高等数学（经管类专业适用）-第3章 习题解答

高等数学（经管类专业适用）-第3章 习解答 第3章 积分及其应用 练习3.1.1 1(求下列数的一个原函数: 1x2(,); (,); (,)( e，2x,1y,y,y,2x 11x3【解】(,);(,)ex，2;(,)( ,y,xx,x32(求下列函数的全体原函数: 23sinxe，(,)xx，; (,),; (,)( y,y,y, 3212422xC，【解】(,);(,);(,)( ,，，cosxexCy,xxC，，34 3(求下列不定积分: xx23edxxxdx(,);(,)( ,, 572222xxdx【解】(,); ,,，xdxxC,,7 xxx(3)3eexxx3edx,,，,，(3)edxCC(,)( ,,ln(3)1ln3e， 14(已知曲线在其上任一点处的切线斜率为，试求过点(,，，1yFx,()(,())xFxx 5)的曲线方程( 1【解】因为，由导数的几何意义知 是此曲线族中一Fx()(1)2，,，，dxxxC,x C,2条，由点(,，5)，确定 ，所以所求曲线( Fxxx()22,，， 练习3.1.2 1(利用直接积分法求下列不定积分: 2，7，12xxx2(103sin)，,xxdxxxdx(5),dx(1);(2;(3). ,,,，3x 3x102x2，,,,,，xxdxxxC(103sin)3cos【解】(1); ,ln103 第3章 积分及其应用 第 1 页 共 14 页 517321022222(2); xxdxxxdxxxC(5)(5),,,,,，,,73 2xx，，71212(3). dxxdxxxC,，,，，(4)4,,x，32 2(利用凑微分法求下列不定积分: x20e1(1); (2) ; (3) ( dxsinxdx(3x，2)dxx,,,e，2x 20112020【解】(1) (32)(32)(3)(32)(32)xdxxdxxdx，,，,，，,,,33 121; ,，，(32)xC93 xe11xxx(2); dxdedeeC,,，,，，(2)ln(2),,,xxxeee，，，222 1(3) ( sin2sin2cosxdxxdxxC,,,，,,x 3(利用分部积分法求下列不定积分: xxxxsind(1); (2)( xxed,, xxxxdxxxxdxxxxCsindcos(coscos)cossin,,,,,,,，，【解】(1); ,,, xxxxxxxxxdexeedxxeeCed,,,,,，(2)( ,,, 4((略) 练习3.1.3 1(指出下列微分方程的阶数: dydy2322()()1，，,，xyx,,(1); (2); xyxyx()20,，,dxdx 3dydy2,,,yxxyx,，,，3)(; (4). yxyx，,，23sin3dxdx 【解】(1)一阶;(2)一阶;(3)三阶;(4)二阶( 2(验证下列函数是否为所给方程的解: 22,,,,(1); (2). xyxyx,,2,5yyyxab，，,,,，()10,lncos() 222,,【解】(1)左边右边，所以不是方程的解; ,,,,,xyxxxx(5)102yx,5 第3章 积分及其应用 第 2 页 共 14 页 ,,sin()1xa(2)或，则，则 ,,,yxab,,，lncos()yy,,,,2cos()xa,cos()xa, 21sin()xa,2左边 ,,,,，，,,，，yy()1122cos()cos()xaxa,, 22,，,，,1sin()cos()xaxa右边，所以为方程的解( yxab,,，lncos(),,,02cos()xa, 3(求下列微分方程的通解: dyy(1) ; (2). y',,，,,122yxxyxdx y1111【解】(1); ydydxdydxyxCyCx',,,lnlnln,,,,,，,,,xyxyx dydydy,，,,,，,，,，,122,(1)2(1),(1)(12)yxxyyxyyx(2)， dxdxdx dydy2， ，， ,,(12)xdx,,(12)xdxln(1)ln，,,，yxxC,,1，y1，y 22xx,xx,即，故( 1，,yCeyCe,,1 4(求下列微分方程通解及满足初始条件的特解: dyx5x(1); (2). ,,,,0yyyexy,,,,'2,x,4,0xdxy4 dyx11122【解】(1)，所以 ,,,,,,,,，,,,ydyxdxydyxdxyxC,,dxy222222222C,16y,0，即，因为，则，即特解为:( yxC,,，xyC，,xy，,16x,4 12x(2)先求相应的齐次方程通解， yydydxyxCyCe,,,,，,'20,2,ln2ln,y 2x2xx,令原方程的一个特解为，代入原方程得: yCxe,()Cxeex(),,, 11,,,,,xxxxx222,CxexeCxexeeC,,,,，，，(),()，所以原方程的通解为:24 11522xxxC,2yCxeexCe,,,，，，()，将代入，得，故原方程的特解为y,x,0244 11xx2yexe,,，，，2( 24 第3章 积分及其应用 第 3 页 共 14 页 5((略) 习题3.1 1(求下列不定积分: 213(1),xxx(1); (2); (3)( ()xxdx，,，aedxdx3,,,xxx 313123,222【解】(1); ，,，,，,,，()lnxxdxxxxxC,3xx232 322(1)121,,，xxx2(2) dxdxxxdx,,,，(2),,,xxx 354222; ,,，，2xxxC35 xxx()aeaexxx(3)( aedxaedxCC,,，,，(),,ln()1lnaea，2(求下列不定积分: 2xdxx11ln2xxcosdxdx(1);(2);(3);(4);(5)( (x,2)dxecosedx2,,,,,2xxxx，1 12232【解】(1)(2)(24)4xdxxxdxxxxC,,,，,,，，; ,,3 22xdxdxdx11(1)，2(2); ,,,，，xC1,,,22222xxx，，，111 xxxxxeedxedeeCcoscossin,,，(3); ,, 11111coscossindxdC,,,,，(4); 2,,xxxxx 2ln1x23dxxdxxC,,，lnlnln(5)( ,,x3 3(求下列不定积分: ,xxxxcos2dxxed(1); (2); ,, ,,,,,,xxxxxxxxxdexeedxxeeCed(),,,,,,,,，【解】(1); ,,, 11xxxxdxxxxdxcos2dsin2(sin2sin2),,, (2) ,,,22 第3章 积分及其应用 第 4 页 共 14 页 11; ,，，xxxCsin2cos224 1111233332(3) xxdxxdxxxxdxxxxdxlnln(lnln)ln,,,,,,,,,3333 11113233( ,,,,，xxxdxxxxClnln,3339 4(求下列微分方程的通解: dyxy,(1); (2); (3)( ,eyyx'3，,yxy'tan1,,dx yxyxCyx【解】(1)移项分离变量得:，两边积分得，，edyedx,eee,，edyedx,,, 两边取以e为底指数，得; yCx, dy,x(2)先求相应的齐次方程的通解，，,,,,，,,lnln,yy'0，,dxyxCyCey ,x,x,令原方程的一个特解为，代入原方程得:， Cxex()3yCxe,(), x,x，所以原方程的通解; 故CxxeC()3(1),,，yxCe,,，3(1)(3)将方程化成标准式，先求相应的齐次方程的通yyxx'cotcot,,yyx'cot0,,dy解，，令原方程的一个特解为,,，,cot,lnlnsinln,sinxdxyxCyCxyCxx,()siny 1,并代入原方程得，故CxCxC()csc,,，,,，，所以原方程的Cxxx()sincot,sinx 通解( yCx,,，1sin y,45(求满足初始条件的特解( dyxydxxdy,,(2)x,1 dyx22【解】原方程整理得:，两边求不定积分得: lnln(1)lnyxC,，，,dx2yx1， 2y,4两边同取以e为底的对数得方程通解:yCx,，(1)，把初始条件代入通解，得x,1 2C,2y,4yx,，2(1)，所以方程满足初始条件的特解为( x,1 y2,y,0yx,,6(求满足初始条件的特解( x,1x ydy1y'0,,【解】先求相应的齐次方程的通解，，,,，,dxyxCyCx,lnlnln,xyx 第3章 积分及其应用 第 5 页 共 14 页 2x2令原方程的一个特解为，代入原方程得:，即， ,CxC(),，yCxx,()Cxxx(),2 3x1故原方程的通解，把初始条件代入通解，得，则方程满足初y,0C,,yCx,，x,122 3x1始条件的特解为( y,0yx,,x,122 练习3.2.1 1(利用定积分的几何意义,判断下列各式是否成立( 1 1,21(1); (2),xdx,; 2xdx,1,, 0 04 ,, ,22(3); (4)( sinxdx,0cosxdx,2cosxdx,,,,, 0 , ,2【解】 以上各式均成立( 2xx,,1,22(用定积分示由曲线，直线及所围成的平面区域的面积( y,0yx, 22Sxdx,【解】( ,1 1xx,,,23(用定积分表示由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积( xyx,lne 12【解】Sxdxxdx,，lnln( 1,,1e 练习3.2.2 1(计算下列定积分: 3231,xdxxdx(1); (2); ,,0,1 ,1xx2(sincos)xxdx，(2)，edx(3); (4)( ,,00 33181341)【解】(; xdxx,,,0044 122121122(2) ,,,，,,,，,1(1)(1)()()xdxxdxxdxxxxx,,,,,,1111122 1113,,,,，，,,，,1(1)221; 2222 x1121xxx，,，,，,edxee(3); (2)()1,00ln2ln2 第3章 积分及其应用 第 6 页 共 14 页 ,,22(sincos)(cossin)112xxdxxx，,,，,，,(4)( ,002(设函数 3,xx,01,,,, fx(),,xex,13.,,,, 3求( fxdx(),0 41331333xx333【解】 fxdxxdxedxxeee,，,，,，,(),,,00101443(求下列函数的导数: x12,t(1); (2)fxedt(),( ,,()sinxttdt,,0x ,【解】(1); ,,()sinxxx 1x222,,,ttx,,,fxedtedte()[][]( (2) ,,,,,,,x1 练习3.2.3 ,(求下列函数的定积分: 222xdxdx(1); (2); ,,114x,3x，1 1e1，lnx2dxx1,xdx(3); (4)( ,,10x 222dxdx1(43)11,【解】(1); ,,,,ln(43)ln5x,,1114344344xx,, 22222xx,，111122dxdxxdxxxx,,,，,,，，(1)[ln(1)](2)1,,,111xxx，，，1112 1,，,ln3ln2; 2 311111122222(3); xxdxxdxx11(1)(1),,,,,,,,,,,000233 eee1ln13，x2(4)( dxxdxx,，，,，,(1ln)(1ln)(1ln),,111x22,(求下列函数的定积分: 第3章 积分及其应用 第 7 页 共 14 页 ,3e3x32xcos2xdx(1); (2); (3)( xedxxlnxdx,,,011 333331121xxxxx3333933【解】(1) xdxxdxdxeee,,,,,,ee(ee),,,111113339 8593,,ee; 99 ,,,,211222,,,xxdxxdxxxxdxcos2sin2(sin2sin2)(2); ,,,000022 ,211,,,cos2x; 042 eeeee1111344344(3) xxdxxdxxxxdxex,,,,,lnln(ln),,,1111144416 314,，e( 1616 练习3.2.4 (求下列广义积分 1 ，,，,，,211x,dxxedx(1); (2); (3)( dx4,,,104xx b，,b111111【解】(1); dxdx,,,,,,limlim()lim(1)4433,,111,，,,，,,，,bbbxxxb333 b，,b11(2); dxdxx,,,，,limlim(2),,444,，,,，,bbxx b，,b2221112,,,xxx(3)( xedxedxe,,,,,,lim()lim(),,000,，,,，,bb222 2((略) 习题3.2 1(求下列函数的定积分: ,62122sincosxxdx,(2)xdx,dx(1); (2); (3); ,,,01213,x 第3章 积分及其应用 第 8 页 共 14 页 22e11lnxx1x(4); (5); (6); dxdxedx2,,,0e0x，1xx ,x1e222xedxxxdxsin(7); (8); (9)( xxdxln,,,001 6614023【解】(1); (2)(2)xdxxx,,,,,2233 22211111(2); dxdxx,,,,,,,,(13)ln13(ln2ln5),,1111331333,,xx ,,,242(3) sincos(cossin)(sincos)xxdxxxdxxxdx,,,，,,,,,004 ,,42; ,，，,,,,(sincos)(cossin)2(21)xxxx,04 111x11122(4); dxdxx,，,，,(1)ln(1)ln2,,22000xx，，1212 1111xxx(5); edxedxee,,,,2222,,000x 2222eeeln17x236)(; dxxdxx,,,lnlnln,,eeex33 xxxxx1111122222(7); xedxxdexeedxeee,,,,,,,22()2442,,,00000 ,,,,,222222222xxdxxdxxxxdxxxdxsincos(coscos)2cos,,,,,,(8) ,,,,00000,,,,2222,,,,，,,2sin2sin2sin2cos2xdxxxxdxx,,; ,,0000 2eeee111e229)(( xxdxxdxxxxdxlnln(ln),,,,，,,,11112244 2(计算下列广义积分: ，,0，,1x,dxedxcosxdx(1); (2); (3)( 3,,,10,,x b，,b1111111【解】(1); dxdx,,,,,,limlim()lim()332222,,aa,，,,，,,，,bbabxxxaba222 第3章 积分及其应用 第 9 页 共 14 页 b，,b1,,,xxx(2); edxedxe,,,,,,limlim()lim(1)1,,b000,，,,，,,，,bbbe 000(3)不存在( coslimcoslim(sin)lim(sin)xdxxdxxa,,,,,,,,,aaaaa,,,,,,,,, *3(求下列函数的导数: x,22u2(1); (2)( Fxtdt()cos,,,()sinxeudu,,0x xd22,【解】(1); ()coscosFxtdtx,,,0dx ,2xdd222uux,(2),,,,,,()sinsinsin( xeudueuduex,,x,2dxdx 练习3.3 1(用定积分表示下面5个图形阴影部分的面积. bb【解】图(1)Sfxdx,();图(2)Sfxdx,,(); ,,aa cbb图(3)Sfxdxfxdx,,，()();图(4); Sfxfxdx,,[()()]12,,,aac b图(5)Sfxfxdx,,[()()]. 21,a 22 2(求由曲线及直线所围成在第一象限的图形面积( y,1yxyx,,2, 11422,2222【解】( Sxxdxxdx,,，,,2(2)2(1)1,,032 223(求由曲线所围成的图形面积( yxyx,,,2, 1822Sxxdx,,,,2(2). ,03 x,Rx()100,,4(已知生产某商品单位时,边际收益函数为 (元/单位),求生产单xx20 位时总收益以及平均单位收益,并求生产这种产品1000单位变化到2000单位时Rx()Rx() 的总收益和平均单位收益的改变量( 2xx,RxRxdxdxxC()()(100)100,,,,,，【解】，由于R(0)0,，所以,,2040 2xRxx()C,0Rxx()100,,Rx()100,,,，故总收益函数，平均单位收益函数; 40x40 第3章 积分及其应用 第 10 页 共 14 页 2000,(元)( ,,,,,RRRRxdx(2000)(1000)()25000,1000 (元/件) ,,,,,RRR(2000)(1000)25 5(已知某产品产量的变化率是时间的函数(是常数),设此产品时的ftatb(),,ab,tt ，已知，求( 产量函数为P(0)0,Pt()Pt() 12【解】，由于知C=0，故 PtftdtatbdtatbtC()()(),,,,,，P(0)0,,,2 2( Ptatbt(),, 复习题3 一(选择题: sin2x1. 下列哪一个不是的原函数( ) 11222A(,，cos2xC B(sinxC， C( ,，cosxC D(. sinxC，22 2x，则 ( ) 2. 设fxdxec(),，fx(),, 12x2x2x2xe2eec，A( B(e C( D( 2 3(若f(x)dx,F(x)，C，则sinxf(cosx)dx,( ) ,, A( B( C( D( F(sinx)，C,F(sinx)，CF(cosx)，C,F(cosx)，C k2(2x,3x)dx,04(如果，则k=( ) ,0 3A(0 B(1 C(-1 D( 2,(下列积分满足牛顿—莱布尼兹条件的有( ) 35e14x1xxdxdxdxA( B(dx C( D( 123,,,,02,01x，1lnxx1,xe2(x,5)【答案】 1 2 3 4 5 D A D B A 二、填空题 ,x,1,. 已知fxx()21,，y,2fx(),,且时,则 . 第3章 积分及其应用 第 11 页 共 14 页 22,(设上连续，_______________. dlnxdx,f(x),lnx在(,,，，,), 2,x,(已知是的一个原函数，则_______________. xfxdx(),ef(x), 35x,4(__________________. []dx,2,0x，1 325(方程,,是_______________阶微分方程( yyxy,,,0 【答案】 2232,x1.;2.;3.;4.0;5.2. xx，lnxdxeC， 三(求不定积分 x5(1)(21)xdx,; (2); dx,,22,x sinx1(dxdx3); (4)( 22,,cosxxxln 115561); 【解】((21)(21)(21)(21)xdxxdxxC,,,,,,，,,212 x1122(2); dxdxxC,,,,,,，(2)2,,22222,,xx sin11x(3)dxdxC,,,，cos; 22,,coscoscosxxx 111dxdxC,,,，ln(4)( 22,,xxxxlnlnln 四(求定积分和广义积分 1,x2,1e132cossin2xxdxdx(1); (2); (3); dx2,,3,01,2x，(115)x 1，,1ttedt(4); (5)( dx,,01x ,1,,11111117【解】(1); ,，,,,dxdx(115),,332,,22,2，，，(115)5(115)10(115)72xxx ,,,,2223445222,,,,,,cossin22cossin2coscoscosxxdxxxdxxdxx(2); ,,,000055 第3章 积分及其应用 第 12 页 共 14 页 111x222e1xx(3); dxedeee,,,,,,,,2111xx 111ttttt11(4); tedttdeteedtee,,,,,,100,,,000 ，,b11b(5)( dxdxx,,,，,limlim(2)1,,11bb,，,,，,xx 五((略)( 六(已知某产品产量的变化率是时间的函数(是常数),设此产品时ftatb(),,ab,tt 的产量函数为,已知,求，并求出当时间从5变化到10时的产量增量( Q(0)0,Qt() a2【解】QtatbdttbtC()(),,,,，由于，代入得C=0，所以Q(0)0,,2 1010a17522Qttbt(),,; ( ,,,,,,,Qatbdtatbtab()()5,55222 QP,0P七(设某产品的需求量是价格的函数,该商品的最大需求量为1000(即时 P1,,Q,1000Q,),已知需求量的变化率(边际需求)为,求需求量与价QP,,,()1000ln4,,4,,P格的函数关系( P1,,,P,【解】 QPQPdPdPdP()()1000ln4(1000ln4)4(),,,,,,,,,,,4,, P,P41,, CC,，,，1000ln41000,,ln44,, P1,,由于，代入上式得， C=0，所以 ( Q(0)1000,QP,()1000,,4,,八(求下列图形面积 1yx,y,4y,(1)求由与直线，所围成的平面图形的面积( x 2(2)求由yx,2与所围成的平面区域的面积( yxx,,4 141411152Sdxxdxxxxx,,，,,,，,,,(4)(4)(4ln)(4)2ln2【解】(1); 1,,111x2244 第3章 积分及其应用 第 13 页 共 14 页 222142223(2)( Sxxxdxxxdxxx,,,,,,,,(42)(2)(),,00033 第3章 积分及其应用 第 14 页 共 14 页