数值分析习题

习题1 1． 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为        的      运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个        数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值            分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的          和          ； (4) 有效数字越多,相对误差越        ； 2. 用例1.4的算法计算 ,迭代3次,计算结果保留4位有效数字. 3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 5. 证明1.2.3之定理1.1. 6. 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积V的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形） 7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差. 8. 为使 的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字. 9. 一个园柱体的工件,直径d为10.250.25mm,高h为40.001.00mm,则它的体积V的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有 并求出 时的 值，从而说明 在 时是病态问题． 11. 定义多元函数运算 求出 的表达式，并说明 全为正数时，计算是稳定的， 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确： 习题2 1. 填空题 (1) Gauss消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生          ;. 主元素的绝对值太小会发生          ; (2) Gauss消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为          . 平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为        ; (3) 直接LU分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为        , 追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为            ; (4)       ,           ,       ; (5)         ,       ; (6)       ,       ; 2．用Gauss消元法求解下列方程组 ,    3．用列主元消元法解下列方程组 ． 4. 用Gauss－Jordan消元法求： 5．用直接 分解方法求1题中两个矩阵的 分解，并求解此二方程组． 6．用平方根法解方程组 7． 用追赶法解三对角方程组 8．证明： (1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵． (2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵． 9．由 ，(见(2.18)式)，证明: 10．证明向量范数有下列等价性质： 11．求下列矩阵的 ． 12．求 13．证明： (1)若 是正交矩阵，即 , 则 ; (2)若 是对称正定阵， 是 的最大特征值， 是最小特征值，则 . 习题3 1. 填空题: (1) 当A具有严格对角线优势或具有对角优势且        时，线性方程组Ax=b用Jacobi迭代法和Gauss－Seidel迭代法均收敛; (2) 当线性方程组的系数矩阵A对称正定时,          迭代法收敛. (3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的        小于1; SOR法收敛的必要条件是              ; (4) 用迭代法求解线性方程组,若q = (B), q      时不收敛,  q接近      时收敛较快, q接近      时收敛较慢; (5) ;       ;         ;       ． 2．用Jacobi迭代法和Gauss－Seidel迭代法求解方程组 (1) ；  (2) 各分量第三位稳定即可停止． 3．用SOR法解方程组，取 ，与取 (即Gauss-Seidel法)作比较． ． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法的收敛性 (1) ；                  (2) ； (3) ；              (4) ； (5)   ；          (6) ．  5．方程组 证明用Jacobi迭代法收敛的充要条件是： ． 6．设  (1)若 正定， 的取值范围； (2)若Jacobi迭代法收敛， 的取值范围． 习题4 1. 填空题： (1) 幂法主要用于求一般矩阵的                特征值，Jacobi旋转法用于求对称矩阵的      特征值； (2) 古典的Jacobi法是选择            的一对            元素将其消为零; (3) QR方法用于求            矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的        和求出对应的              ． 2．用幂法求矩阵． ，          按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位． 3．已知：    取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值． 4． 用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次． 5．若 的特征值为 是一实数，证明： 是 的特征值，且特征向量不变． 6．已知 求平面反射阵 使 ，即使 的1，3两个分量化零． 7． 试用Jacobi旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果． 8．设  已知 是 的特征值，相应的特征向量为 ，证明 也是 的特征值，相应的特征向量为 ． 9． 证明定理4.5． 10． 证明(4．21)中的 和 相似． 习题5 1．填空题 (1) 用二分法求方程 在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间为          ，迭代两次后根的存在区间为          ； (2) 设 可微，则求方程 根的Newton迭代格式为                   ； (3) ，若要使迭代格式 局部收敛到 ，则C取值范围为            ； (4)  用迭代格式 求解方程 的根，要使迭代序列 是二阶收敛，则 =                        ； (5)  迭代格式 收敛于根 =        ，此迭代格式是        阶收敛的． 2．证明Newton迭代格式(5.10)满足 3. 方程 的根全正实根，试用逐次扫描法(h=1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01． 4．用二分法求下列方程的根，精度 ． (1)  (2)  5．用迭代法求 的正根，简略判断以下三种迭代格式： (1)  ；  (2)  ； (3)  在 附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度 ． 6. 方程 (1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ，在(0,1)区间内收敛； (3) 用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程 ，分别用 (1)  Newton法 ；(2)  割线法 求其根．精度 ． 8．用迭代法求下列方程的最小正根 (1)  ；  (2)  ；  (3)  9．设有方程  (1) 以 ，找出根的全部存在区间； (2) 验证在区间[0,1]上Newton法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取 , 用Newton法不收敛； (4) 用Newton下山法，取 求出根的近似值，精度 ． 10．分别用Jacobi法，Gauss—Seidel法求解非线性方程组 在(1.5,0.7)附近的根,精确到 ． 11．分别用Newton法，简化Newton法求解非线性方程组 在(0,1)附近的根,精确到 ． 习题6 1．填空题 (1)  设 ，则         ， =          ， =          ；             ． (2)  设 是以节点0,1,2,…,n的Lagrange插值基函数，则 ；         ． (3)  设     ，         ， 的二次Newton插值多项式为                       ． 2．已知函数 的数据如下 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.697676 0.852114 0.960789 1 0.960789 0.852114 0.697676                 试用二次，三次插值计算 =0.35， =0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用 在 及 处的值，求 的近似值，并估计误差． 4．利用数据 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.19956 0.39646 0.58813 0.77210 0.94608               计算积分 ,  当 =0.45时的 的取值． 5．试用Newton插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式． 6．求满足 及 的次数不超过2次的插值多项式 ，并给出其误差表达式． 7．设 是互异节点， 是Lagrange插值基函数( )，证明 (1) ； (2)     ( )； (3)   ( )． 8．设有如下数据 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27             试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足 10．已知函数 的数据表 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554             分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求 =0.05， =0.42， =0.75的近似值． 11．对函数 进行分段线性插值，要求误差不超过 ，问步长h应如何选取． 12．设有数据 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280             用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数 (1) ， (2) ，  13. 证明定理6.6. 习题8 1．填空题 (1)  个点的插值型数值积分公式 的代数精度至少是  　 ，最高不超过        ． (2)  梯形公式有    次代数精度，Simpson公式有      次代数精度． (3)  求积公式 中的参数 ＝    　时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为         ． 2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分 (1)    ( =8) (2)          ( =10) (3)        ( =10)  (4)    ( =6) (5)      ( =8) 4．用Romberg公式计算积分 (1)    (精度要求 ) (2)      (精度要求 ) 5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss－Legendre求积公式计算积分 (1)  ，  (2)  ，  (3)    6．利用Gauss型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分 (1)  ，  (2)  7．用节点数为4的Gauss－Laguerre求积公式和Gauss－Hermite求积公式计算积分 的近似值，并与准确值 作比较． 8．分别用两点公式与三点公式求 在 =1.0， =1.2的导数值，并估计误差，其中 的数据由下表给出           9．已知 的数据如下             取 =0.1， =0.2，分别用二点、三点公式计算 =2.7处的一阶和二阶导数值． 习题9 1．填空题 (1)  解初值问题的Euler法是      阶方法，梯形方法是      阶方法，标准R－K方法是      阶方法． (2)  解初值问题 时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R－K方法，步长       ．采用Euler方法，步长h的取值范围为    ，若采用Euler梯形方法，步长h的取值范围为      若采用Adams外推法，步长h的范围为        ，若采用Adams内插法，步长h的取值范围为      ． (3)  求解初值问题Euler方法的局部截断误差为          Euler梯形方法的局部截断误差为            ，  Adams外推法的局部截断误差为             Adams内插法的局部截断误差为            . 2．对初值问题 试用Euler法取步长 =0.1和 =0.2计算其近似解，并与准确解 进行比较． 3．利用Euler预测－校正法和四阶经典R－K方法，取步长 =0.1，求解方程 并与准确解 进行比较． 4．用待定系数法推导二步法公式 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差． 5．用Adams预测－校正法求解 并与准确解 进行比较． 6．用Euler中点公式计算 取步长 =0.25，与准确解 比较，并说明中点公式是不稳定的． 7．写出用经典的R－K方法及Adams预测－校正法解初值问题 的计算公式． 8．写出用Euler方法及Euler预测－校正法解二阶常微分方程初值问题 的计算公式． 9．证明用单步法 解方程 的初值问题，可以给出准确解．