第一讲规律探究题的解题方法

1 规律探究的解法指导 一、数式规律探究 1.一般地,常用字母n 示正整数,从1开始。 2.在数据中,分清奇偶,记住常用表达式。 正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2… 3.熟记常见的规律 ① 1、4、9、16...... n 2 ② 1、3、6、10 (1) 2 n n + ③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n + ⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n 2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1) ⑦ 12+22+32….+n 2=16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n 3=14 n 2(n+1) 裂项: 113?+135?+157?…+1(21)(21) n n -+= 。 解决此类问题常用的方法: 观察法 1、一组按规律排列的数字:1,3,5,7,9,11,13,15,…其中第13个数字是_______,第n 个数字是______ (n 为正整数) 2、一组按规律排列的数字:2,5,8,11,14,17,20,23,…其中第12个数字是_______,第n 个数字是_______(n 为正整数) 3、给定一列按规律排列的数:11111, ,,,3579 它的第10个数是______,第n 个数字是_______(n 为正整数) 4、一组按规律排列的单项式:a 、22a -、33a 、44a -,… 其中第5个式子是_______,第n 个式子是_______(n 为正整数),)第2007个式子是_______ 5、一组按规律排列的式子:2b a -,52b a ,83b a -,11 4b a ,…(0ab ≠),其中第7个式子是_______,第n 个式子是_______ 2 6 车票问题 7、观察下列等式:①1× 12=1-12 ②2×23=2-23 ③3×34=3-34 ④4×4 5=4-45 ……猜想第几个等式为 (用含n 的式子表示) 8、探索规律:31 =3,32 =9,33 =27,34 =81,35 =243,36 =729……,那么32009 的个位数字是 。 练习 1.观察下列等式:1×3=12 +2×1;2×4=22 +2×2;3×5=32 +2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表示出来: 。 2.观察下列各式:21×2=21+2;32×3=32+3;43×4=43+4;54×5=54 +5……设n 为正整数,用关于n 的等式表示这个规律为 。 3.已知:2+23 =22 ×23;3+38 =324 ×38;4+415=42×415;5+524=52×524…,若10+b a =102 ×b a 符合前面式子的规律,则a+b= 。 4.已知下列等式:①13 =12 ;②13 +23 =32 ;③13 +23 +33 =62 ;④13 +23 +33 +43 =102 …由此规律可推 出第n 等式: 。 5.观察下面一列数,按某种规律在横线上填上适当的数: 第n 个数是 图像法 二、图形规律探究 解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题。 1、如图,由若干火柴棒摆成的正方形,第①图用了4根火柴,第②图用了7根火柴棒,第③图用了10根火柴棒,依次类推,第⑩图用 根火柴棒,摆第n 个图时,要用 根火柴棒。 (1) (2) (3) 3 2、按如下规律摆放三角形:则第④堆三角形的个数为 ;第(n )堆三角形的个数为 。 △ △ △ △ △ △ △△△ △ △ △△△△△ △△△△△△△△ 3、所示的是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图(2),再分别连接图(2)中间的小三角形三边的中点,得到图(3),按此方法继续连接,请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题 . (1)将下表填写完整; 在第n 个图形中有 个三角形.(用含n 的式子表示尝试练习: 4、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有 个小圆. 5 .观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中 白色三角形有 个 . 练习 1.图(3)是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,3 根火柴棍时的正方形.当边长为n 根火柴棍时,设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ,则s = . (用n 的代数式表示s ) 2.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖 __________块,第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含n 的代数式表示). 3.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 . 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 … 第1个 第2个 第3个 … n = n = n = ((( 4 4.探索规律:31 =3,32 =9,33 =27,34 =81,35 =243,36 =729……那么3 2008 的个位数字是 。 5.观察下列等式:71 =7,72 =49,73 =343,74 =2041……由此可判断7100 的个位数字是 。 裂项 1.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95,1612,2521,36 32 ……中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门,按此规律第七个数据是 。 2.已知a 1= 1123??+12=23,a 2=1234??+13=38,a 3=1345??+14=4 15 ……按此规律,则a 99= 。 3.从计算结果中找规律,利用规律计算 +?+?+?+?5 41431321211…=?+ 201020091 __________. 4.观察算式: 22222 11;132;1353;1357164;13579255=+=++=+++==++++== 用代数式表示这个规律(n 为正整数)()1357921n ++++++- =____________ 5.观察下列顺次排列的等式:2 2 2 2 13321,351541,573561,796381?==-?==-?==-?==- ,猜想:第n 个等式(n 为正整数)应为 6.观察下列等式: 第一行 3=4-1 第二行 5=9-4 第三行 7=16-9 第四行 9=25-16 第五行 11=36-25 按照上述规律,第n 行的等式为 . 继续阅读