水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 基础班 教务电话:010-62701055 010-82378805
教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民
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水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 春季基础班 数学一
一、 选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。
(1) 当 时, 与0→x ( ) axxxf sin−= ( ) ( )bxxxg −= 1ln2 等价无穷小,则( )。
(A)
6
1,1 −== ba . (B)
6
1,1 == ba .
(C)
6
1,1 =−= ba . (D)
6
1,1 =−= ba .
( 2 ) 如 图 , 正 方 形 ( ){ }1,1, ≤≤ yxyx 被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域
,则( ) ∫∫==
KD
KK xdxdyyIkD cos,4,3,2,1 { }kk I41max≤≤ =( )。
dD1
X
Y
-1
-1 1
1
D1
D2
D3
D4
(A) (B) (C) (D) 1I 2I 3I 4I
(3) 设函数 在区间 [ 上的图形为下图, 函数 ,则下列命题中
错误的是( )。
)(xfy = ]
]
2,1− ( )
0
( )
x
F x f t dt= ∫
(A) 在区间 [( )xF 2,1− 上有 ( ) )(xfxF =′ (B) ( )xF 在 )1,1(− 内至少有一个零点
(C) 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点 ( )xF )2,1(−
(D) 在区间 [( )xF ]2,1− 上连续,但不一定可导。
)(xf
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-2 -1 0 1 2 3 x
-1
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(4)设有两个数列{ } { },, nn ba 若 0lim =∞→ nn a 则( )。
(A)当 收敛时, 收敛。 (B)当∑ 发散时,∑ 发散。 ∑∞
=1n
nb ∑∞
=1n
nnba
∞
=1n
nb
∞
=1n
nnba
(C)当∑∞
=1n
nb 收敛时, 收敛。 (D)当∑∞
=1
22
n
nnba ∑∞
=1n
nb 发散时, 发散。 ∑∞
=1
22
n
nnba
( 5 ) 设 是 3 维 向 量 空 间32,1 ,aaa 3R 的 一 组 基 , 则 由 基 321 3
1,
2
1, aaa 到 基
133221 ,, aaaaaa +++ 的过渡矩阵为( )。
(A) (B) (C)
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
330
022
101
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
301
320
021
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
6
1
4
1
2
1
6
1
4
1
2
1
6
1
4
1
2
1
(D)
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
6
1
6
1
6
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
(6) 设 A,B 均为 2 阶矩阵, 分别为 A,B 的伴随矩阵,若∗∗ BA , ,3,2 == BA 则分块矩阵
的伴随矩阵为( )。 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
0B
AO
(A) (B) (C) (D)⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∗
∗
OA
BO
2
3
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∗
∗
OA
BO
3
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∗
∗
OB
AO
2
3 *
*
2
3
O A
B O
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(7) 设随机变量 X 的分布函数为 ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Φ+Φ=
2
17.03.0 xxxF 其中 )(xΦ 为标准正态分布
函数,则EX =( )。
(A)0. (B)0.3. (C)0.7 (D)1.
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X 服从标准正态分布 N(0,1),Y 的概率分布为
{ } { }
2
110 ==== YPYP , 记 为随机变量 Z=XY 的分布函数,则函数 的间断点
个数为( )
)(zFZ )(zFZ
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上。
(9)设函数 具有二阶连续偏导数,( vuf , ) ( )xyxfz ,= 则
yx
z
∂∂
∂ 2 = 。
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程 0=+′+′′ byyay 的通解为 ( ) ,21 xexCCy += 则非
齐次方程 满足条件xbyyay =+′+′′ ( ) ( ) 00,20 =′= yy 的解为 = 。 y
(11)已知曲线 ( )20: 2 ≤≤= xxyL ,则 。 ∫Lxds
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(12)设 ( ){ }1,, 222 ≤++=Ω zyxzyx ,则 = 。 ∫∫∫
Ω
dxdydzz 2
(13)若 3 维向量 β,a 满足 ,其中 为 的转置,则矩阵 的非零特征值
为
2=βTa Ta a Taβ
。
(14)设 为来自二项分布总体mXXX ,,, 21 L ( )pnB , 的简单随机样本, X 和 分别为样
本均值和样本方差。若
2S
2kSX + 为 的无偏估计量,则2np =k 。
三、解答题:15-23 小题,共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分 9 分)求二元函数 ( ) ( ) yyyxyxf ln2, 22 ++= 的极值。
(16)(本题满分 9 分)设 为曲线na nxy = ( )L,2,11 == + nxy n 与所围成区域的面积,记
求 与 的值。 ,,
1
122
1
1 ∑∑ ∞
=
−
∞
=
==
n
n
n
n aSaS 1S 2S
(17)(本题满分 11 分)椭球面积 是椭圆1S 134
22
=+ yx 绕 x轴旋转而成,圆锥面积 是
过点 且与椭圆
2S
( 0,4 ) 1
34
22
=+ yx 相切的直线绕 x轴旋转而成。
(I)求 及 的方程;(II)求 及 之间的立体体积。 1S 2S 1S 2S
(18)(本题满分 11 分)(I)证明拉格朗日中值定理:若函数 ( )xf 在 [ ]ba, 上连续,在
可导,则存在
( )ba,
( ba,∈ )ξ 使得 ( ) ( ) ( )( )abfafbf −′=− ξ 。
(II)证明:若函数 ( )xf 在 处连续,在0=x ( )( )0,0 >δδ 内可导,且 ,则
存在,且 。
( ) Axf
x
=′+→0lim ( )0+′f
( ) Af =′+ 0
(19)(本题满分 10 分)计算曲面积分 ( )∫∫∑ ++
++=
2
3
222 zyx
zdxdyydzdxxdydzI 其中 Σ 是曲面
的外侧。 422 222 =++ zyx
(20)(本题满分 11 分)设 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
=
2
1
1
,
240
111
111
1ξA
(Ⅰ)求满足 的所有向量13212 , ξξξξ == AA 32 ,ξξ ;
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(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量 32 ,ξξ ,证明: 321 ,, ξξξ 线性无关。
(21)(本题满分 11 分)设二次型 3231232221321 22)1(),,( xxxxxaaxaxxxxf −+−++=
(Ⅰ)求二次型 的矩阵的所有特征值;(Ⅱ)若二次型 的
形为 ,求 a 的值。 f f 2221 yy +
(22)(本题满分 11 分)袋中有一个红色球,两个黑色球,三个白球,现有放回的从袋中取
两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。
①求 { 01 == ZXP }。②求二维随机变量 ( )YX , 的概率分布。
(23)(本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为 ,其中参数
⎩⎨
⎧ >=
−
.,0
0,
)(
2
其他
,xxe
xf
xλλ
( 0> )λλ 未知, 是来自总体 X 的简单随机样本。 nxxx ,..., 21
(I) 求参数λ的矩估计量;(II)求参数λ的最大似然估计量。
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