第三章附录相关系数r的计算公式的推导
相关系数r的计算公式的推导 AB
设A、B分别表示证券A、证券B历史上各年获得的收益率;、分别表示证券A、ABii
证券B各年获得的收益率的平均数;P表示证券A和证券B构成的投资组合各年获得的收i
益率,其他符号的含义同上。
122= (A,A),,iAn,1
122= (B,B),,iBn,1
1122=(P,P) ,,,iiPn,1n
112 = [(AA,AB),(AA,AB)],,AiBiAiBin,1n
12 =[(AA,AB),(AA,AB)] ,AiBiABn,1
12 =[A(A,A),A(B,B)] ,AiBin,1
12222 =[A(A,A),A(B,B),2AA(A,A)(B,B)] ,AiBiABiin,1
22()(B,B)2AA[(A,A)(B,B)]A,A,,,iiABii22,×× =A,ABA1n,1n,1n,
[(A,A)(B,B)],ii2222,A,2AA, =A,, AABBABn,1
对照公式(1)得:
[(A,A)(B,B)],ii,,,rABABn,1
22(A,A)(B,B),,ii=×× r ABn,1n,1
[(A,A)(B,B)],ii? r= AB22(A,A),(B,B),,ii这就是相关系数r的计算公式。 AB
投资组合风险分散化效应的内在特征 1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合(即风险最小)时各证券投资比例的测定
公式(1)左右两端对A求一阶导数,并注意到A=1—A: ABA
222,,,,()′=2 A,2 (1,A),2 (1,A) r,2A r ,,,ABABAAAABAABPAB
22令 ()′= 0 并简化,得到使取极小值的A: ,,APP
2,,,,rBABABA= „ „„„„„„„„„„„„„(3) A22,,,,2,,rABABAB
式中, 0?A?1,否则公式(3)无意义。 A22由于使()′=0的A值只有一个,所以据公式(3)计算出的A使为最小值。 ,,AAPP
以上分析清楚地说明:对于证券A和证券B,只要它们的系数r适当小(r的“上ABAB限”的计算,本文以下将进行分析),由证券A和证券B构成的投资组合中,当投资于风险较大的证券B的资金比例不超过按公式(3)计算的(1—A),会比将全部资金投资于风险A
较小的证券A的方差(风险)还要小;只要投资于证券B的资金在(1—A)的比例范围内,A随着投资于证券B的资金比例逐渐增大,投资组合的方差(风险)会逐渐减少;当投资于证券B的资金比例等于(1—A)时,投资组合的方差(风险)最小。这种结果有悖于人们的A
直觉,揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式(3)计算出的证券A和证券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合,它是证券A和证券B的各种投资组合中方差(亦即风险)最小的投资组合。