数列求和及综合问题

                                数列求和及综合问题 一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接 利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1. 2．一些常见数列的前n项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝ (2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ (3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝            . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． 2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见列项公式： ①＝·(－)；②若{an}为等差数列，公差为d，则＝(－)；③＝－等． ★经典习题练习： 1．(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝                                                  (  ) A.  　B.  C.    D. 2．(教材习题改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(  ) A．1        B.            C.          D. 3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为    (  )     A．31        B．120        C．130      D．185 4．数列{(－1)n·n}的前2012项和S2012为________． 5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝______________. ★关键要点点拨： 数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 高考考点一：分组转化法求和 [例1]　(2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前2n项和S2n. 巧练模拟 1．(2012·临沂模拟)数列1，3，5，7，…的前n项和Sn为  (  ) A．n2＋1－    B．n2＋2－  C．n2＋1－ D．n2＋2－ 2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为 －2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn. ★点拨:分组求和常见类型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和. 高考考点二：错位相减法求和 [例2]　(2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式；  (2)求数列{}的前n项和．   ★点拨:用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 高考考点三：列项相消法求和 [例3]　(2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，     a＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和． ★点拨1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等． 2．一般情况如下，若{an}是等差数列，则＝， ＝. 高考考点四： [例4](2010·福建高考)数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝     (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；     (2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值． 数学思想(十)　分类讨论思想在数列求和中的应用 典例(12分)(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.