2023年江苏省宜兴重点学校中考数学复习综合卷三及参考答案

PAGE\*MERGEFORMAT1宜兴重点学校2023年中考数学复习综合卷三姓名：___________班级：___________一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．计算的值是（    ）A．B．C．D．2．下列式子中，正确的是(　　)A．B．C．D．3．如图，直线，直线c交直线a、直线b与A、B两点，，，则的度数为（　　）A．B．C．D．4．如图是某几何体的三视图，则该几何体（    ）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱5．三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可以是（    ）A．2B．4C．8D．96．为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（    ）A．B．C．D．7．下列变形中正确的是（    ）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得8．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，过点作轴于点，点在线段上，若，连接、，则的面（    ）A．5B．6C．7D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．分解因式：______．10．函数y＝的自变量x的取值范围是_____．11．在一次体育达标测试中，某小组6名学生的立定跳远成绩如下：9，，6，6，8，4．其中这组数据的众数是6和8，则这组数据的中位数是______．12．不等式的解为___________．13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围为______．14．如图，扇形中，，，点C为的中点，过点C作，交弧于点D，沿将扇形上半部分折叠，则阴影部分的面积为______．15．中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式：___________；16．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．17．如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．18．如图，矩形中，，，点，分别为，边上的点，现将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在边上且，则线段的长度为______．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（8分）计算：；20．（8分）解方程：．21．（8分）如图，中，E、F分别是、的中点，求证：．22．（8分）“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为A（），B（），C（），D（）四个等级，并制作出不完整的统计图如下．已知：B等级数据（单位：分）：80808182858686888989根据以上信息，回答下列问题：(1)补全条形统计图，并填空：m=______，n=______．(2)抽取的m名学生中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______．(3)这所学校共有2105名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数．23．（10分）不透明的袋中装有个黄球（用表示）与个白球（分别用、表示），这些球除颜色外都相同，将其搅匀．(1)从中摸出个球，恰为白球的概率等于．(2)从中摸出个球，放回搅匀，再摸出个球，用树状图或列表的方法求两次摸出的球颜色相同的概率．24．（10分）如图，小明同学看见斜坡上有一棵小树，他想测量小树的高度，站在坡底B处，目光从点A出发，以水平视线观察小树底端Q，即，在阳光照射下，小树的影子顶端与小明的影子顶端在地面的点G处重合（可视为P，A，G三点在同一直线上）．小明通过测量估算斜坡的坡度，，，，，图中所有点均在同一平面内，请你根据题中数据计算小树的高度．（结果精确到0.1m）25．（10分）如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．26．（10分）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如下表：进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次第二次(1)求甲、乙两种笔记本的购买单价；(2)若第三次用不超过元购买甲、乙两种笔记本共本，求至少购买甲种笔记本多少本？27．（12分）如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至，使，垂直于弦，垂足为点，点在上．(1)当与相切时，求的度数；(2)芳芳观察后发现，的值为，点点说的值随动点的变化而变化，你为谁的结论是正确的，请给予证明；(3)设，求与之间的函数关系式．28．（12分）如图，抛物线与y轴相交于点C，且经过两点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线在x轴下方图形上的一动点，是否存在点P，使，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；(3)若抛物线顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，点Q为x轴上一动点，以Q、M、N为顶点的三角形与相似．请直接写出点Q坐标．答案解析一、单选题1．计算的值是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】一个负数的绝对值是它的相反数．【详解】解：的值是．故选：．【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是的知识是解题的关键．2．下列式子中，正确的是(　　)A．B．C．D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方，单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；    B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；    D.，故该选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握以上运算法则与乘法公式是解题的关键．3．如图，直线，直线c交直线a、直线b与A、B两点，，，则的度数为（　　）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，求出，再根据平行线的性质求出的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．4．如图是某几何体的三视图，则该几何体（    ）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱【答案】C【分析】根据主视图和左视图能确定是柱体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图为三角形，∴该几何体是三棱柱．故选C．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．5．三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可以是（    ）A．2B．4C．8D．9【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【详解】解：根据三角形的三边关系，得故第三边的长度，即，∴这个三角形的第三边长可以是4．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．6．为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则列方程为．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．7．下列变形中正确的是（    ）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得【答案】D【分析】求出一元一次不等式的解集，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.由，得，故该选项错误；B.由，得，故该选项错误；C.由，得，故该选项错误；D.由，得，故该选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，注意不等式两边同乘以一个负数不等号方向发生改变，是解题的关键．8．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，过点作轴于点，点在线段上，若，连接、，则的面（    ）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】设则，，，，进而可知，，，，如图，连接，根据，计算求解即可．【详解】解：设则，∵为线段中点，，∴，，∴，∴，，，，如图，连接，∴故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中点坐标．正确的表示各点坐标、各线段长度是解题的关键．二、填空题9．分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，再用公式法因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．函数y＝的自变量x的取值范围是_____．【答案】x≥2且x≠3/x≠3且x≥2【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可．【详解】解：由题意得：，解得：x≥2且x≠3，故答案为：x≥2且x≠3．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，用到的为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为0．11．在一次体育达标测试中，某小组6名学生的立定跳远成绩如下：9，，6，6，8，4．其中这组数据的众数是6和8，则这组数据的中位数是______．【答案】7【分析】根据众数的概念可知，然后将这组数据从小到大排列，由中位数的概念确定答案即可．【详解】解：根据题意，这组数据的众数是6和8，可知，将这组数据从小到大排列为：4，6，6，8，8，9，故这组数据的中位数是：．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了众数和中位数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．12．不等式的解为___________．【答案】/【分析】根据不等式的性质移项，合并同类项，系数化为1即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键．13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围为______．【答案】【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的取值．【详解】解：方程有两个相等的实数根，，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．14．如图，扇形中，，，点C为的中点，过点C作，交弧于点D，沿将扇形上半部分折叠，则阴影部分的面积为______．【答案】【分析】连接、，证明为等边三角形，得出，求出，求出，根据扇形面积公式求出，求出，再求出，即可求出．【详解】解：连接、，如图所示：根据折叠可知，，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∵C为的中点，∴，，∴,∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握扇形面积公式．15．中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式：___________；【答案】【分析】观察已知的三个等式可得第n个等式．【详解】解：∵第1个等式；第2个等式；第3个等式；∴第n个等式：；故答案为：．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键．16．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．【答案】2，，1【分析】将代入，得，由函数的图象上存在唯一“平衡点”，可得有两个相等的实数根，，求解即可．【详解】解：将代入，得：，即，函数的图象上存在唯一“平衡点”，有两个相等的实数根，，解得：或，当时，是一次函数，有唯一“平衡点”，故答案为：2，，1．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的特征，新定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一次函数的性质，理解“平衡点”的定义是解题的关键．17．如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解．【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，当点在点处时，∵，，∴，当点在点处时，延长交的延长线于点，∵，，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，，∴即，∴是正三角形，∴，∴，故答案为（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．18．如图，矩形中，，，点，分别为，边上的点，现将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在边上且，则线段的长度为______．【答案】/2.5【分析】作于点G，设，则，由平行线分线段成比例定理可得．利用勾股定理表示出的长，证明，利用相似三角形的性质求出x的值即可求解．【详解】如图，作于点G，∵矩形中，，，∴，．设，则．∵，∴，∴，∴．∵沿直线翻折，∴，，．∵，∴．∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．三、解答题19．计算：；【答案】0【分析】由零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．【详解】解：原式，                              ．【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．20．解方程：．【答案】【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可．【详解】解：，，，，，，检验：当时，；当时，；∴是原分式方程的解．【点睛】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．21．如图，中，E、F分别是、的中点，求证：．【答案】见解析．【分析】由四边形是平行四边形得，且，结合题意易得，且，即可证明四边形是平行四边形可得结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，且，又∵E、F分别是、的中点，∴，，即：，且，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质；解题的关键是由平行四边形的性质得到，且．22．“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为A（），B（），C（），D（）四个等级，并制作出不完整的统计图如下．已知：B等级数据（单位：分）：80808182858686888989根据以上信息，回答下列问题：(1)补全条形统计图，并填空：m=______，n=______．(2)抽取的m名学生中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______．(3)这所学校共有2105名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数．【答案】(1)50，20，图见详解(2)，(3)成绩能达到A等级的学生人数约为842名【分析】（1）由图得等级有人，占，可求，从而可求和等级的人数，即可求解；（2）把数据按从小到大排列后，中间两个数是、，可求中位数，由图可得和等级的人数，从而可求；（3）由图可得等级的人数，可求所占百分比，从而可进行估算．【详解】（1）解：由图得：等级有人，占，，，．故答案：50，20．等级的人数：，补全条形统计图如图：（2）解：把数据按从小到大排列后，中间两个数是、，中位数是；．故答案：，．（3）解：（名），答：成绩能达到A等级的学生人数约为842名．【点睛】本题考查了从统计图提取信息，中位数的定义，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键．23．不透明的袋中装有个黄球（用表示）与个白球（分别用、表示），这些球除颜色外都相同，将其搅匀．(1)从中摸出个球，恰为白球的概率等于．(2)从中摸出个球，放回搅匀，再摸出个球，用树状图或列表的方法求两次摸出的球颜色相同的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率公式直接求解；（2）根据列表法求概率即可求解．【详解】（1）解：不透明的袋中装有个黄球与个白球，共有个球从中摸出个球，恰为白球的概率等于，故答案为：；（2）列表如下，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有5种，∴两次摸出的球颜色相同的概率为．【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．24．如图，小明同学看见斜坡上有一棵小树，他想测量小树的高度，站在坡底B处，目光从点A出发，以水平视线观察小树底端Q，即，在阳光照射下，小树的影子顶端与小明的影子顶端在地面的点G处重合（可视为P，A，G三点在同一直线上）．小明通过测量估算斜坡的坡度，，，，，图中所有点均在同一平面内，请你根据题中数据计算小树的高度．（结果精确到0.1m）【答案】【分析】首先延长交于点，由可得四边形为矩形，进而得出，然后由斜坡的坡度可得出，再证明，根据相似三角形的性质可得出结论【详解】如图，延长交于点，，∴四边形为矩形，，∵斜坡的坡度，即，，解得，，，，，即，，解得，，【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，关键是构造直角三角形根据相似三角形的判定与性质求解．25．如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据切线的判定得出即可；（2）根据含角的直角三角形的性质求出，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．【详解】（1）直线与的位置关系是相切，理由是：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵过点O，∴直线与的位置关系是相切；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，即，解得：，∴阴影部分的面积．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形的面积计算和三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．26．某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如下表：进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次第二次(1)求甲、乙两种笔记本的购买单价；(2)若第三次计划用不超过元购买甲、乙两种笔记本共本，求至少购买甲种笔记本多少本？【答案】(1)甲种笔记本的进价为元/本，乙种笔记本的进价为元/本(2)至少购买甲种笔记本本【分析】（1）设甲种笔记本的单价为元，乙种笔记本的单价为元，利用总价单价数量，结合“若买甲种笔记本本，乙种笔记本本，需用元，买甲种笔记本本，乙种笔记本本，需用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种笔记本本，则购买乙种笔记本本，利用总价单价数量，根据总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）解：设甲种笔记本的进价为元/本，乙种笔记本的进价为元/本，由题意得：，解得：，答：甲种笔记本的单价为元/本，乙种笔记本的单价为元/本．（2）设甲种笔记本购买本，乙种笔记本购买本，由题意得：，解得：，答：至少购买甲种笔记本本．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．27．如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至，使，垂直于弦，垂足为点，点在上．(1)当与相切时，求的度数；(2)芳芳观察后发现，的值为，点点说的值随动点的变化而变化，你为谁的结论是正确的，请给予证明；(3)设，求与之间的函数关系式．【答案】(1)(2)芳芳正确，证明见解析(3)【分析】当是的切线时，则，则，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出结论；（2）连接，是的直径，，又得出，证明，进而即可求解．（3）连接，根据题意得出，又，所以，再根据，则，然后证，得，因为，代入即可求解．【详解】（1）证明：当是的切线时，则，，，，，．；（2）解：芳芳正确，如图所示，连接，是的直径，，，又，则，即，芳芳正确；（3）解：如图，连接，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的性质，正切的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．28．如图，抛物线与y轴相交于点C，且经过两点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线在x轴下方图形上的一动点，是否存在点P，使，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；(3)若抛物线顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，点Q为x轴上一动点，以Q、M、N为顶点的三角形与相似．请直接写出点Q坐标．【答案】(1)(2)存在，(3)或或或【分析】（1）将代入，求解的值，进而可得抛物线解析式；（2）如图1，作交于，使，延长交轴于，过作于，当，，可得，证明，则，即，解得，在中，由勾股定理得，为的平分线，设，根据，即，求的值，进而可得坐标，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解可得点坐标；（3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，当，，可得，，，以Q、M、N为顶点的三角形与相似，且，分，两种情况求解；设，则，根据相似关系求的值，然后求值，进而可得点坐标．【详解】（1）解：将代入得，，解得，∴，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图1，作交轴于，使，延长交轴于，过作于，当，，∴，∵，，∴，∴，即，解得，在中，由勾股定理得，∵，∴为的平分线，∴，设，∴，即，∴，解得，∴，设直线的解析式为，将代入得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得，，∴；（3）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，当，，∴，，，∵以Q、M、N为顶点的三角形与相似，且，∴分，两种情况求解；设，则，①当时，，即，解得，∴，解得，，∴此时的点坐标为或；②当时，，即，解得，∴，解得，，∴此时的点坐标为或；综上所述，点坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与角度综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．