降落伞的选择问题

----可修编.降落伞的选择问摘要本文根据降落伞在空间下落的高度与时间的关系求出下落过程中受到的空气阻力系数，从而得出不同降落伞的载重。依据价格与载重量的函数用lingo软件进行拟合，在载重量确定的条件下如何优化降落伞的选择从而达到支出最少的目的。关键词：阻力系数；matlab；lingo;线性规划；数据拟合一、问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长L,共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。r（m）22.533.54费用（元）651703506601000降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度时刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551试根据以上条件确定降落伞的选购，即共需多少个，每个伞的半径多大（表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。二、模型假设针对降落伞下落的问题，需要对具体的空投做出讨论，但是考虑到空投瞬间直升机处于近似静止状态，故作出以下假设：降落伞下降瞬间初速度为0；物资可以根据需要进行任意分割；降落伞只受到空气阻力和物资重力的作用，不考虑风速的影响；降落伞及其绳索的质量近似为0；降落伞在投放瞬时已经打开；假设；基于以上假设，我们可以根据物理公式降落伞下降时所收到的力的合力为降落伞的加速度（速度对时间的导数），左右两边同时积分从而转换到位移和时间的关系采用表格中给出的位移和时间的一系列相关点并通过matlab拟合得到位移-时间函数中的未知参数，进而得到阻力系数。根据降阻力与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比从而获得阻力系数k，获得不同型号的降落伞的半径与载重的关系。每种降落伞的价格由三部分C1，C2，C3组成，每种降落伞的总费用C=C1+C2+C3，根据总载重量不低于2000kg，采用Lingo进行拟合仿真，从而得到最优解。三、符号符号名称符号含义k空气的阻力系数g重力加速度（取9.8m/）v降落伞的瞬时速度r降落伞的半径s降落伞的伞面积m降落伞的载重量a降落伞的加速度h降落伞离地面的高度t降落伞下落的时间x1,x2,x3,x4,x5每种降落伞的购买数量s降落伞的位移四、模型的建立与求解重力mg4.1首先对伞下落过程进行受力空气阻力f根据牛顿第二定律有：Mg－f=ma;同时有f=ksv;带入式中，得到Mg－ksv=m考虑到题目中给出的是关于下降的高度与时间的函数关系，故想到将上述公式转换为有关高度和时间的关系式；Mg－ksv=m··········对两段同时积分····t=0时刻v=0;从而解出c,得到v的表达式：左右两边同时对t进行积分，则左边变成位移s，右边变成有关t的函数，积分以后得到的结果如下：由于降落伞是从500m高空下落，故有4.2采用matlab进行数据拟合部分：对x(t进行拟合)（1）直接带入位移时间点进行matlab拟合，得到的结果如下：所得分析报表如下：结果发现A为负值，不符合实际情况，虽然拟合的比较好，但是由于采用了多个未知变量导致求出来的K值相差很大，故需要改变，于是我们想到了另一个方法见4.2.2采用matlab带入已知参数值直接进行数据拟合，将表中位移-时间点带入，则有经过对结果进行分析，发现和方差SSE为5420，均方根RMSE为23.28，确定系数R-square为0.9812，因此所得的结果方差比较大，波动比较大，吻合度不高，且确定系数才0.9812，有待改进，于是经过组员讨论，可能是因为采用了exp函数导致matlab软件在数位上有所取舍从而导致结果的精确度不高，经过对exp函数的研究，我们决定将其进行泰勒展示展开，采用线性拟合可能得到比较好的效果。将函数进行泰勒展开，得到关于变量t的多项式进行拟合；根据前面的分析，我们做了直接用MATLAB中curvefittingtool的rational直接进行多项式拟合，发现拟合效果比较理想，求出来的k约等于3.046,确定系数为0.9979，拟合效果非常理想。以下是我们对比上面三个拟合方法得到的比较图：根据kvs=mg及由前面求出的k值带入到有关位移s的函数中去，求出关于速度和位移的关系式，由v>=20m/s得出不同半径的降落伞相应的载重量m的最大值。编写MATLAB程序求解m：k=3.046;g=9.8v=20;r=[4,6.25,9,12.25,16]';s=pi*2*r;m=k*s*v/g经过运行matlab程序后，我们得到了五种不同半径的降落伞的最大载重量，依次是解得m=156.2333244.1146351.5250478.4646624.9333然后根据空投物资的重量确定关系式1：156.2333*x1+244.1146*x2+351.525*x3+478.4646*x4+624.9333*x5>=2000然后根据不同降落伞的价格C=C1+C2+C3；其中C1可以通过表格知道，C2=16*r*4;C3=200;故在满足空投物资重量大于等于2000kg的情况下，购买降落伞的花费为：C=(265+128*1.414)*x1+(370+160*1.414)*x2+(550+1.414*192)*x3+(860+224*1.414)*x4+(1200+256*1.414)*x5针对此类最优化解的问题，可以采用Lingo软件进行求解，得到相应的x1,x2,x3,x4,x5;运用lingo软件求解最优解，程序如下：min=(265+128*1.414)*x1+(370+160*1.414)*x2+(550+1.414*192)*x3+(860+224*1.414)*x4+(1200+256*1.414)*x5;156.2333*x1+244.1146*x2+351.525*x3+478.4646*x4+624.9333*x5>=2000;求解得到Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:4673.852Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX10.00000080.88630X20.00000025.76218X35.6894960.000000X40.00000058.59952X50.000000101.5610RowSlackorSurplusDualPrice14673.852-1.00000020.000000-2.336926考虑到现实情况降落伞个数只能是整数，故购买方案可以是：方法一，购买6个r=3的降落伞，此时的总费用为W1=821.529004*6=4929.17，方法二，购买5个3号降落伞，剩余物资总质量为242.375kg,这些物资可用一个2号降落伞，总费用为W2=821.529004*5+244.1146=4351.76，方法三，购买5个3号降落伞，两个1号降落伞，总费用为W3=821.529004*5+156.2333*2=4420.11经过分析，明显二号购买方案比较划算，即购买半径为2.5m的降落伞一个，半径为3m的降落伞5个，总共花费为4351.76元。五、模型分析与评价此模型关于降落伞在空中下落的问题进行了认真严谨的分析，采用牛顿定律对其进行受力分析从而得到位移时间函数，过程清晰明了，且在进行matlab拟合时对得到的位移时间函数进行变换修正，在3次拟合之后得到了比较准确的结果，之后采用了Lingo软件进行最优解的拟合，得到了最后的结论。整个模型思维缜密，尤其是在对关于h(t)的函数上采用泰勒展开时非常独特而有效地方法，有效地提高了模型的精确度，得到了更加准确的结果。不足：此模型忽略了降落伞的重量和风速的影响，未能全面的考虑到实际情况，与真实的情况有一定的出入。参考文献：《Lingo从入门到精通》高等教育；《数学模型在实际生活中的应用》华中科技；