2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(理科)精品解析

2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(理科)精品解析PAGE12019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜0}，则集合A∪B＝（　　）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|﹣2＜x＜2}2．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则＝（　　）A．2+2iB．2﹣2iC．2iD．﹣2i3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）A．￢p：∃x∈R，cosx≥1B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1D．￢p：∃x∈R，cosx＞14．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（　　）A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c5．（5分）双曲线＝1的焦点到渐近线的距离为（　　）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）A．5B．6C．7D．87．（5分）设x，y满足，则z＝x+y（　　）A．有最小值，最大值B．有最小值，无最大值C．有最小值，无最大值D．既无最小值，也无最大值8．（5分）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5是a3与a8的等比中项，S5＝20，则S10＝（　　）A．45B．55C．65D．909．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　）A．B．C．D．10．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（　　）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为（　　）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）＝﹣x2+3x﹣a，g（x）＝2x﹣x2，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的范围是（　　）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，e]C．（﹣∞，ln2]D．[0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣2，m），＝（﹣1，2），若（）∥，则m＝　　．14．（5分）将函数f（x）＝sin﹣cos的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是　　．15．（5分）已知抛物线y＝ax2的准线与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0相切，则a的值为　　．16．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝（﹣1）nan，则S1+S2+…+S11＝　　．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝4，b＝2，B＝2A．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求c的值．18．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求a，d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的抽取4位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：P（k2≥k0）0.150.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AA1，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）点M在CC1上，若A1E⊥BM，求二面角B﹣FM﹣E的余弦值．20．（12分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过C的长轴，短轴端点的一条直线方程是x+y﹣2＝0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作直线交椭圆C于A，B两点，若点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝xln（x+1）﹣ax2（a≤1）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点x＝e﹣1处的切线与直线x﹣ey＝0平行，求a的值；（Ⅱ）是否存在a使得f（x）仅有一个极值点？若存在求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2acosθ（a＞0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P（，0），且|PA|+|PB|＝，求a的值．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）＜|x﹣a|恒成立，求a的取值范围．2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜0}，则集合A∪B＝（　　）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|﹣2＜x＜2}【】进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜0}；∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：D．【点评】考查描述法的定义，以及并集的运算．2．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则＝（　　）A．2+2iB．2﹣2iC．2iD．﹣2i【分析】把z＝1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝1+i，∴＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）A．￢p：∃x∈R，cosx≥1B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1D．￢p：∃x∈R，cosx＞1【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可【解答】解：命题p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称命题∴￢p：∃x∈R，cosx＞1，故选：D．【点评】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的写．4．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（　　）A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X＝C．【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X＝C故选：A．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题．5．（5分）双曲线＝1的焦点到渐近线的距离为（　　）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为＝1，其焦点坐标为（±3，0），其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则其焦点到渐近线的距离d＝＝；故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）A．5B．6C．7D．8【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为1的正方体，正方体的边长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，则该几何体的体积V＝2×2×2﹣1×1×1＝7，故选：C．【点评】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．7．（5分）设x，y满足，则z＝x+y（　　）A．有最小值，最大值B．有最小值，无最大值C．有最小值，无最大值D．既无最小值，也无最大值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点C时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得C（，﹣），代入目标函数z＝x+y得z＝．即目标函数z＝x+y的最小值为．无最大．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5是a3与a8的等比中项，S5＝20，则S10＝（　　）A．45B．55C．65D．90【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a5是a3与a8的等比中项，S5＝20，∴＝（a1+2d）（a1+7d），5a1+d＝20，联立解得：a1＝2，d＝1．则S10＝10×2+1＝65．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　）A．B．C．D．【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【解答】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为r，则5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2．∴内切圆的面积为πr2＝4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P＝1﹣＝1﹣，故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．10．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（　　）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）【分析】根据条件可得出f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，并得出f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都是增函数，从而可讨论x与2的关系：x＝2时，显然满足f（x﹣2）≥0；x＞2时，可得出f（x﹣2）≥f（2），从而得出x≥4；x＜2时，可得出f（x﹣2）≥f（﹣2），从而得出0≤x＜2，最后即可得出不等式f（x﹣2）≥0的解集．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3﹣8；∴f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，且f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；∴①x＝2时，满足f（x﹣2）≥0；②x＞2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（2）；∴x﹣2≥2；∴x≥4；③x＜2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（﹣2）；∴x﹣2≥﹣2；∴x≥0；∴0≤x＜2；综上得，f（x﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．故选：D．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚y＝x3的单调性．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为（　　）A．B．C．D．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为1，∴正方体的边长为，即PA＝PB＝PC＝，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V＝S△ABC×h＝S△PAB×PC＝×，△ABC为边长为的正三角形，S△ABC＝＝，∴h＝，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为．故选：C．【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．12．（5分）函数f（x）＝﹣x2+3x﹣a，g（x）＝2x﹣x2，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的范围是（　　）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，e]C．（﹣∞，ln2]D．[0，）【分析】利用导数可得g（x）在x∈[0，1]上的取值范围为[1，g（x0）]，其中g（x0）＜2，令t＝g（x）换元，把f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立转化为﹣t2+3t﹣a≥0对t∈[1，g（x0）]恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数﹣t2+3t的最小值得答案．【解答】解：g（x）＝2x﹣x2，g′（x）＝2xln2﹣2x，∵g′（0）＝ln2＞0，g′（1）＝2ln2﹣2＜0，∴g′（x）在（0，1）上有零点，又[g′（x）]′＝ln22•2x﹣2＜0在[0，1]上成立，∴g′（x）在（0，1）上有唯一零点，设为x0，则当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，∴g（x）在x∈[0，1]上有最大值g（x0）＜2，又g（0）＝g（1）＝1，∴g（x）∈[1，g（x0）]，令t＝g（x）∈[1，g（x0）]，要使f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则f（t）≥0对t∈[1，g（x0）]恒成立，即﹣t2+3t﹣a≥0对t∈[1，g（x0）]恒成立，分离a，得a≤﹣t2+3t，函数﹣t2+3t的对称轴为t＝，又g（x0）＜2，∴（﹣t2+3t）min＝2，则a≤2．则实数a的范围是（﹣∞，2]．故选：A．【点评】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣2，m），＝（﹣1，2），若（）∥，则m＝　4　．【分析】由已知求得的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解m值．【解答】解：∵＝（1，﹣2），＝（﹣2，m），∴，又＝（﹣1，2），且（）∥，∴﹣1×2+（m﹣2）＝0，即m＝4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题．14．（5分）将函数f（x）＝sin﹣cos的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是　[4kπ，2π+4kπ]（k∈Z）　．【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：将函数f（x）＝sin﹣cos＝2sin（﹣）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin（﹣﹣）＝﹣2cos，令2kπ≤≤2kπ+π，求得4kπ≤x≤2π+4kπ，可得所得函数的单调递增区间为[4kπ，2π+4kπ]，k∈Z，故答案为：[4kπ，2π+4kπ]，k∈Z．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于基础题．15．（5分）已知抛物线y＝ax2的准线与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0相切，则a的值为　或　．【分析】先表示出准线方程，然后抛物线y＝ax2的准线与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解：抛物线y＝ax2，即x2＝y，准线方程为y＝﹣，因为抛物线x2＝y的准线与圆x2+（y﹣3）2＝16相切，当a＞0时，3+＝4，解得a＝，当a＜0时，﹣﹣3＝4，解得a＝﹣，故答案为：或﹣．【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．16．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝（﹣1）nan，则S1+S2+…+S11＝　　．【分析】运用数列的递推式，讨论n为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：Sn＝（﹣1）nan，当n＝1时，a1＝S1＝﹣a1+，解得a1＝，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，可得Sn＝（﹣1）n（Sn﹣Sn﹣1），当n为偶数时，Sn＝Sn﹣Sn﹣1，即有Sn﹣1＝；当n为奇数（n≥3）时，Sn＝﹣（Sn﹣Sn﹣1），可得Sn﹣1＝2Sn﹣＝2•﹣＝0，即有S1+S2+…+S11＝+0++0++0+…+＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝4，b＝2，B＝2A．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求cosA的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得c2﹣6c+8＝0，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a＝4，b＝2，B＝2A．∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA，∴cosA＝＝＝，∴sinA＝＝…6分（Ⅱ）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：16＝24+c2﹣2×，可得：c2﹣6c+8＝0，解得：c＝2或c＝4（舍去）…12分【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求a，d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：P（k2≥k0）0.150.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【分析】（1）根据题意求出a、d的值，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以a＝60﹣40＝20，d＝40﹣5＝35；由列联表可得K2＝＝＞5.024；而P（K2＞5.024）＝2.5%，所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）由题意知持“同意”态度的学生的频率为＝，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为，由于总体容量很大，故X服从二项分布，即X～B（4，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2，3，4；从而X的分布列为：X01234PX的数学期望为E（X）＝4×＝．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了列联表与独立性检验的应用问题，是中档题．19．（12分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AA1，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）点M在CC1上，若A1E⊥BM，求二面角B﹣FM﹣E的余弦值．【分析】（Ⅰ）连结EN，FN，则NE∥BC，FN∥B1B，从而平面EFN∥平面B1BCC1，由此能证明EF∥平面BCC1B1．（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣FM﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结EN，FN，则NE∥BC，FN∥B1B，∵NE∩FN＝N，BC∩B1B＝B，∴平面EFN∥平面B1BCC1，∵EF⊂平面EFN，∴EF∥平面BCC1B1．解：（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则B（，0，0），F（），A1（0，﹣1，2），E（0，0，0），设M（0，1，a），则＝（0，1，﹣2），＝（﹣，1，a），＝（﹣，﹣，2），∵A1E⊥BM，∴•＝1﹣2a＝0，解得a＝，∴M（0，1，），设平面BFM的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝4，得＝（3，7，4），同理可得平面MEF的法向量为＝（﹣3，﹣1，2），∴cos＜＞＝＝＝．∴二面角B﹣FM﹣E的余弦值为．【点评】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过C的长轴，短轴端点的一条直线方程是x+y﹣2＝0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作直线交椭圆C于A，B两点，若点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点．【分析】（Ⅰ）对于x+y﹣2＝0，当x＝0时，y＝，即b＝，当y＝0，x＝2，即a＝2，再写出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AB：y＝kx+2，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线AB′过定点Q（0，1），【解答】解：（Ⅰ）对于x+y﹣2＝0，当x＝0时，y＝，即b＝，当y＝0，x＝2，即a＝2，∴椭圆的方程为+＝1，（Ⅱ）证明：设直线AB：y＝kx+2，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+8kx+4＝0，∴△＝64k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k2＞∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴kAB′＝，∴直线AB′：y﹣y1＝（x﹣x1），∴令x＝0，得y＝＝＝+2＝2k•+2＝﹣1+2＝1，∴直线AB′过定点Q（0，1），【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xln（x+1）﹣ax2（a≤1）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点x＝e﹣1处的切线与直线x﹣ey＝0平行，求a的值；（Ⅱ）是否存在a使得f（x）仅有一个极值点？若存在求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出a的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ln（x+1）+﹣2ax，∴f′（e﹣1）＝2﹣﹣2a（e﹣1），∵曲线y＝f（x）在点x＝e﹣1处的切线与直线x﹣ey＝0平行，∴2﹣﹣2a（e﹣1）＝，解得a＝．（Ⅱ）∵f′（x）＝ln（x+1）+﹣2ax，x＞﹣1，∴f′（0）＝0，且f″（x）＝+﹣2a，当a＜0时，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又f′（0）＝0，∴当﹣1＜x＜0，f′（0）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞0，f′（0）＞0，函数f（x）单调递增，故函数f（x）仅有一个极小值点x＝0，当a＞0，设＝t，则+＝t2+t，（t＞0）当﹣1＜x＜0时，t＞1，此时t2+t＞2，当x＞0时，0＜t＜1，此时t2+t＜2，∴当a＝1时，f″（x）＝0，此时t＝1，x＝0，∴当﹣1＜x＜0，f′′（x）＞0，函数f′（x）单调递减，当x＞0，f′′（x）＜0，函数f′（x）单调递减，∴f′（x）＜f（0）＝0，∴f（x）在（﹣1，+∞）单调递减，f（x）无极值，当0＜a＜1时，f″（x）＝0存在唯一的实数根x0，且x0＞0，∴当﹣1＜x＜x0，f′′（x）＞0，函数f′（x）单调递减，当x＞x0，f′′（x）＜0，函数f′（x）单调递减，∵f′（0）＝0，∴0为f（x）一个极值点，∵f′（﹣1）＝﹣2lna+1﹣a2﹣2a（）＝﹣2lna+1﹣a2﹣+2a＝lna∴ln′（a）＝﹣﹣2a++2＝+2﹣2a＝（2﹣2a）（+1）＞0，∴ln′（a）单调递增，∴f′（﹣1）＝ln（a）＜ln1＝0，∴f′（x）存在零点x1，且x1为f（x）的极值点，∴当0＜a＜1时，f（x）有两个极值点综上所述a≤0．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2acosθ（a＞0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P（，0），且|PA|+|PB|＝，求a的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ＝2acosθ（a＞0）．转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣2ax＝0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），转换为标准形式为：（t为参数），代入x2+y2﹣2ax＝0，得到：，所以：（t1和t2为A、B对应的参数），由于a＞0，所以：|PA|+|PB|＝|t1+t2|＝，即：，解得：a＝1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）＜|x﹣a|恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）分3段去绝对值，分段求值域再相并；（Ⅱ）利用y＝f（x）的图象恒在y＝|﹣a|的下方可得a＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝∴f（x）的值域是[﹣4，4]（Ⅱ）如图所示a＜﹣．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．