chap5-1作业及答案

第五章  数学物理方程和定解条件的导出 5-1  波动方程的定解问题  作业及 1. 一长为 的均匀细杆， 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长 后静止（在弹性限度内），突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。 解： 1 方程： 2 边界条件 3 初始条件 2. 一根均匀柔软的细弦沿 轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振动方程。 解：应用牛顿定律于纵向及横向。 1 纵向。由纵向加速度为零 积分 2 横向 3. 长为 的弦两端固定，密度为 ，开始时在 处受到冲量 作用，写出初始条件。 解：1.初始条件 1）初位移， 时弦来不及振动，故 2）初速度，在 段，由动量定理： ,而动量的变化为 ，将两式联立，有 在 段，没有受到外界作用，故                                 4. 长为 的均匀细杆，在振动过程中 端固定，另一端受拉力 的作用，试写出边界条件（杆的横截面积为 ,杨氏模量为 ）. 解：我们取 和 段进行研究，设杆的体密度为 ， 对于 段，由牛顿第二定律有： 由胡克定律 当 有 即 对于 段有 当 有 故其边界条件为 5. 线密度为 长为 的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度的弦所受阻力 ，试写出其运动方程。 解：任取 一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有 水平方向有 我们研究的范围限于微小振动 亦即 且 因为 这项很小，可以忽略不计 所以 令 故运动方程为：