厦门理工高等数学无皮练习答案第三章一元函数积分学

厦门理工高等无皮练习第三章一元函数积分学 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题一 不定积分的概念与性质 一、选择题: ,[f(x)dx],sinxf(x),1、设，则 [ A ] , (,) (,)，C (,) (,)，C sinxsinxcosxcosx 22xf(x)dx,xe，cf(x),2、若，则 [D ] , 2x22x2x2x2xe2xexe(,) (,) (,) (,) 2x(1，x)e xecosx3、下列函数是函数2的原函数的为 [ A ] xxxx,esinxesinx(,) (,) (,) (,) e(cosx，sinx)e(cosx,sinx) 2f(x),ktan2x4、设的一个原函数为，则等于 [ C ] klncos2x3 2433(A) (B) (C) (D) ,,32345、下列关系式正确的是 [ C ] ,d[f(x)dx],f(x)f(x)dx,f(x)(A) (B) ,, d,[f(x)dx],f(x)，C(C) (D) f(x)dx,f(x),,dx 二、填空题: x,x2xe1e,xexC,，xexC,，2e(1,)dxdx,1、 2、= ,x,1e，x 2x，x，1ln||arctanxxC，，cotcscxxC,，cscx(cotx,cscx)dx3、= 4、= dx,2,x(x，1) 11,x,x33f(x),5、设，则 f(x)dx,3e，C,e, 三、解下列各题: xx2,3,5,21dx1、 2、 (1,)xxdxx,2,3,5xxxxx3232,,,,,,,, xx,,,,,,,,23522525,,,,5555,,,,,,,, 原式=dxdxCC,,,，,,，,,,,,,32,,3535333ln3ln53ln2ln5，，，，,,,, lnln55 3571,,44444原式,,,，，xdxxdxxxC4 49 ,,7 2cos21，xx3、 4、 dxdx,22,4cossinxx1,x 22cossinxx, 1原式,dx原式,dx22,,2 cossinxx1,x 11,，arcsinxC,,dxdx22,, sincosxx ,,,，cottanxxC 22f(x)dx5、若，求 f(sinx),cos2x，cotx, 1,t22222解:令则 sin,xt,cos1,cot,cos2cossin12.xtxxxxt,,,,,,,t 112即从而: fxx,,2,fxdxxdxxxC,,,,，2ln.，，，，,,xx 24、一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。 (e,3) 11,yfx,,解:设曲线方程为则依题意有:故 fx,,fxdxxC,,，ln,，，，，，，,xx 2e,3.fxx,，ln1.又因为曲线经过点,,C1. 因此，所求曲线方程为 ，，，， 25、一物体由静止开始运动，经过秒后的速度是，问: 3t(m/s)t (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少, 360m(2)物体走完需要多少时间, 2sft,,ftt'3,,解:设路程与时间的函数关系为依题意有从而， t，，，， 23,sC,,,0,0.t,0 又当时， ftftdttdttC,,,，3.，，，，,, 3ftt,,即 ，， 31:fm3327.,, ，，，， 332: 依题意有 360,245.,,,tts ，， 50 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题二 不定积分的第一类换元法(一) 一、选择题: dx1、= [ B ] ,1,2x 1(A) (B) (C) (D) ,1,2x，C1,2x，C,1,2x，C,21,2x，C2 xdx2、设，则= [ B ] b,02,a，bx 1122(,) (,) ln|a，bx|，Cln|a，bx|，C2b2 1b22(,) (,) ln|a，bx|，Cln|a，bx|，Cb2 f(x)dx,F(x)，Cf(2x，1)dx,3、若,则 [ B ] ,, 11F(2x，1)F(x)(A) 2+C (B) (C) (D) 2+C F(2x，1)，CF(x)，C22 22f(x)dx,x，Cxf(1,x)dx,4、若，则 [ D ] ,, 2222(,) (,), (1,x)，C(1,x)，C 112222(,) (,), (1,x)，C(1,x)，C22 二、填空题: 11,11,221、 2、xdx, dx,dd(1,x)232xx1 xdx324,12xdx,,3、 4、 d1,x d(3x,2)21,x 11arcsin3xC，dx1,,，ln|23|xC3dx5、= 6、 = 3,,22,3x1,9x113,bx1axeC，，tan()22(13)，，xC2,bxab2(secax,e)dx7、x1，3xdx= 8、= 9,,1,x,，C,，sin()eC,x,x3sin3xcsc3xcot3xdxecosedx9、= 10、= ,, 1111cos，Cln|ln|xC，11、dx= 12、dx= sinx2,,xxlnxx 51 三、计算下列各题: 2342x(2x,3)dxtan(3x)dx1、 2、 ,,11343 2,,,()()2323xdx,tan()()33xdx,,63 11 352,,，()23xC,,(sec())()313xdx, 303 1,,，tan()3xxC 3 33sinxdxtanxsecxdx3、 4、 ,, 22 ,,sincosxdx,tansecxdx,, 22,,,(cos)cos1xdx,,(sec)secxdx1 ,, 33 cosxsecx,,，，cosxC,,，secxC 33 1,x4cosxdxdx5、 6、 ,,24,9x212，cos()x1x,()dx ,,dxdx,,,2224949,,xx 114，cos()x3,，，[cos()]122xdx ,dx()2421149dx(),2 ,，,,3112318349,x 2,，，，xxxCsin()sin()241,()x84322 131 2,，,，arcsin()xxC49 329 arctanxdxdx7、 8、 2,,x(1，2lnx)x(1，x) dxlnarctanx,,2dx2,, (ln)12，x1，x 121dx(ln)，,2arctanarctanxdx,, 2,212(ln)，x2 ,，(arctan)xC1 ,,，C212(ln)，x 52 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题三 不定积分的第一类换元法(二) 一、选择题: ,x,fx(ln)f(x),e1、设，则= [ C ] dx,x 11,，C(A) (B) (C) (D) ,lnx，Clnx，C，Cxx 12,f(x)f(x)2、设，则= [ B ] ,x 12x，C，C(A) (B) (C) (D) 2x，C2x，C x 23、经过变量代换，则= [ B ] 1，xdxx,tant, sect33sectdt,sectdtsectdtdt(A) (B) (C) (D) ,,,2,1，t dx4、= [ C ] ,29x，1 22ln|3x，9x，1|，Cln|3x,9x，1|，C(A) (B) 1122ln|3x，9x，1|，Cln|3x,9x，1|，C(C) (D) 33 ,fxx(ln)1,，fx(),5、设，则 [ C ] 22xexlnxxxxeC，，xC，，eC，，(A) (B) (C) (D) (2ln)，，xC222 二、填空题: 322()xxC,，,，363xdxxxeC,,，ln||13dx1、= 2、 ,,x,1e,x,3 222124,,xxa，ln||，C,，C1dx2dx3、= 4、= 2xax,,2222x4,xxx，a 1x,122x,1dxxC,,，1arccosarcsin()，Cdx5、= 6、= ||x2,,2x3，2x,x 53 2dxx，121ln()，，xC,7、 8、= dx,,4x，xx1，x 11244三、计算题: ln()ln()ln||xxxxC，，，，,,，11122dxdx1、 2、 ,,231，2x(x，1) 2,, 2t解:令则xttdxt,,,,tan,(,),sec.解:令则2xtxdxtdt,,,,,.22 22 sect1dttdtcos原式,,原式,,()1dt3,,, sect1，t sintC,，,,，，ttCln()1 x,,，，212xxCln()C,， 21x， 2xdx1dx3、 4、 ,,2221，1,xa,x ,,,, 解:令则xttdxtdt,,,,sin,(,),cos,解:令xatt,,,sin,(,),2222 costdt1dxatdtcos.则, ()1dt原式,,,,,2211，，coscosttatatdtsincos, 原式,,1dtt atcosttCtan,,,,，,t222 12cos()t,2cosadt,2, 2222 11x,aattsincos,,,，，arcsinxCtC,,， xx22 2tttsincos1,axx22tan注:,,arcsinaxC,,,， 21，cossintt22a dxdx5、 6、 ,,x221，exx,1 2t,,x2 解:令则，11，,,,,etxtdxdt,ln().解:令xtt,,,,sec,(,)(,).002t,122 211则dxttdt,,sectan, 原式,,,dtdt,,2ttt,,，111sectanttdt, 原式,,costdt2,,,,，，，ln()ln()ttC11sectantt, xx2 ,，,,，，，ln()ln()1111eeCx,1,，,，sintCC x 54 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题四 不定积分的分部积分法 一、选择题: x1、= [ C ] lndx,2 xxxx(A) (B) (C) (D) xln,2x，Cxln,4x，Cxln,x，Cxln，x，C2222 ,,xf(x)dx2、= [ C ] , ,,f(x)，Cxf(x)，Cxf(x),f(x)，Cf(x),xf(x)，C(A) (B) (C) (D) ,f(lnx),1，xf(x),3、设，则 [ C ] 211xx2x2xx，e，Cx，，C(A) (B) (C) (D) lnx，(lnx)，Ce，e，C222 2xf(x)dxf(x)cscx4、设是的一个原函数，则, [ B ] , 22xcscx,cotx，Cxcscx，cotx，C(,) (,) 22xcscx,cotx，Cxcscx，cotx，C(,), (,), ,xf(x)lnf(x),cosxdx,5、设，则 [ A ] ,f(x) (A)xcosx,sinx，C (B)xsinx，cosx，C (C)xcosx，sinx，C (D)xsinx,cosx，C 二、填空题: sindxxxxsinxdx1、计算, 可设u = , dv = ; , dxarcsinxarcsinxdx2、计算, 可设u = , dv = , ,3xxexd,3xxedx3、计算, 可设u = , dv = , x,2xxcosexd,2x4、计算, 可设u = , dv = cosedx2,2 2,x2,xxedx5、= ,，，，()xxeC22, 22ln(1，x)dx6、= xxxxCln()arctan122，，,，, 55 三、计算下列各题: 2,3x(x,1)sin2xdx1、 2、 edx,,2tt22 解:令,,,,,3xtxxt,,dd.解:原式=xxxxxsin()dsin()d22,,,99 11222tt ,,,xxxxdcos()sin()d()222原式=,tettedd,,,,2299 112222tttt ，，,,,,，xxxxdxxcos()cos()cos()2222,,,,，(d)teetteeC,,，，22999 23xx2 3x,,,，，()cos()sin()22xxC,,，，exC()31 9422 22xarctanxdx3、 4、 ln(x，x，1)dx,,2x1，32 x21x，2解:原式=arctandx解:原式,，，,,xxxxxln()d1,, 23xx，，133 xx1x2,,arctandxx ,，，,xxxxln()d12,,331，x2x，1 3xx11211d()x， ,,，arctanddxxxx2,,2,，，,xxxln()13331，x,2 2x，13x1122 22,,，，，arctanln()xxxC1,，，,，，xxxxCln()11366 3xln2xtanxdxdx5、 6、 ,2,x211lnx332解:原式,,,,，lnd()lndxxx3解:原式,,xxxxxsecdd2,,,, xxx 111232,,xxxdtan,,,lnlnd()xx3, ,2xx 111lnx232,,,xxxxxtantand,,,，lnlndxxx36, 2,2xxx d(cos)x1111232,，,xxxtan,,,,lnlnlnd()xxx36 ,,cosx2xxx 11361232,，,，xxxxCtanln|cos| ,,,,，lnlnlndxxxx62,2xxxx 136632 ,,,,,，lnlnlnxxxCxxxx 56 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题五 有理函数的积分 一、选择题: dx1、= [ A ] 2,x,4 1x,21x，21x，21x,2ln，Cln，Cln，Cln，CA) (B) (C) (D) (4x，24x,22x,22x，2 xdx2、= [ A ] 2,4，x 122(A) (B) ln(4，x)，Cln(4，x)，C2 xx1x(C) (D) arctan，Carctan，C2222 二、填空题: 1117dx1、= ln||ln|4|xxC,，，8,x，4x428 12x,1ln||，Cdx2、= 31x，,(x，1)(x,2) 13323xxxxC,，,，，927ln|3|xdx3、= 32,x，3 三、计算题: 2x，3xdx1、 2、 dx2,100,x,5x，6(x,1) 121 x，3,，，[]dx,dx9899100,, (2)(3)xx,,(1)(1)(1)xxx,,, 65111,,,979899,,()dx,,,,,,,，(1)(1)(1)xxxC, xx,,32974999 ,,,,，6ln|3|5ln|2|xxC 57 543x，x,83、 4、dx dx3,3,x,xx，1 8342 ,，，，,,(1)ddddxxxxxx,,,,xxx,，11 12,，x1132 ,，()dx,，，，,,,，，xxxxxxC8ln||3ln|1|4ln|1|2,xxx，,，1132 21d(1)3dxxx,， ,，,，ln|1|x2,,13212xx,，2 ()x,，24 121x,2 ,，,,，，，ln|1|ln(1)3arctanxxxC23 dxdx5、 6、 ,,32，sinx1，x，1 x2323 解:令则tan.2arctan,dd.,,,txtxt解:令txxtxtt,，？,,,1,1,d3d221，t 23t2原式,dt ,211，tt，1原式,,dtdt 2,,2t3tt，，12，,,，3(1)ddttt 2,,1，t1，t 132dt()， ,,，，，tttC33ln|1|22, ,133222333()()t，， ,，,，，，，，(1)313ln(11)xxxC222 23231 ,，，arctan[()]tC332 23231x ,，，arctan[(tan)]C 3322 58 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题六 综合练习(一) 一、选择题 ,f(x),f(x)f(x),0f(x)1、若，且，则= [ D ] xeA) (B) (C)1 (D) (lnxx F(x),f(2x，1)dx2、函数的导数为 [ A ] , f(2x，1)f(2x，1)，1f(x)2f(2x，1)(A) (B) (C) (D) 23f(x)dx,F(x)，Cxf(ax，b)dx3、若,则当时，= [ C ] a,0,, 33(A) (B) 3aF(ax，b)，C3F(ax，b)，C 1133(C) (D) F(ax，b)，CF(ax，b)，C33a ,3x,xf(x)dxf(x)e4、设是的一个原函数，则= [ D ] , ,3x,3x,3x,3x3xe,e，C,3xe，e，C(A) (B) ,3x,3x,3x,3x3xe，e，C,3xe,e，C(C) (D) 1ln(1，)xdx,5、 [ A ] ,x(x，1) 11112(A) (B) ,ln(1，)，C(1，)ln(1，)，C2xxx 11(C) (D) lnln(1，)，Cxln(1，)，Cxx 二、填空题 1122,，cos2xCtanln|cos|xxC，，23xsin2xdxtanxdx,1、= 2、 42,, 1xxxxCarctanarctan,，，,,，5cossin3xxC(5sinx,cos3x)dxarctanxdx3、= 4、= 3,, 12xeC，2,f(x)5、若，则= f(lnx),x(x,1)2 59 ln|csccot|xxC,，f(x)cosxdx,ln(sinx)，Cf(x)dx6、若，则= ,,三、计算题 dxxarctanxdx1、 2、 ,2,2sinxcosx1，x 222sincosxx， 解:原式,，arctand1xx解:原式,dx,2,sincosxx1 2,，,1arctandxxx,，secdcsccotdxxxxx,2,,1，x ,，,，ln|sectan|cscxxxC22,，,，，，1arctanln(1)xxxxC 22a,x2,3xxedxdx3、 4、 ,,x 11223233,,,xxx,,解:原式,,,,，xdexexedx解:令则xattxatt,,,,sin,(,).dcosd,, 33322 12atattcoscosd,233,,xx ,,,xexde原式,,,39atsin 21222333,,,xxx1sin,t,,,，xexeedx,,,atatttd(cscsin)d,,,399 sint 1222333,,,xxx,,，，attatCln|csccot|cos,,,,,xexeedx(3) ,392722()aax,,22122,，,，aaxCln||2333,,,xxx ,,,,，xexeeCx3927 2x2,(x)dxf(,(x)),lnxf(x,1),ln5、设，且，求 ,2x,2 2xx,，，1112 解:因为fxfx(1)ln,()ln.,,,,2xx,,,111 ,()112xx，， 所以fxxx(())lnln,()1.,,,,,，,,()111xxx,,,, 2从而()(1)2ln|1|xdxxxC,，,，,，,,, x,1 60 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题七 综合练习(二) 一、选择题: ln|x|f(x)f(x)1(若是函数的原函数，那么，的另一个原函数是 [ A ] 112ln|ax|ln|x，a|(A) (B) (C) (D) ln|ax|(lnx)a2 22(= [ D ] sinxdx,3 22322232(A) (B) (C) (D) ,cosx，C,cosx，Ccosx，Ccosx，C33233323 1，xdx,3( [ B ] ,1,x 2(A) (B) x,cosx，Carcsinx,1,x，C 22(C) (D) arcsinx，1,x，Carccosx,1,x，C二、填空题: 3122dx,,，(1)xCxf(x)dx,arcsinx，C1(设，则= ,,3f(x)35224(25)2(25),,xx,，，Cx2,5xdx2(= 75125, 13tantanxxxC,，，4tanxdx3(= 3,2x，1()13xx，Cln232dx4(= ,223(lnln)xxx,,1()9,4331xarctan，C233x3aadx5(= 66,ax， 211x,arccos，，Cx，1dx6(= ||xx,22xx,1 1110ln||ln||xxC,,，2dx2207(= 10,x(2,x) 三、计算题: 61 dxarctanx1、 2、 dx22,,x(x，1)sin2x，2sinx11,,()arctandxx解:原式x22, 解:令则tan,,uxx1，2 12,,,arctand()arctand(arctan)xxx212uu,,, xsin,cos,ddxxxu,,,222111，，，uuu 11122,,,，arctanarctandxxx1111，u2,2 xxx21()，原式,,，，dln||uuuC,448u 111x2,,,，,arctanarctan()dxxx11xx 22,,，，ln|tan|tanCxxx21，4282 112,,,，arctanarctanln||xxx x2 12,，，ln()1xC 2 2dx3x3、 4、 xedx,,x(4,x) 212x 1解:原式,xed,解:原式,dx2,2 42,,()x221122xx ,,xeedx,d()x,222, ,2221142,,()x2xx ,,，xeeC22x,2 ,，arcsinC 2 lnsindxx5、 6、 dx2,,22sinx(2x，1)x，1 ,,2 解:令,,,,,xttxtttan,(,),dsecd,,,lnsind(cot)xx解:原式,22 2cosxsect ,,，cotlnsincotdxxxx原式,dt,2,sinx(tan)sec21tt， 2,,，cotlnsincotdxxxxcosdsintt ,,,dt22,,211，，sinsintt ,,，,cotlnsin(csc)dxxxx1,,，arctan(sin)tC ,,,,，cotlnsincotxxxxC x,，arctanC 21，x 62 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题八 定积分的概念与性质 一、选择题: 22212n,,,,,,n1、= [ B ] limln111，，，,,,,,,,,nnnn,,,,,, 222222(A) (B) (C) (D) ln(1，x)dxlnxdx2lnxdx2ln(1，x)dx,,,,1111 f(x)y,f(x)x,a,x,b,y,0a,b、设函数在[]上连续，则曲线与直线所围成的平面图形2 的面积等于 [ C ] bbb,f(,)(b,a)(a,,,b)(A) (B) (C) (D) f(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,aaa 41xI,dx3、设定积分，则I的值 [ A ] ,01，x 2121,I,0,I,I,1(A) (B) (C) (D) ,I,121055 ,,, 4444、设，，，则 [ D ] I,xdxI,xdxI,sinxdx132,,,000 (A) (B) (C) (D) I,I,II,I,II,I,II,I,I123312132213二、填空题: 1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果: 2,2,0(1)= (2)= 4,xdxsinxdx,,,0, ,,022(3)= (4)= (x,1)dxcosxdxcosxdx,42,,,,,20,2 2、利用定积分的性质，填写下列各题: 2,,342,xarctanxdx,(1) (2) ,(1，x)dx,15163,,913 ,,3、利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小(填写 或 ) 1122232,,(1)xdx xdx (2) (lnx)dx lnxdx,,,,0011 ,,11x223322,,(3) (4) edx(x，1)dx1，xdx1，sinxdx,,,,0000 63 三、计算题: nnnn1、用定积分表示极限，，，， lim(？)2222222n,,n，n，n，n，n123 n1111,1 解:原式,,,,dxxlim[arctan],0,20,，,nkn4，x12,1k ，1()n 2xaxbab,,,,() 2、利用定积分定义计算由抛物线，两直线及x轴所围成的图yx,，1形的面积。 四、证明题: bfx()fx()0,fx()0,设在[a，b]上连续，，且，则在[a，b]上 fxdx()0,,a bfx()fx()0,fx()0,设在[a，b]上连续，，且，则在[a，b]上 fx()0,,a fx()0,证:(用反证法)设在[a，b]上。 fx()0,fx()由于，则至少有一点使得，因为在[a，b]上连续， xfx()0,00 这时，存在Ux(,),(0),,,，有fxxUx()0((,)),,, 00 bxxb,，,,00fxfxdxfxdxfxdx()()()(),，， ,,,,aaxx,，,,00 x，,0,,fxdx()0， 矛盾。 ,x,,0 fx()0, 所以，在[a，b]上 64 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题九 微积分基本公式 一、选择题: xf(x)1、设，则= [ A ] f(x)dx,xsinx,0 (A) (B) (C) (D) sinx，xcosxsinx,xcosxxcosx,sinx,sinx,xcosx 3x2、= [ C ] limx0x,2sintdt,0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 1f(x)3、设是的一个原函数，则= [ B ] xsinxf(x)dx,0 (A) (B) (C) (D) sin1，cos1sin11，sin11，cos1 x,4、设，则= [ D ] f[f()]f(x),sintdt,02 ,1(A) (B)1 (C) (D) ,cos11,cos1 2xdf(x)(,,,，,)5、设在内连续，则= [ B ] f(t)dt,0dx 2222,,(A) (B) (C) (D) f(x)f(x)2xf(x)2xf(x)二、填空题: b1dat011、= 2、若，则= esinbtdtk(2x，k)dx,2,,a0dx02224x0dd22coscos()tdtxx,22,3、= 4、 = 1，tdtxcostdt2xx1，x2,,0xdxdxcoscosxxyxdy,,,tyy,y(x)5、设确定了，则= edttdt，,cos01sin,xe,,00dx x,26、设在处取得极值，则= f(x),(acost，cos3t)dtx,a,0313x,1f(x)f(7),f(t)dt,x7、设为连续函数且满足，则 12,0 三、计算题: 2x122tt,,f(x)f(x),edt，edt1、设，求 ,,x0 42 xx,,解:fxxee(),,2 65 3x9df(x)dt2、设f(x),，求 3、 x(1，x)dx2,,x44dx1，t 322x92 11解:原式,，[]|x24,解:fxxx(),,3232128 11，，xx271 2,32xx6,, 12811，，xx 42053x，3x，1dx 4、 5、 2x,4dx,2,,10x，1 2501 2解:原式,,，,()d()d4224xxxx解:原式,，()d3xx,,,202,1 ，1x2225,,，,,，,[]|[]|444913xxxx ,0230,，,，[arctan]|xx1,1 4 2x2t,,edt,,,,0,,3、 7、 6sinx,sinxdxlim,x20x,0t2tedt,,0x22|cos|sindxxx解:原式,xt,02eetd ,0解:原式,lim,2,x x0,2xecossindcossindxxxxxx,,,,,0 x22t2etd,33 0,22224,lim2222,x[sin]|[sin]|xx,,,，,x0, 0xe,3333322x 2e,,lim222 xx2x0,2xee， ，1,(,1)xx2,8、设(),，求 fxf(x)dx,2,02,1,(,1)xx, 212122解:fxxfxxfxxxxxx()d()d()d()d()d,，,，，,121 ,,,,,10101 2x231132,，，,,[]|[]|xxx 01236 66 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十 定积分的换元法 一、选择题: af(x)[,a,a]1、设为上的连续函数，则定积分= [ D ] f(,x)dx,,a aaa(A)0 (B) (C) (D) 2f(x)dx,f(x)dxf(x)dx,,,0,,aa bbf(x)2、设是连续函数，则= [ A ] f(x)dx,f(a，b,x)dx,,aa b(A)0 (B)1 (C) (D) a，bf(x)dx,a x22f(x)(,l,l)3、设在区间上连续，则函数在区间上是 [ B ] F(x),tf(t)dt[0,l],0 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既奇既偶函数 (D)非奇非偶函数 44x1xf(x)dx,,f(t)dt4、设，则 [ D ] ,,002x (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 二、填空题: 11,099321、= 2、== (2x，1)dxsin,cos,d,12004,,,02 ,11dx1、dx3= 4、= 1,,210,x(1，x)5,4x 三、计算题: 2e1dxdx1、 2、 ,3,1,2(11，5x)x1，lnx ,3112ed(ln)1，x ，，=()d()511511xx,,2=5,1 xx1，ln151,212 e,,，,[()]|511x,2,，,,[ln]|21232x110512 ,,3223、 4、 (1,sin,)d,cosudu,,,06,,,21=d(cos)dcos,,,，,1 2,,00，=(cos)d12uu,,23 6cos4,,,，,,,[cos]|,,,,0,1113332,，,,[sin]|[]2uu,222346 67 1axdx2225、 6、 xa,xdx,,1,05,4x 2解:令,,,xatxattsin,dcosd,5,t 解:令54,,,,xtx,,4, 当时，当时，,,,,xtxat00;.,t2 dd.;xtxt,,,,当时，13,2 22222原式,=sincosdatatt,当时，xt,,11.0 44,,2aa5,t 222,,,sin()d(cos)d214tttt,,0013t148 24原式=d()d,,,ttt5,,4431,t28 atasin42,,,,[]|t0111 338416,,,[]|5tt1 836 xf(x)四、若是连续函数且为奇函数，证明是偶函数。 ftdt(),0 x证:记则 Fxftt()()d,,,0 ,xxx FxfttfuufuuFx()()d()d()()d().,,,,,,,,,,000 命题得证。 a，lf(x)五、设是以为周期的连续函数，证明的值与无关。 lf(x)dxa,a allal，，0证:方法一， fxxfxxfxxfxx()d()d()d()d,，，,,,,aal0 xtl,，0alaaa，其中 fxxftltfttfxxfxx()d()d()d()d()d,,，,,,,,,,,,000la allal，，0于是 fxxfxxfxxfxx()d()d()d()d,，，,,,,aal0 00l = fxxfxxfxx()d()d()d，,,,,aa0 l =与无关。命题得证。 fxx()d,a,0 al，,Fa(),Fafalfa()()(),,，,,0方法二，记那么， fxx()d,,a al，因此，的值与无关，命题得证。 Fafxx()()d,a,a 68 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十一 分部积分法 一、选择题: ,841、= [ C ] xsinxdx,,,4 ,84(A)1 (B) (C)0 (D) 2xsinxdx2,0 exln2、 [ B ] dx,,1x e1(A) 1 (B) (C) 0 (D) 22 1,xxedx,3、 [ C ] ,0 2221(A) (B) (C) (D) ,1，11,2,eeee二、填空题: 6,412,,1,x2edxarcsinxdx1、= 2、 = 2e,,00 2xelnx,2f(x)f(x),fxxxfxdx()ln2(),,3、设为连续函数且满足，则 e,1 2,7,,f(0),2f(2),3f(2),44、已知，，，则= xf(x)dx,0 三、计算下列定积分: ,,x32431、 2、 (2)cos2xxxxdx，，dx,,,,2,sinx,,44,3244解:原式,，，()cosdcosdxxxxxxx2223,,,, 解:原式,,xxdcot,,,,444 ,,22,,44 ,,222xxxxxcosddsin33,,00,,，[cot]cotdxxxx,,, 44,,244 ,,xxxxxsinsind2220,,0,,33 ,,，[lnsin]x,49224 ,,,,,444,，,，,xxxxxxdcoscoscosd2220 ,,31300,,1616,,，ln 49222211,,, 4,，,,,02sinx0162162 69 213、 4、 xlogxdxxarctanxdx2,,10 21 1122解:原式,logdxx解:原式,arctandxx2,,10 22 22 2111x11x2221,,[log]dxxx,,[arctan]dxxx210,2, 10222xln221x， 21111,,,2xxd,,,()d1x ,2,1022ln821x， 1113111122,,,,,,22x|,,，,,ddxx 12,,004242lnln822421，x ,1ln(1)，x2(sin)xxdx、5 6、dx 2,,00(2),x,12解:原式,,xxx(cos)d1211,02 ,，ln()d1x解:原式,02,x1,, 22,,[dcosd]xxxxx21,,ln()111，x0012 ,,,dx0,0221,,，xxx11 ,32,,,xxxdsin210,1110 64,,，ln()d2x,0321,，xx 11132,,xxxxxsin|sind222,,，,0,11，x01 644,,lnln|2032,x 113,xxdcos2,,,,1110 64,,,,ln(lnln)ln222323 113,,,,[cos|cosd]xxxx22,0,, 064 11133,,sin|2x,,，,,0 ,,,648641m2(1),xdx7、 (为自然数) m,0 ,解:令则当时，当时，xtxttxtxt,,,,,,sin,dcosd,,001 2 ,, 22242mm,()()2121mm，，22原式,,,,,cosdsindtttt,, 00212153mm，, ,, 22nn结论:Ixxxx,,,sindcosdn ,,00 nn,,1331,,,,,,,,n为奇数 ,nn,2422,, nn,,1342,,,,,,n为偶数nn,253, 70 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十二 定积分的几何应用(一) 一、填空题: xy,11、由曲线和直线、所围成的平面图形的面积的定积分表达式A= [ C ] y,xx,2 12211(A) (B) ，(x,)dxxdxdx,,,001xx 12111(C)(2,)dy，(2,y)dy (D)(,y)dy 11,,,1yy22 二、填空题: 2y,2x1、设D是以抛物线与直线所围成的图形，则其面积微元(以为变元) y,xx y2()dyy,()d2xxx, (以为变元) dA,ydA,2 332、设D由围成在第一象限部分，则取为积分变元时，其面积(定积分x,cost,y,sintt ,422A,表达式)为 3sincosdttt,,8022A,3、设D是以抛物线与直线所围成的图形，则其面积值 y,2,xy,x3三、计算题: 2(0,,3)(3,0)1、抛物线与其在点和处的切线所围成的图形的面积。 y,,x，4x,3 ,,,yx,,，24yy();().0432,,,解:如图，， (0,,3)(3,0)设点处的切线为;点处的切线为 l.l21 3则;其交点为。于是所求面积 lyx:.,,，26lyx:,,43(,)3212 33222 Axxxxxxxx,,,,，,，,，,,，,[()()]d[()()]d434326433,,02 339222= xxxxxd[]d，,，,693,,042 71 x,a(t,sint),y,a(1,cost)2、求有摆线的一拱()与轴所围成的图形的面积. 0,t,2,x 解:如图， 22,,a22 Aydxatdx,,,(cos)1,,00 23a, = 2[0,1]3、在上给定函数，问取何值时，图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最y,xt 小,何时最大, y2解:设，记曲边三角形OACO与ADBA的面积 Attt(,),()01,,B 分别为和。 SS21C A D t12222则;。 Stxdx,,()Sxtdx,,()12,,t0O x t12222其面积之和为 ftSStxdxxtdx()()(),，,,，,12,,0t 4132 = tt,，33 12,令。 fttttt(),,,,,,,,42002 111221又，，，故最大值为，最小值为。 f()1,f()0,f(),343324 72 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十三 定积分的几何应用(二) 一、选择题: 21、曲线所围成的图形的面积为 [ C ] ,,acos, ,,112222(A)(acos,)d, (B) acos,d,,,0,,22 ,,22222(C) (D) (acos,)d,(acos,)d,,,,0, 222、由曲线和围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积为 [ B ] y,xy,xox ,,,,32(A) (B) (C) (D) 101055 23{(x,y)|0,x,1,0,y,1}3、曲线在区域内的弧长为 [ D ] y,x 138138(A) (B) (C) (D) (13,1)13,1(13,1)132727278二、填空题: 218a,,,2a(2，cos,)、曲线所围成的图形的面积为A= 1 3y,02、曲线和直线x,2、所围成的平面图形分别绕轴和轴旋转的旋转体的体积yy,xx 128,64, 是= 和V= V7yx5 三、计算题: 21、求曲线和所围成图形的公共部分的面积。 ,,2sin,,,cos2, 解:如图，显然两曲线所围成的图形关于y轴对称，所以只需要计算第一象限部分的面积，再乘以2即可。 ,2(,)两曲线在第一象限的交点坐标为，故所求面积为 62 ,,11246 ,，,,,,S222[(sin)dcos()d],,,0226 ,,13,1246，,== ,,,,，22sindcos()d,,,026226 73 222、求曲线所围成的图形绕轴旋转的旋转体的体积 x，(y,5),16x xt,4cos,解:方法一， 如图，曲线的参数方程为，那么 ,,02,,t,yt,，54sin, 4422所求旋转体的体积为 Vyxxyxx,,,,,,()d()d12,,,,44 02,22 = 445445,,(sin)dcos(sin)dcostttt，,，,,,, 2160,= 4422方法二， Vyxxyxx,,,,,,()d()d12,,,,44 442222 = ,,()d()d516516，,,,,xxxx,,,,44 42 = 2016,,xxd,,4 42 = 4016,,xxd,0 2160, = x,a(t,sint),y,a(1,cost)3、在摆线上求分摆线第一拱成的点的坐标。 1:3 解:如图，设所求点的坐标为，该点分摆线第一拱所得的两段弧的 ((sin),(cos))attat,,100o tt022220长分别为和，那么 (cos)sind(cos)141SSSatatta,,，,,211,02 2,t22220,,，,，(cos)sind(cos)141， Satatta2,t02 233,aS121,((),)a,,依题意有，,,从而，即所求点的坐标为。 t0S332232 74 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十四 定积分的物理应用 1( 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F(单位:N)与伸长量s(单位:cm)成正比， 即 F=ks(k是比例系数)。如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功。 [,]06[,]ssds，[,]06解:取为积分变量，其变化区间为，设为上任一小区间。当弹簧从 s ksdsksds伸长到时，外力所做的功近似于，即功元素为dW,，于是，所求的功为 sds，s100100 26ksdsks6Wk,,,[].018 (J)。 0,0100200 2、用铁锤将一铁钉击入木版，设木版对铁钉的阻力与铁钉击入木版的深度成正比，在第一次时，将铁钉击入木版1cm。如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少, Fkx,,解:设其中为比例系数，为铁钉击入木板的深度，且锤击第二次时，铁钉又击入kx cm. h 11，h则第一次锤击所做的功为;第二次锤击所做的功为，依题意有 Wkxdx,Wkxdx,,,10 11，h 解得，。 kxdxkxdx,,h,,21,,01 3、设一圆锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以吸管将水吸尽，问要作多少功, [,]015[,]015[,]xxdx，解:如图，取深度为积分变量，其变化区间为，相应于上任一小区间 x 215(),x215(),x22的一薄层水的体积近似于,，重力近似于, KN。将这一薄层[]dx98.[]dx33 215(),x2,水吸出需做的功近似于，于是，所求的功为 dWxdx,98.[]3 15215(),x2, (KJ) Wxdx,,9857752.[],03 75 4、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 [,]020[,]xxdx，[,]020解:如图，取水深为积分变量，其变化区间为，设为上的任一小区h [,]xxdx，间，则 相应于的这一小块闸门上各点处的压强近似于，面积近似于,gx50,x，因此 dx5 50,x这一小块闸门所受压力即压力元素为，于是所求压力为 ,dPgxdx,5 2050,x(KN) ,Pgxdx,,14373,05 5、设有一长度为、线密度为的均匀细直棒，在与棒的一端平行距离为单位处有一质量为,la M的质点，试求这细棒对质点的引力。 m M解:如图，去轴经过细直棒，棒的一端为原点，质点位于轴上，取为积分变量，其yyx 变化 [,]0l[,]yydy，,dyM区间为，把细直棒上相应于的一段近似地看成一个质点，其质量为，与 22mdy,ay，M相距，该一小段细直棒队的引力的大小为。从而，在,F,F,,FG22，ay M水平方向和铅直方向的近似值，即细直棒对质点的引力在水平和铅直方向的分力的元素分别为 amdy,ymdy, ; 。 ,,,dFGdFGxy33222222()()，，ayay lamdyGml,,于是，引力在水平方向的分力 ; ,,,,FGdyx3,22022，aal2()，ay lGymdyl,1在铅直方向的分力 。 ,,,FdyGm(),y3,220a22，al2，()ay 76 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十五 反常积分 一、选择题: 1、下列反常积分发散的有 [ C ] 1，,，,，,dxlnxdxx,(A) (B) (C) (D) dxedx,2,,,0200e1，xx1,x 2、下列反常积分收敛的有 [ D ] 1111dxdxdxlnx(A) (B) (C) (D) dx,,,,20000xxxx二、填空题、 ，,dx1、若反常积分收敛，则 k,1k,2x(lnx) axa1,,t22、设，则 lim1，,tedta,,,,,,,,xx,, 三、判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值: ，,dx1、 ,41x t111,4解:原式,,,,,xt limdlim().1,31,，,,，,tt33t ，,ax,a,02、 () edx,0 t11,,axat解:原式,,,,,exe limdlim().1,0,，,,，,ttaa 77 2xdx3、 ,1x,1 2222 xx,，111解:原式=limdlimdlim[dd]xxxxx,,,，1,,,,，，，ttttttt,,, 111xxx,,,111 328222,,，,,lim[()]lim[].xx121 tt，，,,tt1133 ，,211x,四、证明题不等式 ,,,，edx11,0ee2 ，,，,1222,,,xxxddd,证:因为所以exexex,， ,,,001 11，,，, 22,,,xxx0dddd.exexexxex,,，,,,,0001 11 ,xd;1而ex,,,0 e 1，,2 10,xdd.1exxex，,，,,01 2e ，,2 11,x11d故，命题得证。,,,，ex,0 2ee 78 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十六 综合练习 一、选择题: ,,,nsix4342342221、设，，，,McosxdxN,(sinx，cosx)dxP,(xsinx,cosx)dx,,,,,,2,,,，1x222 则有 [ D ] (A) (B) (C) (D) N,P,MM,P,NN,M,PP,M,N 15xsinxtsint,(x),,(x),(x)2、设，，则当时，是的 [ C ] x,0dt,(x),(1，t)dt,,00t (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 xdf(x)f(x),3、若=，则 [ A ] cos(x,t)dt,0dx (A) (B) (C) (D) 2cosx，11，cosxcosx,cosx xxf(x)limF(x),4、设，其中为连续函数，则= [ B ] F(x)f(t)dt,x,aa,xa af(a)f(a)A) (B) (C) (D)0 (a x,t[0,2,]5、在内 [ B ] F(x),esintdt,0 F(,)F(2,)F(,)F(0)(A)有极大值，最大值 (B)有极大值，最小值 F(,)F(,)F(0)(C)有极小值，无极大值 (D)有极小值，最大值 xd22f(x)6、设连续，则 [ A ] tf(x,t)dt,,0dx 2222(A) (B) (C) (D) xf(x),2xf(x),xf(x)2xf(x) 二、填空题: 12,2x，|x|0ln2dx1、= 2、= tcostdt,,2,101，x , 4,f(x)3、设有一个原函数，则= tanxxf(x)dx,,2,,,4 12x(1，x)2f(x)[0,，,)f(2),f(t)dt,x4、设为上的连续函数，且，则 2,0 2()13，,x13[,]y,5、函数在区间上的平均值为 122221,x 79 x2,(arctanx)dx,06、= lim42,，,xx，1 三、计算题: 31dx22、 2、 1(x，1,x)dx,,1,221x1，x1,,2222,，,，,()dxxxxx211解:令则,,,,xttxtttan,(,).dsecd, ,1,22 112,,,，,,ddxxxx212,, 当时，xtxt,,,,13,当时，11,,43 ,2secdtt 3原式,,2,,sectantt 4 ,, cosdtt1234,,,,[]23 2,,,sint3sint43 ,m3、 (为自然数) J,xsinxdxmm,0 ,,msin解: Jxdx,m,02 ,,m,令即而 JI,Ixdx,sinmmm,02 ,,mmm,,,111, Ixdxxxxdx,,,,,，sincos[cossin]cossinm0,,00 ,,222mmm,, = ()cossin()(sinsin)mxxdxmxxdx,,,,,11,,00 m,1 =， 即 ()()mImI,,,11II,mm,2.mm,2m 21231mm,,因此 II,,20m.2222mm, 2222mm, II,,211m，.21213mm，, 又故 II,,,;.201. 80 2mm,,131,所以，当m为偶数时， J,,,;mmm,222 mm,22当m > 1的奇数时, ,J,,.mmm，,113 当m = 1时, J,,m 1dx2,,四(证明不等式 ,,,0442x1, 11dxdx,证明:因为，故 ,,42200111,，,,xxx(()() 111dxdxdx,, ,,,2420002111(),,,xxx 1dx2,,,而 ,204,21()x 1dx,, ,2021,x 1dx2,,所以 ,,,0442x1, 命题得证。 81