切比雪夫不等式证明

切比雪夫不等式 切比雪夫不等式证明 切比雪夫不等式证明一、 试利用切比雪夫不等式证明:能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 :将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250) 2 答题完毕，祝你开心! 1 11不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε 0, 恒有P{|X-EX| =ε} =DX/ε^2 或P{|X-EX| ε} =1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX| =ε} 越小，P{|X-EX| ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX| =ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数 据占的比例至多是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近: 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论:少于50分的人，数目不多于4个。 设为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t 0， 一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有 上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得: 概率论说法 设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k 0， 改进 一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子: 这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。 当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式: 证明 定义，设为集的指标函数，有 又可从马尔可夫不等式直接证明:马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr/a。取Y = 2及a = 2。 亦可从概率论的原理和定义开始证明。