则3|(e-f)这样取到了六个数a,b,c,d,e,f,且满足(a-b)是7的倍数，(c-d)是5的倍数，(e-f)是3的倍数。所以(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数。证毕把这6个人看作6个点,每两点之间连一条线段,两人相把这一圈从某一数开始按顺时针方向分别记为、匚、^、…、aio(见下图)相邻的三个数为一组，有：aaa、aaa、aaaTOC\o"1-5"\h\z123234345aaa、aaa共10组。91011012这十组数的和的总和为：巴+a2+a3)+(a2+a3+a4)+•••+(a+a+a)1012=3(a1+a2+a3++a10)=3X55=165=16X10+5根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于17。相互认识的话将线段涂红色,两人不认识的话将线段涂上蓝色,那么只需证明其中有一个同色三角形即可．从这6个点中随意选取一点,从点引出的5条线段,根据抽屉原理,必有3条的颜色相同,不妨设有3条线段为红色,它们另外一个端点分别为B、C、D,那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色,那么都是蓝色,这样B、C、D3点组成蓝色三角形,也符合条件．所以结论成立．(1)、因为只有男生和女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个性别相同；、为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生；、第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形.所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的同学同性别.(1)设解题最多的人解出d道题。将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8X5道题。所以8d>8X5,则d>5d=8时，结论成立，d=7时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求，d=6时，剩下的两道题，各有5人解出，5+5>7.所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求，d=5时。另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6，7，8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6，7二题，又解出8的人数为5，3+5=8>7，所以必有一人同时解出6，7，8这三道题，他与解题最多的人为所求。(2)如下表所示：要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作物品把笼子当作抽屉，根据抽屉原理，把10只小兔放进10-1=9(个)笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．答：要放进9个笼子里.根据题干分析可得：125^(41)=41・・・2,即125件物品放入41个抽屉,至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。答：这个班最多有41人。27•第一个月16^2=8第二个月8^2=4第三个月4^2=2第四个月2^2=1即1624，第个月每组有个人答：最少经过个月。50X1+1=50+1=51答：老师至少拿51本书.140到150的整数(包括140和150)有11个数字11X3+1=33+1=34答：至少从34个学生中保证能找到4个人的身高相同。根据题意，得这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3X10=40分但注意到39,38,35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3X(41-3)+1=115(人)答：至少需要多115人参加竞赛.红黄蓝三种颜色的球，随意取出2个球，有6种情况，现在有7个小朋友做游戏，所以至少有2个小朋友摸到的球情况相同。(1)、本题属于抽屉原理的题目，解题前提是把每一米的路看成一个抽屉、根据抽屉原理，把100米平均分成100段，看成100个抽屉，每段中植一棵树，则还剩一棵树；、不管把剩下的这棵放在哪一段，有一段就会出现两棵，每一段路的长度为1米，1米内有两棵树，由此判断.根据抽屉原理，把100米平均分成100段，看成100个抽屉，每段中植一棵树，则还剩一棵树，不管把剩下的这棵放在哪一段，有一段就会出现两棵，每一段路的长度为1米，两棵树在1米范围内，故总有两棵树的距离不超过l米.易证得在边长为1/2的等边三角形内随意放置2个点,这两个点的距离不超过1/2.取该等边三角形的三边中点，两两连线.这样，原来的等边三角形被分割成了4个边长为1/2的小等边三角形.我们把这四个三角形（包括边界）分别称为区域1，区域2，区域3，区域4.由抽屉原理，在四个区域内随意放置5个点，至少有两个点在同一区域中.不放在区域1中.由于这区域是边长为0.5的等边三角形.根据本文的第一句话，易有此两点距离小于等于0.5所以至少有两个点之间的距离不超过0.5得证.由分析可知：假设前面挑出来的是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，则再挑选出余下任何一个数字，都能满足题意，所以至少选出11个数字.故答案为：11个.故答案为：11个把1——1994这些自然数分组：1、10、19、28、37……1990，有222个数；2、11、20、29、38……1991，有222个数；3、12、21、30、39……1992，有222个数；4、13、22、31、40……1993，有222个数；5、14、23、32、41……1994，有222个数；6、15、24、33、42……1986，有221个数7、16、25、34、43……1987，有221个数8、17、26、35、44……1988，有221个数9、18、27、36、45……1989，有221个数.前五行，每行的数每隔一个数取一个数，共可取222^2=111个符合条件的数；后四行，每行的数每隔一个数取一个数，最多共可取111个符合条件的数；这样，从1--1994这些自然数中，最多可取111X9=999个符合条件的数.答：最多可以取999个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9.将这些数排成以下6行：，2，4，8，3，6，12，5，10，7，9，II每一行列中，不能取相邻的项，因而至多选出：2+2+1+1+1+1=8（个）所以：最多可以选出8个数（例如1、4、3、12、5、7、9、11），使每个数都不是另一个数的2倍。故答案为：8.若选了1其它数都不可以选若选3其它十几个3的倍数也不能选；那么很显然要从大数选；因为所给数全是奇数，则两个数之间不可能是2倍的关系，只可能是奇数倍例如3倍，5倍等等；99F3=33,所以从99开始选，一直选到35都不会出现一个是另一个的倍数；而从331都不能选；则一共可以选出35到99之间,一共33个数。故答案为：33.38.100^4=25（厘米）每段作为一个抽屉,四个抽屉,按照抽屉原理,一定有一段里有两个点,它们间距离不大于25cm.除7余1的数有8个；除7余2的数7个；除7余3的数有7个；取其中一个整除7的数有1个；最多可取8+7+7+1=23个数.故答案为：23个建立抽屉：把五种颜色看做5个抽屉,考虑最差情况：摸出4X5=20粒珠子，每个抽屉里面都有4粒，那么再任意摸出1粒珠子,无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉里出现5粒珠子,20+1=21（粒），答：至少要摸出21粒珠子，才能保证达到目的。因为任何两个不同的两位数相乘的积总是大于100，所以根据题中条件两个两位数不允许相邻，也就是说两个两位数之间应该插入一个一位数．题目要求“最多能挑选出多少个孩子”，所以两个1位数之间要设法插入一个两位数．解答：现在将九个一位数19排成圆圈，它们之间有9个间隔可以插入两位数，所以能挑选的孩子最多不能超过18个；答：最多能挑选出18个小孩子（1）根据题意4个（红球）+5个（黄球）+5个（黑球）+1=15个.所以至少要取15个小球.（2）根据题意7个（黄球）+8个（黑球）+1=16个.所以至少要取16个小球.放置一次用球的个数为：1+2+3+4+5=15（个），61F15=4（组）・・・1（个），4+1=5（个），答：至少有5个盒子中放的球的数目相同．分一次用书的本数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66（本，，400^66=6（组）一・4（本），所以400本可以分给6组同学，那么本数相同的至少是6人，则剩下的4本无论怎么分，都会使重复的本数的同学数至少增加一个，即至少有6+1=7个同学分到的本数相同。答：至少有7个同学分到的本数相同。因为一堆中的橘子数与苹果数的奇偶性只有下面四种情况：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），将这四种情况作为4个抽屉，五堆作为5件物品，46.5F4=1…11+1=2所以这五堆中至少有两堆的情况相同，苹果总数与橘子总数都是偶数.(1)、这是一道关于抽屉原理的试题，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉；(2)、把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米，如图、将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉.现在将这11个点放到这10个抽屉中去.根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点(包括这些线段的端点).由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米，据此求解即可.解答：10^10=1(厘米)每段作为一个抽屉，10个抽屉，按照抽屉原理，一定有一个抽屉里有两个点，就是说一定有两个点它们间的距离小于1厘米.答：在长度是10厘米的线段上任意取11点，至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米.边长为3的正三角形可平分成9个边长为1的小正三角形，即放入9个点后，第十个点必会与其他9个点中的某一个点距离小于或等于1按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边。又2:3H1:1,根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点。故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点。共有7x7=49个〃田〃字形，而这些"田"字形能取的值为4到16共13种,4910那么相同的至少有-9二3石,1313所以至少能保证个是相同的(1)、分析题意，想一想抽屉原理的意义及应用；、将1,2,3填入这些方格中，和最小是8X1=8,最大是：8X3=24,也就是说共有：24-8+1=17种情况；、而8行,8列,两条以角结共有：8+8+2=18种情况；据此根据抽屉原理判断解答.解答：不能,8个1,2,3的和最小8,最大24,一共17种,行列和对角线一共18条,必有两个相同,所以不能.分别列举出取其中的1只、3只、或4只盘中的全部糖果和取出2只相邻盘中的全部糖果的情况数,再把所有的情况数相加即可解答．解答：这样取出的糖果数量最多有13种,因为取1只盘子有4种取法;取3只盘子(即有1只不取),也有4种取法;取4只盘子只有1种取法;取2只相邻的盘子,在第1只取定后,(依顺时针方向),第2只也就确定了,所以也有4种取法,一共有：3X4+1=13(种)答：一共13种不同的方法。(1)当时,有可能不能覆盖12个数,比如每块扇形错开1个数摆放,盖住的数分别是：(12,1,2,3);(1,2,3,4);(2,3,4,5);(3,4,5,6);(4,5,6,7);(5,6,7,8);(6,7,8,9);(7,8,9,10)，都没盖住11，其中的3个扇形当然也不可能盖住全部12个数。(2)每个扇形覆盖4个数的情况可能是：(5,6,7,8)(9,10,11,12)覆盖全部12个数；(6,7,8,9)(10,11,12,1)覆盖全部12个数；(7,8,9,10)(11,12,1,2)覆盖全部12个数；(8,9,10,11)(12,1,2,3)覆盖全部12个数；当n=9时，至少有3个扇形在上面4个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部12个数。所以n的最小值是9.答：n的最小值是9.53•根据题意可知，三〜八年级有6个年级，每个年级至少有8道题与其它各年级都不同，可以得出，不同的题目至少是8X6=48(道)每个年级还剩下12-8=4(道)，如果某道题出现在不同年级，最多只能出现3次，可以令前三个年级剩下的题目相同，后三个年级剩下的题目相同，那么至少还需要4X2=8(道)然后解答即可.解答：根据题意，由分析可得：8X6+(128)X2=56(道).答：本届活动至少要准备56道决赛试题。把1，2，3，4，这四个编码看作4个抽屉，把40块相同的木块看作40个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要放2同色球，共需要2X4=8个再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：8+1=9（个），据此解答．解答：4X2+1=9（个）.答：至少要取出9个，才能保证其中至少有3个号码相同小球。根据题意，得8+2+1=11（根）答：至少要取11根才能保证达到要求。有两个，最坏的情况是红、黄、蓝、白四色的小球各2个从第一袋拿出最少要4个,可以保证至少有两个颜色一样的球.不妨设是白球拿了两个,红蓝各拿了一个,现在二袋中有5红,5蓝,6白,一袋中有3红3蓝2白.现在从二袋中拿球保证至少有一个白球就可以保证一袋每种颜色球都不少于3个.二袋5红,5蓝,6白,保证至少拿到一个白球,最少要拿11个,即刚好是5红,5蓝,1白.这样最后一袋有12-4+11=19球.二袋12+4-11=5球本题是一道实际中的问题,需要将实际问题转化为数学模型来求解。解此题的关键是理解“如果要求每次从中取出一个弹珠,从而得到2个相同颜色的弹珠”的意思。注意:本题的最大次数只与弹珠颜色种类有关,而与相同颜色的弹珠的数量无关。（1）、理解题意,认真分析“如果要求每次从中取出一个弹珠,从而得到2个相同颜色的弹珠”意思是什么?(2)、当有一次取到球的颜色和前面取到球的颜色相同,则为此次取球的次数,要使取的次数最多,就要求每次尽量取与前面颜色不同的弹珠,即要将所有颜色的弹珠都取遍,相信你有思路了吧!解答：解:根据题意,共有白、红、绿、蓝、黄、棕、黑、紫8中颜色。要使取的次数最多,就要求每次尽量取与前面颜色不同的弹珠,即要将所有颜色的弹珠都取遍。可以使前8次中取出的弹珠没有相同的颜色,则第9次取出的弹珠的颜色必定与前8次取出的某个弹珠的颜色相同,故最多需要取9次使得有2个相同颜色的弹珠。此题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活应用，先算出这100个数中有几个是4的倍数，则剩下的数都不是4的倍数，再用这些数的个数+1即可求解.注意这里要考虑最极端情况.、本题属于抽屉原理，主要考查学生对抽屉原理的应用；、若要保证抽出的数的乘积能被4整除，只须保证这个乘积是4的倍数即可；、先算出100个数中，4的倍数一共有几个•用100F4即可求出4的倍数个数；、剩下的数即(100-4的倍数个数)个数不是4的倍数•在最不利的情况下,如果先抽到的数正好是这(100-4的倍数个数)个数，此时，只要再从4的倍数个数中任意取一个数，就可以满足条件，据此解答即可．解答：在这100个数中，4的倍数有：100^4=25(个)至少抽：100-25+1=76(张)答：至少要随意抽出76张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被4整除.建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54-2）^4=13,所以一共有13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、・・・K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．解答：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，15+1=16（张），答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数。