【易错题】高中必修二数学下期末试卷(附答案)

【易错题】高中必修二数学下期末试卷(附)一、选择题1．设集合A1,2,4，Bxx24xm0．若AB1，则B()A．1,3B．1,0C．1,3D．1,52．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）51A．0,B．1,4C．,2D．5,5223．已知数列{a}的前n项和S2n2n，那么它的通项公式是（）nnA．a2n1B．a2n1nnC．a4n1D．a4n1nn4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为A．1B．2C．3D．45．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是38A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称3C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减62ax1(x1)6．已知函数f(x)x在R上单调递增，则实数a的取值范围是x22x(x1)A．0,1B．0,1C．1,1D．1,17．函数yx2ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．8．定义在R上的奇函数fx满足fx2fx，且当x0,1时，fx2xcosx，则下列结论正确的是（）2020201920202019A．fff2018B．f2018ff32322019202020192020C．f2018ffD．fff201823239．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④sincos10．若tan()2，则（）4sincos11A．B．2C．2D．22ax,x111．若函数fx是R上的减函数，则实数a的取值范围是()23ax1,x123232A．,1B．,1C．,D．,3434312．在正三棱柱ABCABC中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC与侧面1111ACCA所成角的大小为（）1A．30B．45C．60D．90二、填空题13．函数y2sin2x（x0,）为增函数的区间是．614．若直线xy1与直线(m3)xmy80平行，则m______________．15．如图，在正方体ABCDABCD中，E、F分别是DD、DC上靠近点D的三等11111分点，则异面直线EF与AC所成角的大小是______.1116．在四面体ABCD中，AB=AD2,BAD60,BCD90，二面角ABDC的大小为150，则四面体ABCD外接球的半径为__________．17．函数ysinx3cosx的图像可由函数y2sinx的图像至少向右平移________个单位长度得到．18．在△ABC中，a8，b5，面积为12，则cos2C=______．419．设为锐角，若cos()，则sin(2)的值为______.6512320．已知A2,3,B4,3，点P在直线AB上，且APPB，则点P的坐标为2________三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆M:x2y214x12y600及其上一点A(4,2).（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线y6上，求圆N的方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且BCOA，求直线l的方程.π22．已知函数fx=Asinx(A0,0)的部分图象如图所示．6(1)求A,的值;(2)求fx的单调增区间;ππ(3)求fx在区间,上的最大值和最小值．6423．已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1||x1|．（1）当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．24．已知函数fxsinx0,的部分图象如图所示.2(1)求函数fx的解析式，并写出fx的最小正周期；1π(2)令gxfx，若在x0,内，方程a12g2x3agx20有212且仅有两解，求a的取值范围.25．记S为等差数列{a}的前n项和，已知a7，S15．nn13（1）求{a}的通项公式；n（2）求S，并求S的最小值．nn．已知函数＝x＋＋∈是偶函数．26f(x)log4(41)kx(kR)(1)求k的值；4(2)设g(x)＝loga•2x－a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的43取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】∵集合A1，2，4，Bx|x24xm0，AB1∴x1是方程x24xm0的解，即14m0∴m3∴Bx|x24xm0x|x24x3013，，故选C2．C解析：C【解析】∵函数y=f(x)定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x−1⩽3，1解得−⩽x⩽2，21即函数的定义域为,2，2本题选择C选项.3．C解析：C【解析】分类讨论：当n1时，aS213，11当n2时，aSS(2n2n)2(n1)2n14n1，nnn1且当n1时：4n14113a1据此可得，数列的通项公式为：a4n1.n本题选择C选项.4．B解析：B【解析】：由题意结合图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：N20,i2,T0，N2010，结果为整数，执行TT11，ii13，此时不满足i5；i2N20，结果不为整数，执行ii14，此时不满足i5；i3N205，结果为整数，执行TT12，ii15，此时满足i5；i4跳出循环，输出T2.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5．D解析：D【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；8π8ππf＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；333πππππ∵f(x＋π)＝cosxπ＝－cosx，∴fπ＝－cos＝－cos＝3366320，故C正确；2π2ππ由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在,上不单调，3332故D错误．故选D.6．C解析：C【解析】x⩽1时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，aax>1时,fxx1,fx10在(1,+∞)恒成立，xx2故a⩽x2在(1,+∞)恒成立，故a⩽1，而1+a+1⩾1，即a⩾−1，综上,a∈[−1,1]，本题选择C选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由－的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为f(x1)f(x2)不等式恒成立问题．7．A解析：A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。【详解】由题函数定义域为x0，f(x)(x)2ln|x|x2ln|x|f(x)，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当x0时，y，则函数图像大致为A选项所示.故选：A【点睛】此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。8．C解析：C【解析】【分析】根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）2019120207的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0），ff，ff22312然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x）是奇函数；∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；∴f（x）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），2019120207ff,ff∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-cosx单调递增；223121720192020∴f(0)＜f＜f∴f2018ff,故选C.21223【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．C解析：C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC如图所示，由于MN//AC,NP//BC，根据面面平行的性质定理可知平面MNP//平面ACB，所以AB//平面MNP.对于②，连接BC交MP于D，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以在平面ABC内AB与DN相交，所以直线AB与平面MNP相交.对于③，连接CD，则AB//CD，而CD与PN相交，即CD与平面PMN相交，所以AB与平面MNP相交.对于④，连接CD，则AB//CD//NP，由线面平行的判定定理可知AB//平面MNP.综上所述，能得出AB//平面MNP的图形的序号是①④.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10．D解析：D【解析】tan11由tan()2有2,tan，所以41tan311sincostan131，选D.1sincostan1123点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。11．C解析：C【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a的取值范围.【详解】当x1时，ax为减函数，则0a1，2当x1时，一次函数23ax1为减函数，则23a0，解得：a，33且在x1处，有：23a11a1，解得：a，423综上可得，实数a的取值范围是,.34本题选择C选项.【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．12．A解析：A【解析】【分析】由题意，取AC的中点O，连结BO,CO，求得BCO是BC与侧面ACCA所成的11111角，在BCO中，即可求解．1【详解】由题意，取AC的中点O，连结BO,CO,1因为正三棱柱ABCABC中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，111所以BOAC,BOAA，1因为ACAAA，所以BO平面ACCA，111所以BCO是BC与侧面ACCA所成的角，11111313因为BO1()2,CO(2)2()2，221223BO3所以tanBCO2，1OC3312所以BCO300，BC与侧面ACCA所成的角300．1111【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到BCO是BC与侧面ACCA所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，1111以及转化与化归思想，属于中档．二、填空题13．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答5解析：,36【解析】试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即5,所以,故答案为,.36考点：三角函数的图象和基本性质的运用．【易错点晴】本题以函数y2sin2x的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函6数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数y2sin2x进行变形,将其变形为一般式,将其转化6为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.14．【解析】【分析】由题意得到关于m的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件3解析：2【解析】【分析】由题意得到关于m的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：1m1m30，333解得：m，此时两直线方程分别为：xy1，xy80，2223两直线不重合，据此可知：m.2【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等解析：60【解析】【分析】连接CD，可得出EF//CD，证明出四边形ABCD为平行四边形，可得AB//CD，可得111111出异面直线EF与AC所成角为BAC或其补角，分析ABC的形状，即可得出111111BAC的大小，即可得出答案.11【详解】DEDF1连接CD、AB、BC，，EF//CD，111DDDC311在正方体ABCDABCD中，AD//AD，AD//BC，AD//BC，11111111所以，四边形ABCD为平行四边形，AB//CD，1111所以，异面直线EF与AC所成的角为BAC.1111易知ABC为等边三角形，BAC60.1111故答案为：60.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.16．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径解析：213【解析】画出图象如下图所示,其中E为等边三角形BD边的中点,O为等边三角形的中心(等边三角1形四心合一);球心O在E点的正上方,也在O点的正上方.依题意知1323OEO60,OE,OA,在RtOOE中OOOEtan601,所以外接圆11313111421半径rOAOO2OA21.113317．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出解析：3【解析】试题分析：因为ysinx3cosx2sin(x)，所以函数ysinx3cosx的的3图像可由函数y2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到．3【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．18．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形7解析：25【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C．【详解】由题意，在ABC中，a8，b5，面积为12，13则SabsinC20sinC12，解得sinC．2597∴cos2C12sin2C12．25257故答案为．25【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦172解析：50【解析】42724试题分析：cos(2)21，sin(2)，所以3525325sin(2)sin(2)12342247172.2252550考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍427角，并且加了，我们考虑它的二倍角的情况，即cos(2)21，同6352524时求出其正弦值sin(2)，而要求的角sin(2)sin(2)，再利3251234用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.20．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意163解析：(8,-15)，,55【解析】【分析】33设点Px,y,得出向量APBP,APBP,代入坐标运算即得P的坐标，得到关于22x,y的方程，从而可得结果.【详解】设点Px,y,3因为点P在直线,且|AP||PB|,233APBP,APBP,2233(x2,y3)(x4,y3)或,(x2,y3)(x4,y3)，222x43x122x43x12即或,2y63y92y63y916xx85解得或;y153y5163即点P的坐标是(8,-15)，,.55【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.三、解答题21．（1）(x1)2(y6)21（2）x2y150或x2y50.【解析】【分析】（1）根据由圆心在直线y=6上，可设Nx,6，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到0圆N的半径为x和7x5x得解.000（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M的标准方程为(x7)2(y6)225，所以圆心M（7，6），半径为5,.由圆N圆心在直线y=6上，可设Nx,60因为圆N与y轴相切，与圆M外切所以0x7，圆N的半径为x00从而7x5x00解得x1.0所以圆N的标准方程为(x1)2(y6)21.201（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.4021设直线l的方程为yxm，即x2y2m02则圆心M到直线l的距离|7122m||2m5|d55因为BCOA224225BC2而MC2d22(2m5)2所以2555155解得m或m.22故直线l的方程为x2y150或x2y50.【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.πππ22．(1)A1,?2;（2）单调递增区间为kπ,kπ,kZ(3)x时,fx366π1取得最大值1;x时,f(x)取得最小值．62【解析】试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．试题解析：(1)由图象知A1,2ππ由图象得函数的最小正周期为2=π,362π则由=π得2．πππ(2)令2kπ2x2kπ,?kZ2622ππ2kπ2x2kπ.kZ33ππkπxkπ.kZ36ππ所以f(x)的单调递增区间为kπ,kπ,kZ.36ππππ（3）x,2x,6432ππ2π2x.6631πsin2x1.26πππ当2x,即x时,fx取得最大值1;626πππ1当2x,即x时,f(x)取得最小值．666211723．（1）{x|1x}；（2）[1,1]．2【解析】【详解】试题分析：（1）分x1，1x1，x1三种情况解不等式f(x)g(x)；（2）f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2，所以f(1)2且f(1)2，从而可得1a1．试题解析：（1）当a1时，不等式fxgx等价于x2xx1x140.①当x1时，①式化为x23x40，无解；当1x1时，①式化为x2x20，从而1x1；117当x1时，①式化为x2x40，从而1x.2117所以fxgx的解集为{x|1x}.2（2）当x1,1时，gx2.所以fxgx的解集包含1,1，等价于当x1,1时fx2.又fx在1,1的最小值必为f1与f1之一，所以f12且f12，得1a1.所以a的取值范围为1,1.点睛:形如|xa||xb|c(或c)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,a]，(a,b]，(b,)(此处设ab)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数y|xa||xb|和yc的图像，结合图像求解．121624．(1)fxsin2x，最小正周期T；(2)a1a2或a617【解析】【试题分析】（1）借助题设提供的图形信息与数据信息可求出周期T，再借助T＝，求出2，再借助点,1在fx图象上求出；（2）先将原方程可6621732化为a13sinx2sin2x2，分离参数2sin2x3sinx12sinx，a8417322再换元tsinx，将其转化为函数ft2t及y图问题来处理：84aT2解：(1)由图象可知：，∴T，又T＝，∴2.2362又∵点,1在fx图象上，∴sin21，∴2k，6632∴2k，kZ，又∵，∴.626∴fxsin2x，最小正周期T.61(2)∵gxfxsinx，212∴原方程可化为a13sinx2sin2x2，则a0.∵x0,，sinx0,1，∴13sinx2sin2x0，21732∴2sin2x3sinx12sinx，a8417322令tsinx，则t0,1，作出ft2t及y图象，84a2217当12或时，两图象在0,1内有且仅有一解，aa821732即方程2sinx在0,内有且仅有两解，a8416此时a的取值范围为a1a2或a.17点睛：求出函数的解析式后，求解第二问时先将原方程可化为a13sinx2sin2x2，则a0，然后借助x0,，sinx0,1，得到13sinx2sin2x0，进而分离参数217322sin2x3sinx12sinx，再换元tsinx，则t0,1，从而将问题a8417322化为函数ft2t及y图象的交点的个数问题，然后结合图像求出参数84a的取值范围。28n，最小值为16．25．（1）an=2n–9，（2）Sn=n––【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得S的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变n量为正整数求函数最值.详解：（）设的公差为，由题意得．1{an}d3a1+3d=–15由得．a1=–7d=2所以{an}的通项公式为an=2n–9．28n=（n4）216．（2）由（1）得Sn=n–––所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.126．（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．2【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴x＋＋＝－x＋－log4(41)kxlog4(41)kx.4x＋11log＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.44－x＋121(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log(4x＋1)－x＝42414loga•2x－a有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实432x34根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．3333①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题44411意，若a＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.2a1综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．