《数学通报》数学问题解答2017年第1期-第12

62数学通报2017年第56卷第1期数学问题解答2016年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)2336如图，过④0外一点P向oO作切线，切点，’、为A，B，点Q为劣弧AB上一动点，过点Q作00的切线交线段PA，PB于点M，N，直线AQ，BQ交线段PA，PB=fAG，D．LAPB一号，求证：JD111111PC。CM。MAPD‘DN。NB’(山东省泰安市宁阳县第一中学刘才垡271400)证明设OO的半径为r，PA—PB—A，么MPN一口，么PMN一口，么PNM=y，则r—Atan号·由题意得LAPO一号，LAMO一删2，LCQM—LBQN=LPBC=号．1A缎rtanz’tan宇c。s号c。s卫2rAsin号sin鲁’在△QCM中，由正弦定理得sin(a+专)sin(口+号)c。s号c。s导Asin号sin导sin吾在△PBC中，由则壶si暗sin(a+专)Asi哇于是南+南+击=sin(口+专)sin(口+号)2si哇+sinc口+号，c。s号c。s导．c。s号c。s导Asin号sin售sin詈。Asin号sin售sin(a+号)c。s(堑尹)+cos号c。s售sin舌Asin号sin譬sin舌c。s2(生尹)+cos号c。s导sin号Asin号sin售sin吾同理南+击+志c。s2(墅产)+cos号c。s号sin导isin号sin导sin吾斗)一．口Z2—22∽上2一上2n}一m．1一一．“Sr—S鼬羔i由y一2一口一An．吼万方数据2017年第56卷第1期数学通报63上+上+上一上士上牟上PCCM’MAPD’DNNB—cos2c生尹，+c。s号c。s导sin专∞—————二二——————上!!Asin号sin导sin号一c。s2(堑尹)+cos号c。s号sin导Asin号sin导sin号∞cos(a--f1)—--cos(—a--Z)0一c。s号sin(宁)酬n(华)Sin(字)=c。s号sin(学)．由么APB一号得sin(垄二芋1)=c。s号，故雨1+蘅1+击一南+南+志．2337在AABC中，设a，6，C为其三边长，∑示对口，b，C循环求和，则当以≥1时，有∑筹当挖<IlN"，有∑筹≤∑n”1(1)≥∑口州(2)(四川成都金牛西林巷18号华鑫园A601宿晓阳610031)证明易知∑笔b兰等一∑∥C臼+一n““一Vb“+C“一a”一日”1(6+C～口)厶6+f=了——～一F垒!垒二!二堡二12±!!!二堡二!!口b+f—a—Pr垒!垒二!二垒二!!+垒!堡：二：二垒二∑]厶Lb+C—af+a—b-J一∑(口一一b．-1)fabC+a—bb+C一口：一V—(a4-b--c)(a"-1—--b"-1)(a--b)厶(6+C—a)(c4-a一6)‘所以由上述等式及同号得正，异号得负，即得命题成立．2338已知在AABC中，么B=2么C，点D。、D。在BC上，且么戤D，一么CAD2．求证：BD。·BD2≤(AC—AB)2(19京市陈经纶中学张留杰100020)证明如图，延长CD。到E，使BE=BA，0则有么1一么2，么ABC一么1+么2—2L1．因为么ABC一2么C，所以么C一么1，AE—AC，1所以△BAE∽／XACE，所以丽BA一筹，所以丽AB一丽AC一志，所以BC一警．①因为么BAD。一么CAD：，所以AD。、AD。为么BAC的内等角线，由三角形内等角线性质可得AB2BD，·BD，AC2CDl·CD2’所以A丽N2一面≤磬‰一璺旦!：墨塑!一一BC2一BC(BDl+BD2)+BDl·BD2’所以AC2(BD。·BD2)一AB2·BC2一AB2．BC．(BD。4-BD2)4-AB2(BDl·BD2)，所以(AC2一AB2)(BDl·BD2)一AB2·BC2一AB2·BC(BD，+BD：)．②把①代人②，得(AC2～AB2)(BDl．BD2)一AB2·丝去掣一AB2·／一／一／～缸万方数据64数学通报2017年第56卷第1期一——————————————————————————————————————————————————————————————一巡丢盟(BDl+BD2)，所以BDl·BD2一AC2一AB2一AB(BDl+BD2)，所以BD。·BDz≤AC2一AB2一AB·2,,／BD·BD2，即BD，．BD：+AB·2棚面■1瓦+AB2≤AC2，所以(∥匾■_百瓦+AB)‘≤AC2，~／BDl·BD2≤AC—AB，所以BDl·BD。≤(AC—AB)2．当且仅当／BAC的内等角线AD·与AD2重合为么BAC的角平分线时，不等式中的等号成立．2339设AABC三边长、三内角、半周长、外接圆和内切圆半径分别为a，byc，A，B，C，5，R，r，则有a2b2(s一6)(5一c)。(5一c)(5一n)。!!一d一_堡(5一口)(5—6)‘。r‘(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)证明石乏洒4n2(口+C一6)(口-4-b—c)4sjn2A(sinA+sinC—sinB)(sinA+sinB—sinC)一4sin2A÷[2s1’nA下+Ccos尘≠一￡J一2sin导cos争慨in半cos学一2sin导c。s导)]=sin2A+Ecos争。s孚一COS半，·。。。罢(。。。兮{一co。A—+广B)]。08虿(。08T一∞8T’J4sin2百ACOS2A9一面B五磅A瑶C面C再珥A霹．B4COS2今一—si—n—B——si—n二C二=：：—2--2cos—(B+C)sinBsinC一—sin—B兰s—inC一2c。tBcotc+2注意到由面积公式号(口+6+c)一虿1＆sinANiE弦定理可推得譬一≮凳恶紫，又∑c。tBc。tC一17一—磊五万五百五面一’义厶cOcU一1那么就有v垒：厶(s一6)(s—c)一6+2∑孤1—2∑c。tBc。tc一6@2·掣煮等一2_4+4，．RSl81nLJsln．naL／，-2340给定正整数，2≥2，把RtAABC的斜边AB分成2”等分，其分点依次为P，，P。，⋯，Pz～，其中P，距离点A最近．如果tan么P2一zCPz，r，>丢，tan／BCPz～=去，证明：薯击一2016．(河南省辉县市一中贺基军453600)证明如图，在RtAABC中，作PiQ：上AC于点Q：，i一1，2，⋯，2”一1．0PlP矿。J【)2巾1PiP2^．IB根据题设及PiQi／／BC可得AQi—AP，一iQ：CP：B2”一i‘在Rt△APiQ：中，PiQ：一AQi·tanA．在Rt△CPiQ。中，tanZACPi一丽PiQiAQ：Q：C万方数据一!：!呈坚因tan么AcP。，，一笔；—二—：翟牟一tanA，因tan么AcP2一，一气i_二—；；竿一，tan么AC弦。一等兰掣一丢tanA，tan么AcP2—2一％；『二岩笋一÷tanA，又tan(么ACP2一·一么ACP2一z)一tan么P。一。CP。，r·>{，故竺i竺>百1，1+÷tan2A6即tan2A一4tanA+3<0，解得1<tanA<3．因tanLBCP2—12去，么BCP2～+么ACP2～一90。，故tan么ACP2”一1—126．另一方面，tan么ACPz～一筹等等一(2”一1)tanA，从而有(2”一1)tanA=126，即2～羔+1．由1<tanAG3得43<器+1<127，即43<2“<127．因正整数行≥2，又26—64，故咒一6．由(2”一1)ta越一126得tanA一2．综上可知tanLACP；=笔≠警一矗弩，即面面2i一64一i，!!一tan么ACPi一掣一2016．2’2017年1月号问题(来稿请注明出处——编者)2341已知n，b，C，d≥0，a+b+C+d一3，求证：a+ab+abc+abcd≤4．(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平712000)2342设oN切／＼ABC的两边CA，CB于点E，F，同时与AABC的外接圆00内切于点P．连结CN并延长交00于T，求证：o(T，TB)与EF相切．(湖北省谷城县第三中学贺斌441700)2343设ai，zi，A。∈R，(i一1，2，⋯，A，行≥2)，t∈R，且M1一A121+it222-4-⋯+A，1z，】+A。z。>0，Mj—A221-4-A3X2-4-⋯+A。z一-4-A1z。>0，●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●II●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●I●●M。=it．x1-4-A1X2-4-⋯+A，2z，1+A，1z。>0，并令N1一(f—A1)z1-4-(f—A2)z2-4-⋯+(f—A。)z。，N2一(f—A2)zl+(￡一A3)z2+⋯+(￡一A1)X。，⋯⋯●I●●I●●⋯●●●I●⋯⋯⋯⋯●●●IIII●●⋯●I●N。一(f—A。)z1+(￡一A1)z2+⋯-4-(t—A，1)x。，若t(itl-4-A2+⋯+A。)>0，则骞务；≥订-4-i-4-高-4-(A1A2⋯A。、若f(A。-4-A。+⋯+A。)<0，则式中不等号反向．当且仅当惫一惫2⋯2老时式中等号成立·(河南质量工程职业学院李永利467000)2344在AABC中，以BC中点M为圆心，BC为直径作圆交AB、AC于F、E，连接FC，EB，其交点为D，FE交AD于P，BP、ME交Q，求证：QA／／BC．霹。∑㈦一o。∑剐一46，L昭∑爿灿∑m是于万方数据((江西师范高等专科学校王建荣陈志钦335000)2345设以为正整数，证明：巧1十爵3十巧5+⋯+等≥≮P．(甘肃省秦安县第二中学罗文军741600)(上接第48页)2015年京卷压轴题第②问(题目请见本文1．1节)要求证明给定的数列{＆。)中，要么各项都是3的倍数要么各项都不是3的倍数．官方给的参考答案是分情况讨论加反证法，我们有一位同学指出，他发现从递推关系f2a。，卵≤18％州一12a。一36，咒>18出发可以导出口。+，+。。一3a。或3血。一36，从而总是有3『a。+，+以。，这样一来立刻就可以得出若数列(以。}中存在一个元素是3的倍数，那么所有元素都是3的倍数，这就给出了比参考答案更加简洁的证明．在获得了全数学小组同学的热烈掌声后，这位同学变得更加活跃了．(2009一北京一20)已知数集A一{以，，盘。，⋯，乜。)(1≤以1<n2<⋯<n。，咒≥2)具有性质P：对任意的i，J(1≤i≤歹≤，2)，aia，与笠两数中至“i少有一个属于A．①②问略．③证明：当7"／一5时，nl，口2，n3，n4，n5成等比数列．在引导大家做完原题之后，有同学举手提问咒一6时会怎样，是否口l，口2，n3，n4，a5，以6依旧是等比数列?这与我们教师备课时的想法不谋而合．我们立即肯定了她出色的数学直觉，并鼓励大家考虑n≥5的情形．很快卵一6，7的情形都被同学们验证是等比数列．我们鼓励大家乘胜追击，把出来的“排序”加“一一对应”的方法贯彻到底，最终在大家的共同努力下，有一组同学在黑板上证明出：等比数列的结论对门一3和咒≥5的情形都成立，而对n一4的情形则不一定成立．总结从“表现得令人沮丧”到“令教师眼前一亮”，我们的学生在课堂上取得了不小的进步，这使得我们越来越相信：只要教法得当，京卷高考压轴题是非常宝贵的教学资源．致谢本文参考了大量文献，在此对作者们表示衷心的感谢．我们感谢高二年级数学小组同学在课堂上的投入表现．参考文献1付云皓，朱华伟，郑焕．如何在高中数学课堂激发优等生对高等数学的学习兴趣[J]．数学通报，2015(7)：38—432华罗庚，王元．数学模型选谈[M]．大连理工大学出版社，2011，53李邦河．数的概念的发展[J]．数学通报，2009(8)：1—44李春雷．2010年北京理科高考数2题解法研究[J]．中学数学杂志，2010(4)：52—545李启超，荣贺．从高中数学试题到纠错码理论EJ]，数学通报，2016(4)：47—526连春兴，王芝平．数学高考北京卷对教学的启示EJ]．数学通报，2010(9)：54—587王雅琪．生活中的数学与高考⋯谈2014年北京市高考理科试卷第20题的背景EJ]，中学生数学，2015(7)上：36—388王雅琪．坐标一桥飞架，数形天堑变通途⋯谈2015年高考数学北京卷对解析几何的考查EJ]，数学通报，2016(3)：46——499王芝平，李亚斌．破解2010年高考北京卷压轴题的心智历程与几点感悟EJ]．数学通报，2011(1)：54—58lo王芝平．构建模式探新路，一个方法贯始终⋯2011年高考北京卷压轴题的变式研究与启示EJ]．数学通报，2011(7)：61—6311徐文兵．2010年高考数学北京卷理科压轴题剖析EJ]．中学生数学，2010(12)上：40一4l12章建跃．中学数学教学概论(第2版)EM]．北京：北京师范大学出版社，2008刊号：萼哥斋望黼全国各地邮局订购代号：2—501全年定价：72．oo每期定价．6．00元万方数据64数学通报2017年第56卷第2期数学问题解答2016年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)2341已知口，6，c，d≥o，n+6+c+d一3，求证：口+口6+口6c+口6cd≤≤4．(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平712000)证明(1)先证3元的类似不等式：已知口，6，c≥o，口+6+c一3，求证：a+拍+幻c≤4。(*)事实上，由条件知以≤3，应用2元均值不等式，得口+口6+口6c一口+n6(1+c)≤小[丛≯]2一口+÷口(4一口)2—4+÷(口3—8n2+20a一16)一4+÷(n一2)2(n一4)≤4，所以n+口6+口6c≤4．(2)再证4元的不等式：由条件口，6，c，d≥o，口+6+c+d一3，得3≥口+6+c≥3征，即口撕≤1．于是，条件变形为倥+d，6，f≥O，(a+矗)+6+c一3，并注意应用(*)，得n+口6+口6c+口6cd一(口+n6cd)+口6+口6c≤(n+d)+以6+口6c≤(口+d)+(口+d)6+(口+d)缸≤4．所以n+口6+n6c+n6cd≤4．容易获知，等号成立的条件为(口，6，c，矗)一(2，l，O，O)．2342设ON切△ABC的两边CA，CB于点E，F，同时与△ABC的外接圆00内切于点P．连结CN并延长交oO于T，求证：o(T，TB)与EF相切．(湖北省谷城县第三中学贺斌441700)证明设C丁与EF交于点S，连结To并延长交00于M，连结P0并延长交00于Q(点N在PQ上)，则么CFN=么CSF一90。，所以NC·NS=NF2．又NC·NT—NP·NQ=NF·NQ，所以NC·NS+NC·N丁=NF2+NF·NQ．而NC·NS+NC·NT—NC·(NS+NT)=NC·TS，NF2+NF·NQ—NF·(NF+NQ)一NF·(NP+NQ)一NF·PQ，所以NC·TS—NF·PQ．①又因为△CFN∽△MBT，所以器一署，所以Nc·TB—NF·聊，所以NC·TB—NF·PQ．(舀由①、②得NC·TS=NC·TB，TS=TB．注意到CTj_EF知，EF是以点T为圆心，定线段TB长为半径的圆的切线．故o(T，TB)与EF相切．2243设ni，zi，Ai∈R，(i一1，2，⋯，，z，咒≥2)，￡∈R，且M1=A1zl+Azz2+⋯+A。一1z。一1+A。z。>0，Mz=A221+A222+⋯+A。z。一1+A1z。>O，⋯●⋯⋯⋯●⋯●⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯●⋯⋯⋯⋯●●●％一A。z1+A122+⋯+A。一2z。一1+A。～1z。>0，并令N1一(￡一A1)z1+(≠一A2)z2+⋯+(￡一叉。)z。，N2=(f—A2)zl+(￡一A3)z2+⋯+(￡一A1)z。，万方数据N。一(￡一A。)z1十(￡一A1)z2十⋯十(￡一A。一】)z。，若￡(A1+A2+⋯+A。)>o，则善意口；≥i再矗矗(圣以z)l善以若￡(A。+A：+⋯+A。)<o，则式中不等号反向．当且仅当嚣一薏一·一是时式中等号成立．≠o，∑A。≠o因为N：一f(∑z：)一Mi(i一1，2，⋯，")，所以z一1等；一雩竽；t(骞z：)甓_c剐忍⋯㈤，当￡(A，+Az+⋯+A。)>o时，有ili≯}_习瓦>0．于是由柯西不等式可得耋铷；一t(骞训骞矗一耋口；≥￡(∑五)(∑盘i)2。∑Mf■—T■—_．————开^1十^2十⋯十，L”一∑以；当z(A。+A。+⋯+A。)<o，则式中不等号反向．当且仅当备一老一·一盎时式中等号成立．2344在△ABc中，以Bc中点M为圆心，作圆交AB、AC于F、E，作DF-LAB，DEJ-AC，FE交AD于P，BP、ME交Q，求证：QA∥Bc．(江西师范高等专科学校王建荣陈志钦335000)证明设BQ交AC于R，由梅氏定理可知：RQ．BM．CE一、一RQ—QB商‘面‘丽叫≥丽一西’RQ—sin么AEQ—AQ·sin么QAEERsin么BQEQE·sin么BQE垒鱼：!!翌么垒垒里一垒里PE·sin么QPEDE·sin么QAE·sin么DPE·sin么QPE·sin么ADEBQ·sin么ABQ·sin么QAE·sin么DPEDE·sin么QPE·sin么ADE·sin么QAB一旦鱼：兰￡：!i望』堡￡兰：!i翌』!丝堡：!i翌』旦￡墨DE·BF·sin么QPE·sin么ADE·sin么QAB一旦鱼：￡￡：ii璺』鱼垒堡：!i翌』望￡堡⋯澎DE·BF·sin么ADE·sin么QAB“、延长QA至G，显然D是△ABC的垂心，由△肋F～△CDE≥器一差亨QB—QB·FD·sin么EPDCEDE·BF·sin／FPD一等等葚乡黑⋯※※DE·BF·sin／FDA⋯⋯由※和※※可得：sin么QAE·sin么DPE—sin么EPDsin么ADE·sin么QABsin么FDA—sin么QAE—sin么ADE’sin么QABsin么FDA—sin么QAE—sin么ADEsin么GABsin么FDA=》cos(么QAE一么FDA)一cos(么QAE+么FDA)=一cos(么ADE一么GAB)一cos(么ADE+么GAB)，(积化和差公式)由么QAE+么GAB一么ADE+么FDA=>cos(么QAE+么FDA)一cos(么ADE+么(、AB)因此么QAE+么FDA一么AD￡+么GAB=》么FDA一么GAB，由弦切角和已知条件=>DA上AQ，由AD—LBC得QA∥BC．2345设九为正整数，证明：麦+麦+麦+⋯+等≥半．(甘肃省秦安县第二中学罗文军7416。o)证明由组合数性质是C：一九C：二；(五一1，2，3，⋯，行)，1C：+3C：+5Ci+⋯+(2九+1)C：一1C：+(1+2)C：+(1+2×2)C：+⋯+(2，l+O>z。∑HA。∑㈦一M。∑㈦为因明证z。∑州以昕，m。∑㈦一矗。∑㈦，，、万方数据1)U：一(C!+C：+C：+⋯+C：)+2(1C：+2C：+⋯+72C：)一2”+2(恕C：二；+咒C：二；+⋯+咒C：二{)一2”+2咒(C：一，+C：一，+⋯+C：二})一2”+2咒·2—1—2”·(行+1)吉+毒+麦+⋯+鼍}一鑫+蠡+鑫扣．+踹、[1+3+5+⋯+(2卵+1)]2多亿开可牙啊爵干i玎瓦丽№+1)·半]2(州)。一——万■石干万一一—F’即吉+麦+舌+⋯+鼍}≥鱼专垡，当d时告+击一芝掣，所以当咒一l时，不等式麦+毒+舌+⋯+鼍}≥鱼专垡取等号．2017年1月号问题(来稿请注明出处——编者)2346若以≥o，6≥O，c≥o，口+6+f一1，试证：~／r二萨+√r二驴+~／r二铲≥1+√1一听一1)‘(1)(浙江湖州市双林中学李建潮313012)2347在Rt△ABC中，CA≠CB，cD为斜边AB上的中线，过A作CD的垂线交直线CB于点E，过B作CD的垂线交直线CA于点F，连接EF交线段AB于点P，求证：△AFP的外接圆与△BEP的外接圆在其交点P处的切线互相垂直．(河南省辉县市一中贺基军453600)CF2348若△ABc的面积为S，角A，B，C的对边分别为口，6，c，则口6+6c+c口≥4(tan会+tan导+tan等)s≥2(sec会+sec导+sec导)s≥4仍．(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)2349已知△ABC(AB>AC)内接于圆0，点D。、Dz在BC上，且么BAD，一么CAD。，分别过点D，、D。作D。E。上A18于E。，D2E2上AB于E。，如图．C求证：AB—Ac≥2∥丽■■匾(北京市陈经纶中学张留杰100020)2350若n，6，f>0，则3(口4+64+f4)+(口6+6f+f口)2≥6(n262+62c2+f2n2)．(浙江省宁波市甬江职高邵剑波315016)(上接第4页)书培训与服务手册(初中数学)[M]．北京：北京师范大学出版社，2013：14[12]李善良．关于数学概念表征层次的研究[J]．数学教育学报，2005(4)：35[13]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2011年版)[s]．北京：北京师范大学出版社，2012：62[王4]孔凡哲．基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究[J]．教育研究，2四7(5)：66[15]孔凡哲．基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究[J]．教育研究，2007(5)：66[16]孔凡哲．基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究[J]．教育研究，2007(5)：65刊号：笔嚣浩望渊全国各地邮局订购代号：2—501全年定价：72．oo元每期定价：6．oo元万方数据2017年第56卷第3期数学通报数学问题解答2017年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)2346若口≥O，6≥O，c≥O，口-4-b十c一1，试证：、压=百≯+～压=丽F+、压=丐丁≥1+41--(√可一1)2(1)(浙江湖州市双林中学李建潮313012)证明为证(1)式，先证一个简单的结论：设z≥o，了≥o，z下p了≮il，则川=驴+以=西令1+以=虱孑丐F(2)事实上，(2)式铮(棚可十祈可)2≥[1+以i亿千矿]2甘2—3(z2+y2)+2／万=五巧刁j丽>，2--3(z+岁)2+2拆=弧i丐Fe2识下习≯丌F虿万≥2~／1—3(z+y)2铮(1—3x2)(1--3y2)≥1—3(z+y)2甘1—3(x2+y2)+9x2Y2≥1—3(z+y)2e922Y2>／-o，所以，(2)式成立．再证(1)式：不妨设口≥6≥c≥o，则由1—3a2≥O及n+6+c=1，得c≤÷≤盘≤去利用不等式扛+彤√而，有以可+饥=丽令板F硬7干万一√2一导(口+6)2一号(n一6)2其中O<一a--b=2a--(口+6)≤丢一(1--c)，所以由上式，得、K二霭七、K=磊2≥FFi习网：在万百iF页F万F孓i蔼最后，利用(2)式，有、压二疆七、．R二瓣七、压二毛孑≥F下巧可+一c其币o≤。≤喜)≥1+蘸÷一÷≥o)n一∥o√3—1+√l一(压一1)。．2347在Rt△ABC中，CA≠CB，CD为斜边AB上的中线，过A作CD的垂线交直线CB于点E，过B作CD的，垂线交直线CA于点F，连接EF交线段(因为1一万1一c≥AB于点P，求证：AAFP的外接圆与△BEP的外接圆在其交点P处的切线互相垂直．(河南省辉县市一中贺基军453600)证明如图，在RtAABC中，不妨设CA<CB，并记AE与中线CD的交点(即垂足)为G．延长CD至点Q，使DQ—CD，则四边形AQBC为矩形．因么E(；Q=么EBQ=90。，故E，G，Q，B四点共圆，QE为此圆的直径．万方数据64数学通报2017年第56卷第3期因AE上CQ，BF上CQ，故AE／／BF．在梯形AFBE中，P为对角线AB和EF的交点，取上底AE的中点M，连接并延长MP交下底BF予点N，易知N为BF的中点．在△DAC中，因DA—CDC，MA=MC，故DM上AC，又AM上CD，从而有CM上AD．在△NBC中，同理得CN上BD．由CM上AB及CN上AB知CP上AB．在矩形AQBC中，AB和CQ为它的对角线，因AG上CQ于点G，CP上AB于点P，故知四边形GPQB为等腰梯形，其顶点共圆，进而可知P，Q，B，E，G五点共圆．综上，QE为△BEP的外接圆的直径．同理，QF为AAFP的外接圆的直径．因么EQF一么PQE+么PQF一么PBE+／CAP-=90。，故QE上QF，且QE，QF分别为AAFP和△BEP的外接圆在其交点Q处的切线．由对称性知，上述两圆在另一交点P处的切线也互相垂直．2348若AABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为口，b，C，则ab+bf+Ca≥4(tan令+tan罢+tan导)s≥2(sec争sec导+secc)s>4捂s(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)证明先证链中第一个不等式以b+bc+ca≥4(tan今+tan虿B+tan导)s(1)在不等式(1)的两边同除以2S，经整理可将不等式(1)等价化为志+志+未志≥2(tan令+tan导+tan虿C)(17)令z—tan会，y—tan万S，z=tan可C，则有z，Y，z>0且xy+yz+zz一1，那么由万能公式可得(1,)，evl-么+-zx2+等+警≥2(z+y㈨甘三+{+{≥3(z+y+z)ZV2∞cz∥+yz+zz，(丢+专+丢)≥3(x-+-y+z)甘学+警+xy≥z+y+zZVZ铮丢[(在一荐)2+(存一再)2+(再一在)2p。故不等式(17)成立，从而链中第一个不等式(1)成立．再证链中第二个不等式的等价式2(taniA+tan导+tan导)>／sec虿A+Sec导+Sec虿C(2)注意到tan虿Atan虿B+tan导tan导+tan导taniA一1，‘an虿‘an虿十‘an虿‘an虿十‘ani‘ani—l，N／z,(2)∞4(tan会+tanB+tan导)2≥(sec会+sec导+sec导)2骨4∑tan2iA+8≥∑sec2虿A+2∑sec导sec导甘4∑(Sec2虿A一1)+8≥∑sec2虿A+2∑sec导sec虿C甘3∑sec2今一4≥2∑sec导sec虿C(3)此时注意到有熟知的不等式∑sec2会≥4，立得3Esecz虿A一4≥2∑secz虿A≥2∑sec导seciC，由传递性知不等式(3)成立，从而不等式(2)成立，即链中第二个不等式成立．又链中第三个不等式与熟知的不等式∑secA。万方数据≥2何等价，故知链中第三个不等式也成立．至此原命题不等式链全部获证．2349已知>AC)内接D1、D2在么BAD，一么过点D，、D。AB于E。，D2E。，如图．因为么BAD。一么CAD：，1‘D，D，所以Rt／kAE，D。~RtAAF⋯D所以筹一箍①又么BAD2一么CADl，所以Rt△AE：D2～RtAAFlD。，所以筹一等②由①×②得AE。·AE2=AF，·AF。③因为A、B、D。、C四点共圆，所以么D。CF，一么DlBEl，所以Rt△D1E1B～Rt△D，F。C，所以祭一器④同理可证器一器⑤因为么BADl一么CAD2，所以BDl一CD2；因为么BAD。一么CAD，，所以BD。一CD，．所以④×⑤得BE，·BE。一CF。·CF：．由AEl·AE2=AFl·AF2得(AB—BEl)(AB—BE2)一(AC+CF，)(AC+CF。)≥AB2一AB(BEl+BE2)+BE，·BE：=AC2+AC(CFl+CF2)+CFl·CF2≥AB2一AC2一AB(BE，+BE，)+AC(CFl+CF2)≥AB2一AC2≥AB(2，＼／BEl·BE2)+AC(2、厅瓦_己可)净AB2--AC2≥2、／BEl·BE2·(AB+AC)≥AB--AC≥2、肛厦■_丽-．当且仅当AD。、AD。重合为么BAC的角平分线AE时取等号．2350若a，b，c>0，则3(a44-b4+c4)+(ab4-bc4-ca)2≥6(n2b24-b2C24-C2a2)．(浙江省宁波市甬江职高邵剑波315016)证明不妨设以≥6≥c，记两边的差为a的函数：厂(n)一3(n44-b44-C4)4-(ab+bc4-ca)2—6(以2b24-b2C24-c2a2)，则f7(n)一12a34-2(口6+6c+cn)(6+c)一6(2ab24-2c2a)，，(n)一36a24-2(64-f)2—12(624-c2)一36a2—10(624-C2)4-4bc>0，所以厂7(以)是增函数，因此f7(n)>厂7(0)一2bc(b4-c)>0，所以厂(口)是增函数，因此厂(以)≥厂(6)一644-4b3c+3c4—8b2f2，同理厂(n)≥厂(c)一∥+4c36+364—8b2C2，两式相加得2f(a)≥厂(b)+厂(C)一4b44-4b3C4-4c3b4-4c4—16b2f2≥8b2c2+4bc(b2+C2)一16b2C2≥4bc·26c一8b2C2—0，从而厂(口)≥0，原不等式得证．2017年3月号问题(来稿请注明出处——编者)2351设以，b，c>O求证：a4-b34-c33abca堡b14-±b垡c4-±c皇a●(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平712000)2352设△ABC的三边a，b，c上的高分别为h。，h。，h。．外接圆和内切圆的半径分别为R，r．求证：R、矗!+矗2+矗；2r7矗。^6+h6h。+h。h。万方数据(四川成都金牛西林巷18号华鑫园A60l宿晓阳610031)2353在／kABC中，E、F分爿．别是AB、AC上的点，则EF过△ABc重心G的充要条件，。AEAFAEAFEf为：面。F—C一面十而BC(江西师范高等专科学校王建荣陈志钦335000)2354已知a，b，C是正数，求证：詈+手+詈+4(i‰+矿卺+i薏)≥9．(Ja海市宝山区宝林六村42号101姜坤崇201999)2355已知正实数z，Y，z满足z+Y+z一371+Y1+∥，求证：当A<1时32。Y，z2≥1，当A>1时．771Y’z2≤1．(江苏省常熟市中学查正开215500)用帕斯卡线解答数学问题2284李伟健(安徽省滁卅l中学239000)帕斯卡线是圆锥曲线中一条重要性质，反映了射影变换的不变性质一结合性，本文拟从帕斯卡线的角度解答数学问题2248，解答过程中，发现了数学问题2248存在另一对平行的直线．Pascal线对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上，即Pascal线．数学问题2284如图，非退化二次曲线C内接三角形ABC内接四边形DEFG满足：DE／／AB，EF／／BC，FG／／CA．过点A作直线l／／DG．求证：直线z是二次曲线C的切线．证明将这一问题放入射影空间，从射影空间看，互相平行的直线是交于无穷远点的直线，设眠一DE×AB，Q。一EF×BC，N。一FG×CA，且设K：AEXBG，T=AAXDG，无穷远直线记为z。，(1)曲线C的简单六点形AEFGBC，其帕斯卡线为三点ACXFG—N。，BC×FE=Q。，AE×BG=K连线，此帕斯卡线为直线Z。，所以K∈Z。；(2)曲线C的简单六点形ABGDEA，其帕斯卡线为三点AB×ED=M。，EA×GB—K，AAXGD=T连线，此帕斯卡线为直线Z。，所以T∈Z。；因此，从欧几里得平面看非退化二次曲线c在点A处的切线平行于直线DG，所以直线z是二次曲线C的切线．从证明的过程看，由于K∈l。，一旦连接AE、BG，直线AE与直线BG必然平行．因此说数学问题2284实际上是一个射影命题，因而它的本质解答必然是属于射影几何的，原解答从曲线方程的角度解答，计算量实在是太大了，所以笔者在此呼吁，中学阶段的圆锥曲线问题的探究活动，迫切需要射影几何指导．师范大学应对此重视，毕竟这对提高中学数学教师对圆锥曲线的探究水平，乃至教学水平都是一件经得起时间考验的事情．参考文献Eli吴波．数学问题与解答EJ]．数学通报，2016(1)刊号：篆熹竿氅蒹≥筹全国各地邮局订购代号：2—501全年定价：72．oo元每期定价．6．oo元万方数据64数学通报2017年第56卷第4期数学问题解答2017年3月号问题解答【解答由问题提供人给出)2351设n，6，c>o求证：压3+63+c3、n2+62+c2√—1磊■一多磊干瓦干瓦‘(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平712000)证明所证不等式等价于等一·≥(粼)2^等价于n3+63+c3—3口6c3口6f、(口2+62+f2)2一(n6+6c+c口)2多————瓦万再iF五了——一’等价于(口+6+c)(口2+62+c2一n6—6c—f口)386f＼(瞳2+62+c2)2～(盘6+6c+cn)2多————五乒而i矗五r—一’因为n2+62+c2≥口6+6c+c口，所以，只要证明n+6+c、—五。云■乡口2+62+c2+以6+6c+f口(盘6+6c+f口)2’等价于(口+6+c)(n6+6c+c口)2≥3口沈(盘2+62+c2+n6+6f+c盘)．(*)事实上，应用2元均值不等式，得(口6+6c+cn)2一(口6)2+(6f)2+(cn)2+2口缸(口+6+c)≥n6·6c+6c·cn+c口·口6+2口6c(口+6+c)一3口6c(盘+6+c)，所以(n+6+c)(n6+沈+c口)2≥3n6c(n+6+c)2>3口沈(口2+62+c2+。6+6f+cn)．即不等式(*)获得证明，从而所要证明的不等式成立．2352设△ABC的三边口，6，c上的高分别为^。，^。，^。，外接圆和内切圆的半径分别为R，r，求证：R、矗。2+矗62+矗。22厂夕^。矗6+^6矗。+矗。^。(四川成都金牛西林巷18号华鑫园A601宿晓阳610031)证明设△ABC面积为△，半周长为s，则由三角形的面积公式△一豢一s，．一瓶F孤i丽，易知证式等价于n6c页ii灭i石叉i习≥嗾糟∞壶+嘉+吉≤砭ii万万兰丽(1)又口2≥口2一(6一c)2—4(s一6)(5一f)，所以砉≤瓦i高，同理吉≤砭孓耦，吉≤砭ji专万二万，三式相加，即得(1)式．故证式成立．2353在△ABC中，E、F分4别是A．8、AC上的点，则EF过△ABC重心G的充要条件为：篙．篙一篙+篙．E(江西师范高等专科学校王建荣陈志钦335000)证明1．必要条件：若EF过△ABC重心G，贝!J篙·篙一等+等．连AG并延面十丽。j至A6开延长交BC于D，分别延长AH，由梅涅劳斯定理：丝．望．堕一，EBHDGA”HFE、CB相交于H，连接万方数据即簧一篇一学一，+等，故嚣一篙^同理篙·器·器乩即得器一篙^因此(篙一，)(篙一，)一，㈢丝．笪一丝+笪?jEBFCEBFC‘2．充分条件：若EF满足AEAFAEAF丽‘而一面十雨，则EF过△ABC重心G．如图，设D为BC中点，连AD交EF于G，分别延长FE、cB相交于H，连接AH，令z一筹，则由梅涅劳斯定理：篙·器·器一1≥2AE2HD，IHCz·EBBH1BH‘同理篙·器·筹一·≥篇一·+器，因此≥·筹·篙一吾(篙+篙)，当z一2时，命题成立，当z≠2时，与已知矛盾，所以EF过△ABC重心G．2354已知以，6，c是正数，求证：詈+争+詈+4(彘+专+毫净。．(上海市宝山区宝林六村42号101姜坤崇201999)证明对于两个正数z，y，因为(z—y)2≥o，所以z(z+y)+4y2≥3y(z+y)．两边同除以y(z+y)得三+单≥3，VZ1_V即有不等式詈+兰邑≥3(z，y>o)，VZ1_V由此得詈+燕≥3，手+彘≥s，詈+j芝≥3，以上三个不等式相加即得所证不等式．2355已知正实数z，y，z满足z+y+z一∥+少+∥，求证：当A<1时∥v，z。≥1；当A>1时z。v—z=≤1．(江苏省常熟市中学查正开215500)证明考察函数厂(z)一1nz一#专+车；，肿k)一去一刍一害．(1)当A<1时，对z∈(o，1)，厂7(z)<o，对z∈(1，+。。)，厂7(z)>0，则函数厂(z)在(o，1)上单调递减，在(1，+。。)上单调递增．则由厂(z)≥厂(1)一o，得lnz≥}L_(1一≯_1)，1^即得zlnz≥Fl_(z一∥)．因此，有1^zlnz+ylny+zlnz≥击(z√)+击(y叫)+击(z一∥)一r与(z+y+2一(一+y3+z3))一o·所以，当A<1时z2y—z。≥1；(2)当A>1时，对z∈(o，1)，厂7(z)>o，对z∈(1，+。。)，厂7(z)<O，则函数厂(z)在(o，1)上单调递增，在(1，+。。)上单调递减．则由厂(z)≤厂(1)一o，得lnz≤_≮(1一∥_1)，即得zlnz≤高(z一一)·因此，有zlnz+ylny+2ln2≤r与(z+y+z一(一+y1+∥))一o．所以当A>1时z。y，z2≤1．由(1)(2)得原命题成立．2017年4月号问题(来稿请注明出处——编者)2356设以，6，c，d>0，且口+6+f+d一4，求证：以2+62+c2+d2+}(口6f+口6d+ncd+6cd)≥7．(河南省辉县市一中贺基军453600)2357在任意△ABC中，求证：cot2A+cot2B+cot2C≥圭(cotA+cotB+cotC)一3．万方数据(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)2358如图，在△ABC中，么BAC≠90。，点0是其外心，△0BC的外接圆K分别与边AB、AC交于P、Q，直线0K交Bc、圆K分别于M、D，求证：么PDA一么PAM．／|f0心|庶}刘i心∥DC(陕西省兴平市教研室吕建恒713100)2359设△ABC的三边长为口，6，c，外接圆半径为R，内切圆半径为r，旁切圆半径为心，n，_，面积为△球证：(买)2≤上+上+上≤(罢)2．U，口fblbfc’c，aLU(河南质量工程职业学院李永利467000)2360竹是非负整数，记F。一22”+1，这称为Fer—mat数．对于给定的m∈N+，求能整除2”+1的所有不同的Fermat数．(浙江温州市区马鞍池东路1—408陈克瀛325000)(上接第63页)其各边长同除以公因子d，得到与其相似的Ev—ans三角形，其三边长为f口7一(是4—3正2+1)丘(f^)一(忌4—4走2+3){67一(忌4—3忌2+1)厂：(z女)(志2—2)lc7一忌4—3愚2+1(11)其Evans比为r，一一t一2”+1走(忌2—1)(忌2—2)(忌2—3)Ⅱ厂：(z女)l一1(12)注1在例1中，取m一1，可得Evans比为[43r。一4是(屉2—2)(2忌4—4忌2+1)的Evans三角形．注2在例2中，取m一1，可得Evans比为口][6]r，一4(是2—1)(2是2—1)(8忌4—8尼2+1)的Evans三角形．注3在例3中，取m一1，可得Evans比为t一锻(是2—1)(是2—2)(忌2—3)r2(忌4—3尼2+1)2—1]的EvanS三角形．注4可以证明，例1和例3中得到的Evans三角形均为本原Evans三角形，例2中得到的Evans三角形当是为偶数时