江苏省高中数学知识点总结

高中数学第一章-集合榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com考试：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com·1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确示一些简单的集合．·2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01.集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构 :本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 .2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 .集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 .集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A；②空集是任何集合的子集，记为 A；③空集是任何非空集合的真子集；如果A B，同时B A，那么A=B.如果A B，B C，那么A C.[注]：①Z={整数}（√） Z={全体整数} （×）②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=N，则CA={0}）s----------第1页共81页③空集的补集是全集 .④若集合 A=集合B，则CA= ，CB= C（CB）=D （注：CB= ）.B A S A A3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： x y 3 2x 3y 解的集合{(2，1)}. 1 ②点集与数集的交集是 .（例：A={(x，y)|y=x+1} B={y|y=x2+1} 则A∩B=） 4.①n个元素的子集有 2n个.②n个元素的真子集有 2n－1个. ③n个元素的非空真子 集有2n－2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 .原命题 逆否命题.例：①若 a b 5，则a 2或b 3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真 .②x 1且y 2， x y 3.解：逆否：x+y=3 x=1或y=2.x 1且y 2 x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件 .⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围 .3. 例：若x 5， x 5或x 2.4.集合运算：交、并、补. 交：A B {x|x A,且xB} 并：A B {x|x A或xB} 补：CUA {xU,且xA}5.主要性质和运算律（1）包含关系： AA, A,AU,CUAU, AB,BC AC;ABA,ABB;ABA,ABB. （2） 等价关系：A B AB A A BB CUA B U （3） 集合的运算律： 交换律：A B B A;A B BA. 结合律: (AB) C A(B C);(A B) C A (B C) 分配律:. A (B C) (A B) (A C);A (B C) (AB)(AC)第2页共81页 0-1律： A , A A,U A A,UAU 等幂律：A A A,A A A. 求补律：A∩CUA=φA∪CUA=U CUU=φ CUφ=U 反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) C U(A∪B)=(CUA)∩(CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集 A的元素的个数叫做集合 A的基数，记为 card(A) 规定card( φ)=0.基本公式：(1)card(A B) card(A) card(B) card(A B)(2)card(A B C) card(A) card(B) card(C)card(A B) card(B C) card(C A)card(A B C)(3)card ( UA)= card(U)-card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x 2)⋯(x-x m)>0(<0) 形式，并将各因式 x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. + + x1 x2x3 xm-3- xm-2xm-1- xm x （自右向左正负相间） 则不等式axn axn1 axn2 a n 0(0)(a 0 0) 的解可以根据各区间的符号 0 1 2 确定.特例① 一元一次不等式 ax>b解的讨论；20 0 0二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象第3页共81页一元二次方程有两相异实根 有两相等实根 ax2 bxc 0 x2) x1 b a 0的根 x1,x2(x1 x2 无实根 2a ax2 bxc 0 x1或xx2 xx b (a 0)的解集 xx 2a R ax2 bxc 0 x x2 (a 0)的解集 xx1 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为 f(x) >0(或f(x)<0)；f(x) ≥0(或f(x)≤0)的形式， g(x) g(x) g(x) g(x)·2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法 f(x) f(x)g(x)0; f(x) 0 f(x)g(x)0 0 g(x)0 g(x) g(x) （1）公式法：axbc,与axbc(c 0)型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题 .4.一元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之 .（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之 .（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∧q”)；非p(记作“┑q”)。3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p”形式复合命题的真假与 F的真假相反；（2）“p且q”形式复合命题当 P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当 p与q同为假时为假，其他情况时为真． 原命题 互 逆 逆命题 若p则q 互 若q则p 否 为 互 逆 互 否 为 逆 否 否 互 否命题 逆否命题 若┐q则┐p 若┐p则┐q 互 逆 4、四种命题的形式：原命题：若 P则q； 逆命题：若 q则p；第4页共81页否命题：若┑ P则┑q；逆否命题：若┑ q则┑p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： (原命题 逆否命题)①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知 p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为 p?q.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出 (与已知、公理、定理⋯ )矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。第5页共81页高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：·1）了解映射的概念，理解函数的概念．·2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．·3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．·4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．·5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．·6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§02.函数 知识要点一、本章知识网络结构：定义 F:A B反函数 映射 一般研究 图像 性质函数二次函数具体函数 指数 指数函数对数 对数函数二、知识回顾：（一） 映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y f(x)(x A)的值域是C，根据这个函数中 x,y的关系，用 y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量x=(y)，x在A中都有唯一y的函数，这样的函数x=(y)(y C)叫做函数 y f(x)(x A)的反函数，记作 x f1(y),习惯上改写成第6页共81页y f1(x)（二）函数的性质⒈函数的单调性定义：对于函数 f(x)的定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x) 在这个区间上是增函数； ⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件； （2）f( x) f(x)或f( x) f(x)是定义域上的恒等式。2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果f(x)是偶函数，则f(x) f(|x|)，反之亦成立。 若奇函数在 x0时有意义，则 f(0)0。7.奇函数，偶函数：⑴偶函数：f(x)f(x) 设（a,b）为偶函数上一点，则（ a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y轴对称，例如： yx21在[1,1)上不是偶函数. ②满足f( x)f(x)，或f(x) f(x) 0，若f(x)0时， f(x) 1. f(x) ⑵奇函数： f(x) f(x) 第7页共81页 设（a,b）为奇函数上一点，则（ a, b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如： y x3在[1, 1)上不是奇函数. ②满足f(x) f(x)，或f(x) f(x) 0 ，若f(x) 0时， f(x) 1. f(x) 8.对称变换：① y=f（x） y轴对称 y f（x） ②y=f（x） x轴对称 y f（x） ③y=f（x） 原点对称 y f（ x） 9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： f(x )f(x ) x2b2 x2 b2 （ x1 ） x2) x2(x1 1 2 1 2 xx2 b2 x12 b2 在进行讨论. 10.外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数 f（x）=1+ x 的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与 B A 1 x 集合 . B之间的关系是 解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域 R，故B R，而A x|x1，故BA. 11.常用变换： ①f(xy) f(x)f(y) f(xy) f(x) . f(y) 证： f(xy) f(y) f () f [( xy ) y ] f ( ) () f(x) x xyf y ②f(x) f(x) f(y) f(x y) f(x) f(y) y 证： f () f (x y ) f (x) f(y) x yy12.⑴熟悉常用函数图象： |x2| |x| |x2| 例：y 2|x|→|x|关于y轴对称. y 1 →y 1 →y 1 2 2 2 ▲ ▲ ▲ y y y (0,1) (-2,1) x x x y|2x2 2x1|→|y|关于x轴对称. ▲y x⑵熟悉分式图象：第8页共81页 2x 1 7 定义域{x|x3,x R}， 例：y 2 x3 x 3 值域{y|y 2,y R}→值域x前的系数之比. （三）指数函数与对数函数▲y2x3 指数函数 y a x (a 0a 1) 的图象和性质 且 a>1 0<a<1 图象4.5 4.5 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 y=1 1 y=1 0.5 0.5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -0.5 -0.5 -1 -1 (1)定义域：R性 （2）值域：（0，+∞）质 （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x>0 时，y>1;x<0时，0<y<1 (4)x>0 时，0<y<1;x<0时，y>1.（5）在R上是增函数 （5）在R上是减函数对数函数 y=logax的图象和性质:对数运算： （以下M 0,N 0,a 0,a 1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且 1） loga(M N) logaM loga N(1) logaM logaM logaN N logaMn nloga M12) loganM 1 logaM n logaN N a 换底公式：logaN推论：logablogbcloga1a2loga2a3 logbN logba logca 1 ...loga n an logaan 1 1 第9页共81页a>1 0<a<1图象yOy=log ax a>1x x=1 a<1 ·1）定义域：（0，+∞）·2）值域：R·3）过点（1，0），即当x=1时，y=0性 质 （4）x (0,1)时 y0 x (0,1)时 y 0 x (1, )时y>0 x (1, )时y 0 （5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 注⑴：当 a,b 0时，log(ab)log(a)log( b). ⑵：当M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“—”. 例如：logax2 2logax(2logax中x＞0而logax 2中x∈R）. ⑵y ax（a 0,a1）与ylogax互为反函数. 当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当 0a 1时，则相反. （四）方法总结 ⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算： 注⑴：当a,b 0时，log(ab)log(a)log(b). ⑵：当M0时，取“+”，当n是偶数时且M0时，Mn 0，而M 0，故取“—”. 例如：logax2 2logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）. ⑵y ax（a 0,a1）与ylogax互为反函数. 当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0a 1时，则相反. ⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法 . 第 10页共81页⑶.反函数的求法：先解 x,互换x、y，注明反函数的定义域 (即原函数的值域 ).⑷.函数的定义域的求法： 布列使函数有意义的自变量的不等关系式， 求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0；②偶次根式中被开方数不小于 0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.·.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量， 且x1＜x2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较 .⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称， 再计算f(-x) 与f(x) 之间的关系：①f(-x)=f(x) 为偶函数；f(-x)=-f(x) 为奇函数；②f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)÷f( -x)=-1 为奇函数.·.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.第 11页共81页高中数学 第三章 数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前 n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前 n项和公式．考试要求：·1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列 知识要点数列的定义数列的有关概念数列数列的通项项项数通项等差数列的定义数列与函数的关系等差数列的通项等差数列等差数列的性质等差数列的前 n项和等差数列等比数列等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n项和 定义 an1 an d 递推公 an an1 d；an amnmd 式 通项公 an a1 (n1)d 式 中项 A ank ank 2 （n,kN*,nk 0） an1 q(q 0) an an an1q；an amqnm an a1qn1（a1,q 0） G ankank(ankank0) （, * , n k 0 ） nkN 第 12页共81页 前n 项 n an) na 1(q1) 和 Sn (a1 2 Sna1 1qn a1 anq n(n 1) Sn na1 1q 1 (q2) 2 d q 重要性 质 aq(m,n,p,qN*, apaq(m,n,p,qN*,mnpq) am an ap aman m np q) 1.⑴等差、等比数列： 等差数列 等比数列 定义 {an}为A P an1 an d(常数） an1 {an}为G P q(常数） an 通项公 （） （） a n aqn1 a qnk 式 an=a1+n-1d=ak+n-kd=dn+a1-d 1 k 求和公 n(a1 an) n(n1) na1 (q 1) 式 sn 2 na1 d d d 2 sn a1(1q n )a1 anq 2 (q 1) n (a1 )n 1 q 1 q 2 2 第 13页共81页 中项公 A=a b 推广：2an=an m anm G2 ab。推广：an 2 anm anm 式 2 性 1 若m+n=p+q则am an ap aq 若m+n=p+q，则aman apaq。 质 2 若{ kn }成 （其中 kn N ）则 {a } 若{ kn } 成等比数列（其中kn N）， A.P kn 也为A.P。 则{akn }成等比数列。 3 ．sn,s2n sn,s3n s2n 成等差数列。 sn,s2n sn,s3ns2n成等比数列。 4 an a1 am an n1 an q nm an d (m n) ， n 1 m n q a1 am (m n) 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an an1 d(n 2,d为常数) ②2an an1 an1(n2) ③an kn b(n,k为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an an1q(n 2,q为常数,且 0) ②an2 an1an1(n2，anan1an1 ① 0) 注①：i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即 b ac a、b、c等比数列. ii. b 、 、 c 等比数列的充分不必要. ac（ac＞0）→为a b iii. b ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b ac 且 ac 0 、 、 c 等比数列的充要. →为a b 注意：任意两数 a、c不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an cqn(c,q为非零常数). ④正数列{an}成等比的充要条件是数列 {logxan}（x 1）成等比数列. ⑷数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系：an s1 a1(n 1) n n n sn sn1(n 2) [注]：① an a1 n 1d nd a1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数 列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. 第 14页共81页 ②等差{an}前n项和SnAn2Bn dn2 a1 d n→d可以为零也可不为零→为等差 2 2 2 的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件； 若d不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列 .（不是非零，即不可能有等比数列） ．． 2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k Sk,S3k S2k...； ，则S偶S奇 S奇 an ②若等差数列的项数为 2nnN nd， ； S偶 an1 ③若等差数列的项数为 2n1nN ，则S2n12n 1an，且S奇 S偶an，S奇 n S偶 n1 代入n到2n 1得到所求项数 .nn 13.常用公式：① 1+2+3⋯+n=2 ②12 2232 n2nn12n1 6 2 ③13 2333 n3 nn 1 2 [注]：熟悉常用通项： 9，99，999，⋯ a n 10n 1；5，55，555，⋯ a 510n 1. n 9 4.等比数列的前n项和公式的常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题 .例如，第一年产量为 a，年增长率为r，则每年的产 量成等比数列，公比为 1 r. 其中第n年产量为a(1 r)n1，且过n年后总产量为： aa(1r) a(1r)2 ... a(1 r)n 1a[a (1 r)n]. 1 (1 r) ⑵银行部门中按复利计算问题 .例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为r，每月利息按 复利计算，则每月的 a元过n 个月后便成为a(1 r)n元. 因此，第二年年初可存款： a(1r)12 a(1r)11 a(1 r)10 ... a(1r)=a(1 r)[1 (1 r)12]. 1(1 r) ⑶分期付款应用题： a为分期付款方式贷款为 a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率. m m a1rm x1rm1 x1 rm2 ......x1 r x a1 r m x1r 1 x ar1 r r 1r m 15.数列常见的几种形式： ⑴an2pan1 qan（p、q为二阶常数） 用特证根方法求解. 具体步骤：①写出特征方程x2 Pxq（ x2对应an2，x对应an1），并设二根x1,x2②若x1x2 可设an.c1xn1 c2xn，若x1 x2可设an (c1c2n)xn1；③由初始值a1,a2确定c1,c2. 2 第 15页共81页 ⑵anPan1 r（P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为an2 Pan1qan的形式，再用特征根方法求 an；④an c1 c2Pn 1（公式法），c1,c2 由a1,a2确定. ①转化等差，等比： an1 x P(an x) an1 Pan Pxx x r . P 1 ②选代法：anPan 1r P(Pan2 r)r an (a1 r r (a1 x)Pn x )Pn1 P1 1 P1 Pn1a1Pn2r Prr. ③用特征方程求解： an1 Pan r an1anPan Pan an1（P 1）anPan1. an Pan 相减， 1 1 r ④由选代法推导结果： c1 r P ，c2a1 r ，an c2Pn 1c1 （a1 r ）Pn 1 r . 1 P 1 P 1 1 P 6.几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前n项和为Sn，在d 0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有 两种方法： 一是求使an 0,an1 0，成立的n值；二是由Sn dn2 (a1 d)n利用二次函数的性质求n 2 2 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积， 求此数列前n项和可依 照等比数列前 n项和的推倒导方法：错位相减求和 .例如：1 1 ,3 1 ,...(2n1) 1 ,... 2 4 2n ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列， 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项，公差是两个数列公差 d1，d2的最小公倍数. 2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法:对于n≥2的任意自然数, 验证an an1(an) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 an1 2an1an an2(an2 1 anan2)nN都成立。 3.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题： (1)当a1 >0,d<0时，满足 am 0 am1 的项数m 0 使得s取最大值.(2)当 a1 am 0 的项数m使得s 取最小值。在解含绝 <0,d>0时，满足 m m am1 0 对值的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。第 16页共81页 2.裂项相消法:适用于 c 其中{ an}是各项不为 0的等差数列，c为常数；部 anan1 分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于anbn 其中{ an}是等差数列， bn是各项不为 0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n项和公式的推导方法. 5.常用结论 n(n1) 1）:1+2+3+...+n= 2 2）1+3+5+...+(2n-1)=n2 1n(n1) 2 3）13 23 n3 2 4）12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6 5） 1 1 1 1 1 1 1 ) n(n1) nn 1 n(n 2) ( n n2 2 6） 1 q 1 (1 1)(pq) pq pp q 1高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式 .正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数 y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：第 17页共81页·1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．·2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．·3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．·4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．·5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．·7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．·8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．§04.三角函数 知识要点1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角 | k360 ,kZ ②终边在x轴上的角的集合： | k 180,k Z ③终边在y轴上的角的集合： | k 180 90,k Z ④终边在坐标轴上的角的集合： | k 90,k Z ⑤终边在y=x轴上的角的集合： | k 18045 ,k Z ⑥终边在y x轴上的角的集合： | k 180 45,k Z ⑦若角 与角 的终边关于x轴对称，则角 与角 的关系： ⑧若角 与角 的终边关于y轴对称，则角 与角 的关系： ⑨若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系：与角 的终边重合）： ▲ y 3 2 sinx sinx 4 1 cosx cosx x cosx cosx 1 4 sinx sinx 2 3 SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域360k360k 180180k ⑩角与角的终边互相垂直，则角 与角 的关系： 360k 90 2.角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.017451=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad） 180 3、弧长公式：l | |r. 扇形面积公式：s扇形 1lr 1||r2 2 2 4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于 原点的）一点 P（x,y）P与原点的距离为 r，则 sin y；rya的终边P（x,y)ro x第 18页共81页 cos x；tan y； cot x；sec r；.csc r. r x y x y5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） y y y + + - + - + o x -o +x o x - - + - 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切yTPO M Ax6、三角函数线 16.几个重要结论: 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： (1) y (2) y AT. |sinx|>|cosx| sinx>cosx |cosx|>|sinx||cosx|>|sinx| O x O x 7.三角函数的定义域： cosx>sinx |sinx|>|cosx| (3)若o<x<2,则sinx<x<tanx 三角函数 定义域 f(x) sinx x|x R f(x) cosx x|x R f(x) tanx x|x R且xk 1 ,k Z 2 f(x) cotxf(x) secxf(x) cscx8、同角三角函数的基本关系式： x|x R且x k ,k Z x|x R且x k 1 ,kZ 2 x|x R且x k ,k Z sin cos tan cot cos sin tan cot 1csc sin 1 sec cos 1 sin2 cos2 1 sec 2 tan 2 1 csc2 cot2 19、诱导公式：把k 的三角函数化为 的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三第 19页共81页 公式组一 sinx·cscx=1 tanx=sinx sin2x+cos2x=1 cosx cosx·secx=1 x=cosx 1+tan2x=sec2x sinx tanx·cotx=1 1+cot2x=csc2x sin(2k x) sinx cos(2k x) cosx tan(2k x) tanx cot(2k x) cotxsin(x) sinxcos(x) cosxtan(x) tanxcot(x) coxt 公式组四 公式组五 公式组六 sin( x) sinx sin2( x) sinx sin( x) sinx cos( x) cosx cos2( x) cosx cos( x) cosx tan( x) tanx tan2( x) tanx tan( x) tanx cot( x) cotx cot2( x) cotx cot( x) coxt（二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos( ) cos cos sin sin sin2 2sin cos cos( ) cos cos sin sin cos2 2 2 2 2 cos sin 2cos 112sin sin( ) sin cos cos sin tan2 2tan 1 2 tan sin( ) sin cos cos sin sin 1 cos 2 2 tan( ) tan tan cos 1 cos 1 tan tan 2 2 tan( ) tan tan tan 1 cos sin 1 cos 1 tan tan 1 cos 1 cos sin 2 公式组三 公式组四 公式组五 sin cos 1 sin sin cos(1 2tan 2 ) sin sin 2 cos sin 1 sin sin 2 1 tan 2 2 sin(1 ) cos 2 1cos cos cos cos 2 tan2 2 tan(1 ) cot 1 sin sin 1 cos cos 2 cos 2 tan2 2 cos(1 1 sin sin 2sin cos ) sin 2 2 2 2 sin sin 2cos sin 第 20页共812页 2tan 2 tan(1 ) cot tan cos cos 2cos cos 2 1tan2 2 2 sin(1 ) cos 2 cos cos 2sin sin 2 2 2 sin15 cos75 62,sin75 cos15 6 2,tan15cot75 2 3,tan75 cot15 2 3. 4 4 10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： y sinx y cosx y tanx y cotx y Asin x （A、 ＞0） 定义域 R R 1 Zx|x R且xk,k Z R x|x R且x k ,k 2 值域 [ 1,1] [ 1,1] R R A,A 周期性 2 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 0,非奇非偶 当 0,奇函数 [ 2k, [2k 1,； k, k k,k 1 上为减函 2k ] 数（k Z） 2k 2 2 2 2 (A), 2k ] 上为增函 上 为 增 函 数 2 数 （k Z） 1 2k 上为增函 [2k , 2 ( A) 数 ； 2k 1] 单调性 [ 2k , 上为减函 上为增函数； 数 2 2k 2 3 （k Z） (A), 2k ] 2 3 上为减函 2k 2 ( A) 数（k Z） 上 为 减 函 数 （k Z） 注意：①y sinx与y sinx的单调性正好相反； y cosx与y cosx的单调性也同样相 反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则 y f(x)在[a,b]上递减（增）. ▲ ②y sinx与y cosx的周期是. y ③y sin(x )或y cos(x )（ 0）的周期T 2 . x x的周期为2 O y （ T T 2 ，如图，翻折无效）. tan 2 第 21页共81页 ④ysin(x )的对称轴方程是 xk 2 （k Z），对称中心（k ,0）；y cos(x )的 对称轴方程是 x k（k Z），对称中心（k 1 ,0）；y an(tx )的对称中心（k ,0）. 2 2 ycos2x 原点对称 y cos(2x) cos2x ⑤当tan ·tan 1, k (k Z) ； tan tan 1, k (k Z) . 2 · 2