微积分教案3

微积分3 s,f(t) st tt，,tt00 s ,s,f(t，,t),f(t) 00 ,s v, ,t ,s lim ,t,0,t ------微积分教案 第三章 导数与微分 第1页 共65页------ t 0 ,s v,limt,t0,t,0,t M(x , y) 00 M(x，,x , y，,y) 100 xMM 1 ,MM 1 ,y ,tan, ,x ,y lim ,x,0,x M ------微积分教案 第三章 导数与微分 第2页 共65页------ ,y ,,tan,limtan,lim ,x,0,x,0,x ,xM xy,f(x) 0 fx，,x,fx()(),y00 limlim ,x,0,x,0,x,x ,f(x)f(x)0 lim x,x,xx00 f(x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第3页 共65页------ ,xf(x) 00 dyd ,f(x)yxx,x,x,xx 000dxdx 2 f(x),xx,x 0x,5 fx，,x,fx()() 00,fx,()lim 0,x,0,x 22 ()x，,x,x 00 lim, ,x,0,x 2 2()x,,x，,x 0 lim, ,x,0,x ,2x 0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第4页 共65页------ f，,x,f(5)(5),f,(5)lim ,x,0,x 25 ，,x,(5)5 ,lim ,x,0,x 2 ,,,x，,x25() ,lim ,x,0,x ,10 x,af(x) A fa，,x,fa,,x()() lim ,x,0,x fatfa(，2),() lim t,0t fatfat(，),(，),, lim t,0t ------微积分教案 第三章 导数与微分 第5页 共65页------ a,0,,0 22 fa，,x,fa()() lim ,x,0,x x,af(x) fa，,x,fa,,x()()lim ,x,0,x fa，,x,fa,fa,,x,fa[()()][()()],lim ,x,0,x fa，,x,fafa,,x,fa()()()(),，limlim ,x,0,x,0,x,,x ,,2f(a) ,2A ------微积分教案 第三章 导数与微分 第6页 共65页------ fatfa(，2),() lim t,0t f(a2t)f(a)，, 2lim, t,02t ,,2f(a) ,2A fatfat(，,),(，,) lim t,0t fatfafatfa[(，,),()],[(，,),()] ,lim t,0t ,,fatfafatfa(，),()(，),(),,,lim,lim t,0t,0,t,t ,,,,f(a),,f(a) ,,(,,,)f(a) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第7页 共65页------ ,(,,,)A 22 fa，,x,fa()() lim ,x,0,x fa，,x，fafa，,x,fa[()()][()()],lim ,x,0,x fa，,x,fa()(),lim[f(a，,x)，f(a)]lim ,x,0,x,0,x ,,2f(a)f(a) ,2f(a)A x,cg(x) 22 f(x),(x,c)g(x) ,f(c) x,cg(x) limg(x),g(c) x,c ------微积分教案 第三章 导数与微分 第8页 共65页------ fx,fc()() ,fc,()lim x,cx,c 22 x,cgx,()()0,lim x,cx,c ,lim(x，c)g(x) x,c ,2cg(c) y,f(x)(a , b) (a , b) x fx，,x,fx()()lim ,x,0,x f(x) x(a , b) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第9页 共65页------ dy ,,f(x)y dx d f(x) dx 1 y, x x,2 11 , dyx，,xx ,lim ,x,0dx,x ,1 ,lim ,x,0(x，,x)x 1 ,,2 x dy1 ,,2x,2 dx2 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第10页 共65页------ 1 ,, 4 st ds v, dt xy,f(x) 0 ,f(x)y,f(x) 0 M(x , y) 00 f(x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第11页 共65页------ (,a , a) ,f(x) f(x) f(,x),,f(x) f,x，,x,f,x()() ,f,x,()lim ,x,0,x ,fx,,x，fx()(),lim ,x,0,x fx,,x,fx()(),lim ,x,0,,x ,,f(x) ,f(x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第12页 共65页------ xy,f(x) 0 fx，,x,fx()() 00 lim ,,xx,,0 f(x) ,xf(x)0,0,y ,,xx 0 fx，,x,fx()() 00 lim ，,xx,,0 f(x) ,xf(x)0，0,y ，,xx 0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第13页 共65页------ xf(x) 0 f(x)x 0 2x , x,0 ,, f(x),,2 x , x,0 ,, x,0f(x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第14页 共65页------ f，,x,f(0)(0) ,f,(0)lim,,,xx0,, ，,x,2(0)0 ,lim ,,xx0,, ,2 f，,x,f(0)(0) ,f,(0)lim，，,xx0,, 2 (0)0，,x, lim, ，,x0,,x ,0 ,,(0)(0)f,f ,， x,0f(x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第15页 共65页------ 2 , ,0 ,xx, (),fx,3 x , x,0 ,, x,0f(x) f，,x,f(0)(0) ,f,(0)lim,,,xx0,, 2 (0)0，,x, lim, ,,x0,,x ,0 f，,x,f(0)(0),f,(0)lim，，,xx0,, ------微积分教案 第三章 导数与微分 第16页 共65页------ 3 (0，,x),0 lim, ，,x,x,0 ,0 ,,f(0),f(0),0,， x,0f(x) ,f(0),0 xf(x) 0 xf(x) 0 xf(x) 0 ,y ,fx,()lim0 ,x,0,x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第17页 共65页------ ,y lim,y,lim,,x,x,0,x,0,x ,,f(x)，00 ,0 xf(x) 0 xf(x) 0 xf(x) 0 f(x),x x,0 limf(x),limx,0 x,0x,0 f(0),0,0f(x),x x,0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第18页 共65页------ 00，,x, ,(0)limf, ,,,x,x,0 ,,x ,lim ,,xx,,0 ,,1 00，,x, ,(0)limf, ，，,x,x,0 ,x ,lim ，,xx,,0 ,1 ,,f(x),x(0)(0)f,f ,， x,0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第19页 共65页------ xu,u(x)v,v(x) ,,,(u,v),u,v ,,,(uv),uv，uv ,,c(cv),cv ,,,(uu？u),uu？u，uu？u 12n12n12n ,，？，uu？u12n ,,uuv,uv ,，，(), v,02 vv ------微积分教案 第三章 导数与微分 第20页 共65页------ ,cv ,v,0(),,c2 vvc y,f(x)(a , b) ,f(x),0 ,1 x,f(y)I,{yy,f(x) , x,(a , b)} ,11 ,[f(y)], ,f(x) f(x) ,x,0,y,0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第21页 共65页------ ,1,x ,[f(y)],lim ,y,0,y 1 , ,y lim ,x,0,x 1 , ,f(x) yx，,x,yx()() ,C,()lim ,x,0,x C,C ,lim ,x,0,x ,0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第22页 共65页------ nn ,xh(，)xn ,()lim,x ,0hh n,12n,2n,1 ,lim(nx，Cxh，？，h) n h,0 n,1 nn,x ,(logx)a x，,x,xlog()logaa,lim ,,0x,x x1, limlog(1),，a,,0xxx, x x1,,x,limlog(1，)a0,x,xx 1 ,logea x 1 , xlna 1 ,(lnx), x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第23页 共65页------ x y,a x,logy a x1 ,(a), ,(logy)ay 1 , 1 ylna x ,alna xx ,(e),e x，,x,xsin()sin ,x,(sin)lim ,x,0,x 1,x,x lim2cos()sin,,x，,x,022,x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第24页 共65页------ ,x sin ,x2limcos(),x， ,x,02,x 2 ,cosx x，,x,xcos()cos ,x,(cos)lim ,x,0,x 1,x,xlim2sin()sin,,,x， ,x,022,x ,x sin ,x2 limsin(),,x， ,x,02,x 2 ,,sinx sinx ,,(tanx),() cosx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第25页 共65页------ ,,(sinx)cosx,sinx(cosx) ,2 cosx 22 cosx，sinx,2 cosx 2 ,secx cosx ,,(cotx),() sinx ,,(cosx)sinx,cosx(sinx) ,2 sinx 22 ,cosx,sinx,2 sinx 2 ,,cscx 1 ,,(secx),() cosx ,(cosx) ,,2 cosx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第26页 共65页------ ,sinx ,,2 cosx ,secxtanx 1 ,,(cscx),() sinx ,(sinx) ,,2 sinx cosx ,,2 sinx ,,cscxcotx y,arcsinx x,siny 1 ,(arcsinx), ,(siny) y ------微积分教案 第三章 导数与微分 第27页 共65页------ 1 , cosy 1 , 2 1,siny 1 , 2 1,sinarcsinx 1 , 2 1,x 1 ,(arccosx),, 2 1,x 1 ,(arctanx),2 1，x 1 ,(arccotx),,2 1，x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第28页 共65页------ 32 y,2x，，lnx3 x 261 ,y6x,,，4 xx tanlnxx y,，3 4x 232secxx3tanxx1,,, ,y,，6 4xx 2 xsecx3tanx1,, ,，4 4xx y,2v,logv,cosv a cosv ,y,2(logv,cosv， a lna ,v,logv,sinv) a ------微积分教案 第三章 导数与微分 第29页 共65页------ x2x，1 23, y,x,1 5 xx y,5(0.4),15(1.8) xx,y,5(0.4),ln0.4,15(1.8),ln1.8 xu,g(x) uy,f(u) xy,f[g(x)] dy ,,,,,f(u),g(x),f[g(x)],g(x)dx dydydu ,, dxdudx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第30页 共65页------ y,sin2x u,2xy,sinu dydydu ,, dxdudx ,cosu,2 ,2cos2x y,ln(lnx) 11 ,,y,,(lnx), lnxx,lnx 2 y,ln(x，1，x) 21 ,,y,,(x，1，x) 2 x，1，x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第31页 共65页------ 11 ,,(1，,2x) 22 x，1，x21，x 1 , 2 1，x y,x，x，x 1 ,,y,,(x，x，x) 2x，x，x 11 ,,,[1，(x，x)] 2x，x2x，x，x 111 ,,[1，(1，)] 2x2x，x2x，x，x 1，2x，4x,x，x, 8x,x，x,x，x，x 2x,1 y,2 (x,1) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第32页 共65页------ 2 dy2(x,1),2(x,1)(2x,1) ,4 dx(x,1) 2x ,,3 (x,1) 2(x,1)，121y,,，22 x,1(x,1)(x,1)dy222x ,,,,,233dx(x,1)(x,1)(x,1) xlogby,a dyxlog b,ln(log),,a,xab dx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第33页 共65页------ logx1 blna,,,a xlnb xlog ba,logab , x xlogalogbby,,ax dy(loga),1 b,loga,xb dx loga blog,axb , x logx balog,ab , x y,sinxsinxsinx 7 8 y,sinx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第34页 共65页------ 1,dy78 ,sinx,cosx dx8 1，x,1,x f(x),ln 1，x，1,x 2 221x,, f(x)ln, 2x 2 ,ln(1,1,x),lnx 12x1,,f(x)(),,, 22 x11x21x,,, 1 , 2 x1,x f(x) 22y,f(sinx)，f(cosx) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第35页 共65页------ dy2 ,,f(sinx),2sinx,cosxdx 2 ,，f(cosx),2cosx,(,sinx) 22 ,,,sin2x,[f(sinx),f(cosx)] y,y(x) x，y,a x 11 ,，,y,0 2x2y ------微积分教案 第三章 导数与微分 第36页 共65页------ y ,y,, x x,a , x y22 arctan,lnx，y x x ,,y,x,y2x，2y,y11 ,,,2222 2xx，yy,, 1，,, x,, x，y ,y, x,y 323 x,axy，2ay,2a (a , a) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第37页 共65页------ x 2 ,,3x,ay,axy，4ayy,0x,ay,a 2222 ,,3a,a,ay，4ay,0 2 ,y,, (a,a) 3 f(x) y,lnf(x)f(x),0 f(x),0 y,lnf(x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第38页 共65页------ ,dyf(x) , dxf(x) f(x),0 y,ln[,f(x)] ,,dy,f(x)f(x) ,, dx,f(x)f(x) ,f(x) ,[lnf(x)], f(x) 231x, (1x)ecosx,,, f(x),3 (arccosx) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第39页 共65页------ 2 lnf(x),ln1,x，3x,1 ，lncosx,3lnarccosx ,f(x)2xsinx,, 3,，，2 f(x)cosx1x, 1 , 2 ,1x ,3, arccosx 231x, (1x)ecosx,,, ,f(x),3 (arccosx) ,x23,，,x，(3tan)22 ,x1,x,x1arccos ------微积分教案 第三章 导数与微分 第40页 共65页------ 2 x,(x，1) 3y,22 (x,1) 221 ,,lny,lnx，ln(x，1),2lnx,1 3 ,yxx1124 ,，,()22 yx3x，x,11 2 x(x，1)112x4x 3,()y,，,2222 3xx,x，x,(1)11 sinx y,(tanx) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第41页 共65页------ lny,sinx,lntanx 2 ,ysecx cosxlntanxsinx,,，,ytanx ,y, sinx (tanx),(cosx,lntanx，secx) sinxsinx,lntanx y,(tanx),e sinx,lnsinx ,y,e(cosx,lntanx，secx) sinx ,(tanx)(cosx,lntanx，secx) xxx yxx,，，x x g(x),xf(x),x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第42页 共65页------ xx hx(),x ,f(x),1 x,lnx ,,g(x),(e) x,lnx ,e(lnx，1) x ,x(lnx，1) xx,lnx ,,hx()(),e xx,lnxxxx ,exx,[()ln，] x xxxx,1,x[x(lnx，1)lnx，x] x ,y,1，x(1，lnx) xxxx,1，x[x(lnx，1)lnx，x] ------微积分教案 第三章 导数与微分 第43页 共65页------ xny,f(x) dydf ,,f(x)y dxdx 22 dydf ,,,,f(x)y 22 dxdx 33 dfdy,,,,,,f(x)y 33 dxdx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第44页 共65页------ 44 dydf(4)(4) f(x)y 44 dxdxn nn dydf(n)(n) f(x)y nn dxdx xu,u(x)v,v(x) (n)(n)(n) (u,v),u,v n()()(),nkknk ,(uv),Cuv n0,k ------微积分教案 第三章 导数与微分 第45页 共65页------ (0)(0) u,uv,v n x y,e y,sinx ax y,e k y,xk 2x y,x,e xx ,,,y,ey,e (n)x y,e , ,y,cosx,sin(x，) 2 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第46页 共65页------ 12,,y,cos(x，,),sin(x，,) 22 23,,,y,cos(x，,),sin(x，,) 22 ,1nn(n) ,cos(，,),sin(，,)yxx 22 ax ,y,ae 2ax ,,y,ae ------微积分教案 第三章 导数与微分 第47页 共65页------ 3ax ,,,y,ae (n)nax y,ae n,k k,1 ,y,kx k,2 ,,y,k(k,1)x k,3,,,y,k(k,1)(k,2)x(n)k,n y,k(k,1)？(k,n，1)x nk,n ,Ax k n,k k,1 ,y,kx ------微积分教案 第三章 导数与微分 第48页 共65页------ k,2 ,,y,k(k,1)x k,3 ,,,y,k(k,1)(k,2)x (k) y,k(k,1)？2,1,k! (k，1) y,0 (n) y,0 nk,n Ax , n,k ,,k()n y,, 0 , nk .,, (n)02x(n)12x(n,1) ,yCx(e)C(x)(e),， nn ------微积分教案 第三章 导数与微分 第49页 共65页------ 22x(n,2) ,,C(x)(e)， n 02x1x2x ,Cxe，C2xe，C2e nnn 0212x ,(Cx，2Cx，2C)e nnn y e，xy,e y,y(x) ,,x,0y(0) xy ,,e,y，y，x,y,0 y ,y,,y e，x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第50页 共65页------ yy ,,y(e，x),y(e,y，1),,y,,y2 (e，x) 2y ye ,y3 (e，x) x,0y,1 1 ,,y(0),2 e xy,f(x) 0 ,y,f(x，,x),f(x) 00 ,A,x，,(,x) ,xA ------微积分教案 第三章 导数与微分 第51页 共65页------ y,f(x) A,xx 0 xy,f(x) 0 dy,df,A,x xy,f(x) 0 xy,f(x) 0 ,dy,f(x),x 0 y,f(x) x 0 ,y,A,x，,(,x) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第52页 共65页------ ,yA,x，,x,() ,limlim ,x,0,x,0 ,x,x ,x,() ,A，limlim ,x,0,x,0 ,x ,A ,f(x),Ay,f(x) 0 ,xdy,f(x),x 00 xy,f(x) 0 ,y ,lim,f(x)0,x,0 ,x,y ,,f(x)，,0 ,x ,,x,0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第53页 共65页------ ,,y,f(x),x，,,x 0 ,,f(x),x，,(,x) 0 xy,f(x) 0 ,dy,f(x),x 0 y,f(x)(a , b) y,f(x) (a , b) ,dy,f(x),x ,y,xy,1 ,dy,y,x,,x dx,,x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第54页 共65页------ y,f(x) ,dy,f(x)dx x y,xe xxx,y,e，xe,(1，x)e x dy,(1，x)edx 2 y,ln(1，x) 2x ,y, 2 1，x 2x ,dydx 2 1，x 2 y,x，xx,2 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第55页 共65页------ ,y,2x，1 dy,5dxdy,(2x，1)dxx,2 y,sinx，cosx , x,,x,0.2 2 ,y,cosx,sinxdy,(cosx,sinx)dx ,,dy,(cos,sin)，0.2,x, , ,x,0.2222 ,,0.2 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第56页 共65页------ x 0 ,xy,f(x)dy (x , y)y,f(x) 00 uvx d(u,v),du,dv d(uv),vdu，udv cd(cv),cdv uv,du,u,dv d(),2 vv ------微积分教案 第三章 导数与微分 第57页 共65页------ (v,0) cdv d(),,c2 vvcv,0 uy,f(u) u ,dy,f(u)du u u,,(x) x,,u(x) xy,f[,(x)] ,,dyf[,(x)],(x)dx, ------微积分教案 第三章 导数与微分 第58页 共65页------ ,,f(u)du u ,dy,f(u)du 2 y,sinx 22 dy,cosxd(x) 2 ,cosx,2xdx 2 ,2xcosxdx x2 y,eln(x，1) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第59页 共65页------ x2x2dy,de,ln(x，1)，e,dln(x，1) x e22x ,edx,ln(x，1)，d(x，1) 2 x，1 2x，，2x ,ln(，1)，exdx 2,, ，1x，， ,y,dy ,y,f(x，,x),f(x) 00 ,,f(x),x 0 ,f(x，,x),f(x)，f(x),x 000 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第60页 共65页------ 10cm 1 cm 8 D 31 VD,, 6 3 10cm9cm 4 ,V 21 ,V,dV,,DdD 2 1 D,10cmdD,,cm 4 3 ,V,dV,,39.27cm 3 39.27cm ------微积分教案 第三章 导数与微分 第61页 共65页------ 8 2(1.05) 8 f(x),xx,1 0,x,0.05 ,f(x，,x),f(x)，f(x),x 000 ,f(1.05),f(1)，f(1)，0.05 887 (1.05),1，8，1，0.05 ,1.4 f(x),xx,1.96 0 ,x,0.04 ,f(x，,x),f(x)，f(x),x 000 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第62页 共65页------ ,f(2),f(1.96)，f(1.96),0.04 1 2,1.96，，0.04 2，1.96,1.414 x,x(t) ,, t,(, , ,), y,y(t) ,, x(t)y(t)t,x(t),0 ,,dyy(t)dty(t) ,, ,,dxx(t)dtx(t) ------微积分教案 第三章 导数与微分 第63页 共65页------ 2 , ,xat, ,3 y,bt ., a1, x,(t，) , ,2t , b1 ,y,(t,) . ,2t 2 dy3btdt3bt ,, dx2atdt2a b1 (1，)dt22dyb(t，1)2t ,,2dxa1a(t,1) (1,)dt2 2t ------微积分教案 第三章 导数与微分 第64页 共65页------ ------微积分教案 第三章 导数与微分 第65页 共65页------